Lösungsskizzen zur Präsenzübung 04

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1 Lösungsskizzen zur Präsenzübung 04 Mirko Getzin Universität Bielefeld Fakultät für Mathematik 09. Mai 204 Keine Gewähr auf vollständige Richtigkeit und Präzision aller (mathematischen) Aussagen. Das Dokument hat lediglich den Anspruch, eine Hilfestellung für die Tutanden beim Verständnis der Vorlesungsinhalte zu sein und Lösungsideen für die Aufgaben möglichst vollständig (bis auf Ausnahmen) zu skizzieren. Eine Veröffentlichung oder Vervielfältigung ist nur nach Rücksprache mit dem Urheber dieses Dokuments erlaubt. Tutor der Analysis II im SoSe 4

2 Lösungsskizzen zur Präsenzübung 04 Es folgen zunächst einige Bemerkungen, welche zum Verständnis des Banach schen Fixpunktsatzes beitragen sollen. Bemerkung Man bezeichnet einen vollständigen, normierten Vektorraum auch als Banachraum. Dieser Begriff wurde in der Vorlesung zwar nicht eingeführt, ist jedoch für weitergehende Veranstaltungen elementar. Bemerkung 2 In der vierten Präsenzübung wurde unter anderem der Banach sche Fixpunktsatz thematisiert. Dieser ist für euch nur in vollständigen metrischen Räumen anwendbar, da er nur für solche Räume bewiesen wurde. Im Allgemeinen lässt sich - mit einigen anderen mathematischen Hilfsmitteln - der Banach sche Fixpunktsatz auch für nicht vollständige metrische Räume zeigen. Bemerkung 3 In den meisten Anwendungen des Fixpunktsatzes habt ihr die Vollständigkeit des metrischen Raumes ohnehin schon gegeben, so dass ihr nur noch nachweisen müsst, dass die gegebene Abbildung f : X X im metrischen Raum (X, d) eine Kontraktion ist, d.h. dass die jeweilige Abbildung die Kontraktionsbedingung α ]0, [: d(f(x), f(y)) αd(x, y) x, y X () erfüllt. Man kann sich Kontraktionen also so vorstellen, dass sie die Elemente des metrischen Raumes auf einen kleineren Bereich zusammenstauchen, das heißt die Abstände der Bilder unter der Abbildung sind gleich oder kleiner als die Abstände der Urbilder. Das folgende Bild veranschaulicht dieses Zusammenstauchen um den Stauchungsfaktor α sehr deutlich, so ist das Ausgangsbild (hier: X) größer als das erste Bild im Bild. Die weiteren Bilder in den Bildern werden schließlich immer kleiner, es erscheint, als würden alle Bilder in einem Punkt zusammenlaufen. Dieser Punkt entspricht tatsächlich dem Fixpunkt, den man eindeutig mittels Banach schen Fixpunktsatzes erhält. Die Abbildung folgt auf der letzten Seite dieses Dokuments. 2

