Lösungsskizzen zur Präsenzübung 08

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Busso Egger
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1 Lösungsskizzen zur Präsenzübung 08 Hilfestellung zur Vorlesung Anwendungen der Mathematik im Wintersemester 015/016 Fakultät für Mathematik Universität Bielefeld Veröffentlicht am 07. Februar 016 von: Mirko Getzin Homepage: Tutor zur Vorlesung Anwendungen der Mathematik im Wintersemester 015/016. Keine Gewähr auf vollständige Richtigkeit und Präzision aller (mathematischen) Aussagen. Das Dokument hat lediglich den Anspruch, eine Hilfestellung beim Verständnis der Vorlesungsinhalte darzustellen und Lösungsideen für die Aufgaben möglichst vollständig (bis auf Ausnahmen) zu skizzieren. Eine Veröffentlichung oder Vervielfältigung ist nur nach Rücksprache mit dem Urheber dieses Dokuments erlaubt. Angehängt befindet sich das Aufgabenblatt, sowie der pdf-ausdruck von gegebenenfalls verwendeten Tabellenblättern. Die Tabellenblätter sind im ods-format auf der angegebenen Homepage zu finden. 1

2 Lösungsskizzen Lösung zur Aufgabe 1 (Diskrete Gleichverteilung bei platonischen Körpern). In dieser Aufgabe betrachten wir das Zufallsexperiment, einen platonischen Körper mit n Seiten zu rollen. Aufgrund der Geometrie platonischer Körper ist die Annahme gerechtfertigt, dass es sich hierbei um ein Laplace-Experiment handelt. Jede Seite des platonischen Körpers tritt also gleich wahrscheinlich beim Rollen auf. Wir betrachten zunächst den speziellen Fall des Tetraeders, dem platonischen Körper mit n = 4 Seiten. Zufallsexperiment: (Ω, p) mit Ergebnismenge Ω := {1,, 3, 4} und Wahrscheinlichkeitsfunktion p : Ω [0, 1], definiert als Laplace-Experiment durch p(ω) := 1 = 1 für alle ω Ω. Weiter Ω 4 sei (Ω, A, P) der Laplacesche Wahrscheinlichkeitsraum und es sei X : Ω R nun die Zufallsvariable, welche zu einem beliebigen Ergebnis die erhaltene Augenzahl liefert (X = id Ω ). Dann erhalte den Erwartungswert und die Varianz (mittels Satz von Steiner): 4 E(X) = i P(X = i) = i = 1 10 ( ) = 4 4 = 5 [ 4 ] ( ) [ ] 5 1 V(X) = E(X ) E(X) = i P(X = i) = 4 ( ) ( ) 5 = 15 1 Wir stellen fest, dass die auftretenden Erwartungswerte leicht zu berechnen sind, da die Wahrscheinlichkeiten immer gleich sind aufgrund der Laplace-Annahme. Dies lässt sich allgemein für eine beliebige diskrete, gleichverteilte Zufallsvariable X auf einem Ergebnisraum Ω = {1,,..., n} nun vereinfacht berechnen. Wir leiten deshalb in der Folge zwei Formeln für den Erwartungswert und die Varianz in Abhängigkeit von der Seitenanzahl des platonischen Körpers n her. Allgemeiner Fall: Betrachte das Zufallsexperiment (Ω, p) mit Ω := {1,,..., n} und p : Ω [0, 1], definiert durch p(ω) := 1 = 1. Weiter sei (Ω, A, P) wieder der Laplacesche Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω R die Zufallsvariable, die die Augenzahl des platonischen Ω n Körpers beschreibt (X = id Ω ). Wir bemerken zunächst zwei Rechentricks, welche im Rahmen der Arithmetik und Algebra per vollständiger Induktion bewiesen wurden (gute Wiederholung für mathematisch Interessierte!). Diese Tricks werden wir in der Folge verwenden:

3 n i = n i = n(n + 1) n N, n(n + 1)(n + 1) n N. 6 Dann erhalten wir per Definition des Erwartungswerts und mittels des Satzes von Steiner (unter Berücksichtigung der Rechenregeln zum Summenzeichen): n E(X) = i P(X = i) = 1 n n i = 1 n(n + 1) = n + 1 n [ n ] ( ) n + 1 V(X) = E(X ) E(X) = i P(X = i) [ ] ( ) 1 n(n + 1)(n + 1) n + 1 = n 6 = 1 1 (n 1) Wir können nun also die Aufgabe im Speziellen lösen, indem wir in die allgemeinen Formeln für n die Anzahl der Seitenflächen der jeweiligen platonischen Körper einsetzen. Platonischer Körper n E(X) = n+1 V(X) = 1 1 (n 1) 5 15 Tetraeder Hexaeder Oktaeder Dodekaeder 1 1 Ikosaeder Insbesondere erkennt man an dieser Aufgabe, dass die Streuung (Varianz) immer größer wird, je mehr Ergebnisse wir in einer Gleichverteilung zulassen. Dies deckt sich mit unserer Erkenntnis, dass der Erwartungswert in den meisten Fällen einer Gleichverteilung keinen sinnvollen Realbezug ermöglicht. Der Erwartungswert sollte im Allgemeinen also nicht als Mittelwert der Ergebnismenge umschrieben werden. 3