3 2 Aufgabenbearbeitung Aufgabe Sei X die Projektion der Universität Bielefeld auf die Ebene (Vogelansicht). Eine Person erstellt innerhalb von X am Schreibtisch eine Karte (bezeichnet durch X n ) von X (samt des Schreibtisches) mit dem Abbildungsverhältnis : n, n N, n >. Erklären Sie anhand dieses Beispiels das Kontraktionsprinzip des Banach schen Fixpunktsatzes und beschreibe die Position des Fixpunktes. Lösung: In Analogie zu den vorangegangenen Bemerkungen betrachten wir nun das Beispiel, dass wir auf die Universität senkrecht herab blicken. Das heißt, wir sehen den Umriss der Universität, haben aber für keinen Punkt in unserer Betrachtung die Information der Höhe des jeweiligen Punktes. Diese Betrachtung liefert uns die Projektion X R 2 der Universität vom Dreidimensionalen ins Zweidimensionale. So unterscheidet sich beispielsweise im Umriss (also in der Projektion) der Turm des V-Zahns keinesfalls von der Haupthalle, welche bekanntlicher Weise eine niedrigere Höhe besitzt, als der Turm. Wir finden nun innerhalb der Universität (auf einem Schreibtisch) eine Karte X n R 2, welche den Abbildungsmaßstab : n für ein festes n N, n > besitzt. Nun lässt sich jeder Ort auf unserer ausgehenden Projektion X mit dem gleichen Ort auf der Karte X n mit einer Geraden verbinden. Eine Gerade ist eine affin lineare Abbildung der Form F (x) = mx + b (vgl. Geradengleichungen aus der Schule). Wir wollen nun für einen beliebigen Ort y 0 X die Gerade finden, welche auf denselben Ort y X n abbildet, d.h. es gelte F (y 0 ) = y. Die Steigung m der gesuchten Gerade ist offenbar m = n aufgrund des Abbildungsmaßstabs. Nun müssen wir noch den Y-Achsenabschnitt x 0 der affin linearen Abbildung F : X X, F (x) := x 0 + n x bestimmen. Damit F (y 0) = y gilt, wähle x 0 := y n y 0 für einen festen Ort y 0 X, welcher in der Karte X n mit dem Punkt y dargestellt wird. Bemerkung 4 Wir erhalten x 0 über die Wahl eines beliebigen Ortes y 0 (bzw. y ). Durch Umstellen der Gleichung y = F (y 0 ) = x 0 + n y 0 erhalten wir die obige Form für x 0. Wir können anschließend den Fixpunkt der Abbildung F ganz allgemein in Abhängigkeit des Abbildungsmaßstabs n und des zu Grunde liegenden Vergleichsortes y 0 und y bestimmen. Wir stellen fest, dass die Funktion F als Summe von stetigen Funktionen offenbar stetig ist. Damit wir den Banach schen Fixpunktsatz schließlich anwenden können, müssen wir zunächst prüfen, ob die Abbildung F kontraktiv ist. Seien hierzu x, y X beliebig. Dann gilt: F (x) F (y) = x 0 + n x x 0 n y = x y n Da n > vorausgesetzt ist (sonst hätte die Karte X n die Originalgröße der Universität erhalten), folgt, dass für festes n > gerade α := n ]0, [ gilt. Die Kontraktionsbedingung ist für F somit im metrischen Raum (X, ) erfüllt. 3

4 Im Übrigen ist (X, ) ein vollständiger metrischer Raum. Alle Voraussetzungen für den Banach schen Fixpunktsatz sind folglich gegeben. Als technisches Hilfsmittel setzen wir nun noch F (n) (x) := F (F (n ) )(x) und F () (x) = F (x). Der Banach sche Fixpunktsatz liefert uns nun, dass ein eindeutiger Fixpunkt x X existiert, so dass F (x ) = x gilt. Wir können nun den Fixpunkt berechnen, indem wir die Funktionsgleichung einsetzen und direkt nach x auflösen. Dies ist der einfachste Weg, um an den Fixpunkt zu gelangen, sofern eine explizite Form von F vorgegeben ist. Allgemeiner lässt sich der Fixpunkt x nun jedoch mit Hilfe der Formel in (ii) des Banach schen Fixpunktsatzes (vgl. Skript) berechnen. Wir erhalten somit für festes n N: x = lim F (m) (0) m m = lim m n i x 0 = x 0 i=0 geom. Reihe = i=0 n i x 0 n Durch Einsetzen von x in die Funktionsgleichung von F erhalten wir die Probe, dass tatsächlich F (x ) = x gilt. Der Punkt x X ist folglich der gesuchte Fixpunkt. Bemerkung 5 (i) Mit Hilfe der Formel für den Fixpunkt aus dem Skript können wir den Fixpunkt auch für Funktionen darstellen, deren explizite Form wir nicht kennen. (ii) Die allgemeine Form von F (m) (x) lässt sich durch Ausprobieren schnell finden. Man betrachte hierzu die Funktionsgleichungen für m =, 2, 3, 4,... und erkennt eine allgemeine Form. Das Vorgehen ähnelt also dem Finden der allgemeinen k-ten Ableitung für die Taylorformel. (iii) Wir betrachten F (n) (0), da wir den Fixpunkt unabhängig vom ausgewerteten Ort erhalten und durch x = 0 die Rechnung erleichtert wird. (iv) Da x von x 0 abhängt und x 0 die beliebigen Orte y X n und y 0 X beinhaltet, ist die Darstellung des Fixpunktes x relativ zu den festen Orten zu sehen. 4

5 Aufgabe 2 Beweisen Sie folgende Identitäten: max(x, y) = 2 x y + (x + y), 2 x, y R und min(x, y) + max(x, y) = x + y x, y R. Zeige anschließend, dass für zwei stetige Funktionen f, g : X R auf einem metrischen Raum (X, d) gilt, dass die Abbildungen stetig sind. x max(f(x), g(x)) und x min(f(x), g(x)) Beweis: (i) Wir beweisen die erste Identität mit Hilfe einer Fallunterscheidung für x, y R. Fall I: Sei x y. Dann gilt offenbar per Definition des Maximums max(x, y) = x und x y = x y. Somit erhalten wir 2 x y + 2 (x + y) = 2 (x y) + (x + y) = x = max(x, y), 2 Fall II: Sei x y. Dann gilt offenbar per Definition des Maximums max(x, y) = y und x y = x + y. Somit erhalten wir 2 x y + 2 (x + y) = 2 ( x + y) + (x + y) = y = max(x, y). 2 Aufgrund der Fallunterscheidung folgt die Behauptung. (ii) Diese Identität folgt ebenfalls mit Hilfe der Fallunterscheidung für x y und x y und der Anwendung der Definition des Minimums und des Maximums. Seien nun f, g : X R beliebige stetige Funktionen im metrischen Raum (X, d). (iii) Wir zeigen nun, dass x max(f(x), g(x)) stetig ist. Nach (i) gilt für beliebiges x X max(f(x), g(x)) = 2 f(x) g(x) + 2 (f(x)+g(x)) = 2 (f(x) g(x)) (f(x)+g(x)). Anhand dieser Darstellung des Maximums sieht man sofort, dass das Maximum als Verknüpfung (Produkt, Summe, Komposition, etc.) stetiger Funktionen (Wurzel, Quadrat, f, g, etc.) selbst stetig ist. (iv) Wir zeigen nun, dass x min(f(x), g(x)) stetig ist. Nach (ii) gilt für beliebiges x X min(f(x), g(x)) = f(x) + g(x) max(f(x), g(x)). Es sind f(x) und g(x) stetige Funktionen nach Voraussetzung, insbesondere auch deren Summe. Nach (iii) ist das Maximum eine stetige Funktion. Als Differenz zweier stetiger Funktionen ist schließlich auch das Minimum eine stetige Funktion. 5

6 Aufgabe 3 Sei eine Funktionenfolge f n : [0, [ R durch gegeben. f n (x) := cos( x n ) exp( x) (i) Bestimmen Sie den punktweisen Limes des Funktionenfolge. (ii) Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge sogar gleichmäßig konvergiert. Tipp: Benutzen Sie die elementare Abschätzung cos(x) x2 2. Beweis: (i) Wir bestimmen den punktweisen Limes, indem wir x [0, [ fest und beliebig wählen und anschließend den Limes für n der Funktionenfolge f n betrachten: ) exp( x) ( x ) = exp( x) lim cos n n ( x lim f n(x) = lim cos n n n cos stetig = exp( x) cos lim x n }{{ n } =0 = exp( x) cos(0) = exp( x) Die Funktionenfolge f n konvergiert also punktweise gegen die Grenzfunktion f(x) = exp( x). (ii) Da wir in (i) bereits herausgefunden haben, dass f n f punktweise konvergiert, muss der Kandidat für den Grenzfunktion bei der gleichmäßigen Konvergenz von f n auch f(x) = exp( x) sein. Wir führen nun einen Konvergenzbeweis per Definition gleichmäßiger Konvergenz. Dabei nutzen wir die Abschätzung cos(x) x2 2 x R. (2) Sei also ε > 0 beliebig. Dann gilt für alle x [0, [ und für alle n N(ε) > ( x f n (x) f(x) = cos exp( x) exp( x) n) ( ( x ) = exp( x) cos ( n) x = exp( x) cos n) ( x ) = exp( x) cos n Tipp exp( x) x2 2n 2 = exp( x)x 2 6 2n 2. 2e 2 ε :

7 Nun hat die Funktion h(x) := exp( x)x 2 ihr globales Maximum bei x = 2 für x [0, [. Wir schätzen den obigen Term also weiter ab, indem wir x = 2 einsetzen:... = exp( x)x 2 2n 2 = exp( 2)2 2 2n 2 = 2 exp( 2) n 2 2 exp( 2) N(ε) 2 Wahl N(ε) < ε. Wir stellen fest, dass die Wahl von N(ε) nicht mehr von einem Punkt x [0, [ abhängt, so dass die Funktionenfolge f n sogar gleichmäßig gegen f konvergiert. Bemerkung 6 Bei der Wahl von N(ε) wurden die Gaußklammern hinzugefügt, damit sichergestellt wird, dass N(ε) eine natürliche Zahl ist. Dies muss per Definition gleichmäßiger Konvergenz nämlich gelten. 7

8 Abbildung : Veranschaulichung einer kontraktiven Abbildung des Bildes im Bild. 8