4 Lösung zur Aufgabe (Gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen). Es seien X, Y zwei Zufallsvariablen mit der gemeinsamen Verteilung: y P(X = x) x 1 0, 0,1 0,13 0,45 0,15 0,3 0,1 0,55 P(Y = y) 0,35 0,4 0,3 1 Hierbei entspricht ein Zelleneintrag also der Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Eintreten von X = x und Y = y, beispielsweise P(X = 1, Y = 3) = 0, 13. Wir erhalten für Aufgabenteil a) die einzelnen Verteilungen P(X = x) und P(Y = y) durch das Bilden der Spalten- beziehungsweise Zeilensummen der Wahrscheinlichkeiten. Dies lässt sich beweisen, indem man den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit auf P(X = x) und auf P(Y = y) anwendet und für die auftretenden bedingten Wahrscheinlichkeiten die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit anwendet (über die Wahrscheinlichkeiten von Ereignisschnitten). Da kürzt sich etwas heraus, so dass nur noch die Summe über die Spalten- bzw. Zeileneinträge übrig bleibt. Dies wurde in der Präsenzübung explizit gezeigt und ist für die Klausurvorbereitung sicherlich eine gute Beweisaufgabe. Exemplarisch folgt die Rechnung im Beweis für die Zeilensummen: P(X = x) = = = P(X = x Y = y) P(Y = y) P(X = x, Y = y) P(Y = y) P(X = x, Y = y). P(Y = y) Der Beweis für die Spaltensummen bleibt den Lesenden überlassen. b) Für die Unabhängigkeit von X und Y müsste für alle x X(Ω) und für alle y Y (Ω) gelten Nun berechnen wir: P(X = x, Y = y) = P(X = x) P(Y = y). (1) P(X = 1) P(Y = 5) = 0, 45 0, 35 = 0, , = P(X = 1, Y = 5). Wir schließen aus der Ungleichung, dass X und Y nicht unabhängig sind. Es sei jedoch angemerkt, dass im Fall der Unabhängigkeit diese Identität für alle Kombinationen von x,y durchzurechnen ist. Nur wenn es für alle x, y erfüllt ist, sind X und Y auch unabhängig. 4

5 c) Wir berechnen (zumeist per Definition): E(X) = x P(X = x) = 1 0, , 55 = 1, 55 E(Y ) = x X(Ω) x P(Y = y) = ( 5) 0, , , 3 = 1, 06 E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) = 1, 55 + ( 1, 06) = 0, 44 (Linearität) E(XY ) = xy P(XY = xy) = xy P(X = x, Y = y) xy XY (Ω) xy XY (Ω) = (1 ( 5)) 0, + ( ( 5)) 0, 15 + (1 0) 0, 1 + ( 0) 0, 3 + (1 3) 0, 13 + ( 3) 0, 1 = 1, 51 Wichtig hierbei: Da X und Y nicht unabhängig sind, gilt nicht E(XY ) = E(X) E(Y ). Wir müssen hier per Definition den Erwartungswert berechnen! In diesem Fall können wir aus der Definition sofort erhalten, dass wir über alle Realisierungen von XY, also über alle Produktkombinationen xy, summieren müssen. Die Wahrscheinlichkeiten entsprechen den Wahrscheinlichkeiten aus der gemeinsamen Verteilung von X und Y. Umkehraufgabe: Angenommen, in der Aufgabe wären die Verteilungen von X bzw. von Y gegeben. Dann kann man die gemeinsame Verteilung von X und Y angeben, so dass X und Y unabhängig sind, indem man die Definition von Unabhängigkeit in Gleichung (1) nutzt. Ist keine Information über die Abhängigkeit von X und Y gegeben, lässt sich im Allgemeinen eine beliebige gemeinsame Verteilung definieren. Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von zwei Zufallsvariablen X und Y kann man also auch in einer Tabelle darstellen, wobei diesesmal die letzte Zeile und die letzte Spalte gegeben sind und die Zelleneinträge sich als Produkte der sich kreuzenden Spalten und Zeilen ergeben. 5

6 Universität Bielefeld Wintersemester 015/16 G. Elsner Präsenzübungen zur Vorlesung Anwendungen der Mathematik Blatt 8 Aufgabe 1 Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz für die Zufallsvariable X, die die Augenzahl beim Werfen eines regulären (i) Tetraeders, (ii) Hexaeder (iii) Oktaeders (iv) Dodekaeders (v) Ikosaeders angibt. Augenzahl ist hier wie folgt zu verstehen: Die Seiten aller Körper sind durchnummeriert. Die geworfene Augenzahl ist die Zahl auf der Seitenfläche, auf der der Körper liegen bleibt. Hinweis: Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder sind die fünf platonischen Körper. Die platonischen Körper (oder regulären Polyeder) sind die nach dem griechischen Philosophen Platon benannten fünf besonders regelmäßigen konvexen Polyeder (Vielflächner), die dadurch charakterisiert sind, dass ihre Seitenflächen zueinander kongruente regelmäßige Vielecke sind, von denen in jeder Ecke jeweils gleich viele zusammentreffen. Ihre Namen stammen aus dem Griechischen und beziehen sich auf die Anzahl ihrer Flächen: Tetraeder (Vierflächner aus vier Dreiecken), Hexaeder (Sechsflächner bzw. Würfel aus sechs Quadraten), Oktaeder (Achtflächner aus acht Dreiecken), Dodekaeder (Zwölfflächner aus zwölf Fünfecken) und Ikosaeder (Zwanzigflächner aus zwanzig Dreiecken). Modelle der platonischen Körper können Sie sich in den Vitrinen vor dem Dekanat in V3 ansehen. Aufgabe Durch x y , 0,1 0,13 0,15 0,3 0,1 ist die gemeinsame Verteilung der Zufallsvariablen X und Y gegeben. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von X und von Y, indem Sie ihre Werte als letzte Spalte bzw. letzte Zeile in obiger Tabelle ergänzen. b) Untersuchen Sie, ob die Zufallsvariablen X und Y unabhängig sind oder nicht (Begründung!). c) Berechnen Sie E(X), E(Y ), E(X + Y ), E(XY ). 6

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