Mathematik für Naturwissenschaften, Teil 2

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1 Lösungsvorschläge für die Aufgaben zur Vorlesung Mathematik für Naturwissenschaften, Teil Zusatzblatt SS 09 Dr. J. Schürmann keine Abgabe Aufgabe : Eine Familie habe fünf Kinder. Wir nehmen an, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kind ein Mädchen ist, bei 0 % liege. Die Zufallsgröße X sei gegeben durch die Anzahl der Mädchen. Berechnen Sie: a Die möglichen Werte i R, welche X annehmen kann, sowie deren Wahrscheinlichkeit px = i. b Den Erwartungswert EX und die Varianz V arx von X. c Die zugehörige Verteilungsfunktion F X : R R. Lösung: Der zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsraum ist gegeben durch Ω := {J, M} mit J = Junge und M = Mädchen und pω = p i p i = 0, i 0, 4 i, mit p = 0, und i die Anzahl der Mädchen in ω Ω. Es handelt sich also um eine Bernoulli- Kette. Die Zufallsgröße X ist gegeben durch die Anzahl i der Mädchen. a Somit sind die möglichen Werte i R, welche X annehmen kann, gegeben durch XΩ = {0,,,, 4, }, mit pi = p i p i = 0, i 0, 4 i für i {0,,,, 4, }. i i Es handelt sich also um eine Binomial-Verteilung mit r = und p = 0,. b Nach einer Formel aus der Vorlesung ist somit EX = r p = 0, = und V arx = r p p = 0, 0, 4 =,. c Die zugehörige Verteilungsfunktion F X : R R ist gegeben durch 0 für x < 0, 0, 4 = 0, 004 für 0 x <, 0 0, , 0, 4 4 = 0, für x <, F X x = 0, , 0, 4 = 0, 744 für x <, 0, , 0, 4 = 0, 04 für x < 4, 0, , 4 0, 4 = 0, 94 für 4 x <. 4 für x.

2 Aufgabe : Es sei Ω = {,,, 4} und p : Ω [0, ] gegeben durch p = 0,, p = 0,, p = 0, und p4 = 0, 4. Die Zufallsvariablen X und Y auf Ω, p seien gegeben durch Xi := i und Y i := i. a Berechnen Sie die Erwartungswerte EX, EY, EX Y sowie die Kovarianz CovX, Y von X und Y. b Sind X und Y stochastisch unabhängig? Lösung: a Nach Definition ergeben sich folgende Werte: EX = Xi pi = i pi = 0, + 0, + 0, + 4 0, 4 = 0. Analog erhält man: EY = Y i pi = i pi = 0, + 0, + 0, + 4 0, 4 =. Zur Berechnung der Kovarianz von X und Y CovX, Y = EX EX Y EY = EX Y EX EY bestimmen wir zunächst: EX Y = i i pi = 0, + 0, + 0, , 4 =,. Somit ist CovX, Y =, 0 = 4, 4 0. b Sind X und Y stochastisch unabhängig, so folgt aus einem Satz der Vorlesung CovX, Y = 0. Somit sind hier X und Y nicht stochastisch unabhängig. Aufgabe : Überprüfen Sie, ob die Funktion f : [, ] R; fx := 4 t die Wahrscheinlichkeitsdichte für eine Zufallsgröße X sein kann? Berechnen Sie gegebenenfalls auch den Erwartungswert EX sowie die zugehörige Varianz V arx.

3 Lösung: Offensichtlich ist ft = 4 t 0 für t [, ]. Ebenso ist 4 t dt = [ 4 t 4 t ] = =. Somit ist f eine Wahrscheinlichkeitsdichte. Aus Symmetriegründen ist EX = 0. Dieses kann auch wie folgt nachgerechnet werden: EX = 4 t t dt = [ 8 t t4 ] = 8 8 = 0. Entsprechend ergibt sich die Varianz V arx zu 4 t t 0 dt = [ 4 t 0 t ] = = = 0,. Aufgabe 4: Es sei f : [, ] R die Wahrscheinlichkeitsdichte ft := Zufallsgröße X. Bestimmen Sie: cost für eine a Die Wahrscheinlichkeit p X. b Den Erwartungswert EX von X. Lösung: a Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich zu p X = cost dt = [ sint ] = 4 4 = 0, 8. b Aus Symmetriegründen ist EX = 0. Dieses kann auch wie folgt mittels partieller Integration nachgerechnet werden: EX = cost t dt = [ sint t ] sint dt = [ cost ] = = 0. Aufgabe : Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Triglyzerinspiegel in menschlichem Blut ist näherungsweise eine Normalverteilung. Der Triglyzerinspiegel liege im Mittel bei, 0 mmol/l, und ungefähr 94, % der Menschen mögen einen Triglyzerinspiegel zwischen, und, 8 mmol/l haben. Bestimmen Sie die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte d.h. die entsprechenden Parameter µ und σ.

4 Lösung: Der Triglyzerinspiegel liege im Mittel bei, 0 mmol/l. Dieses entspricht dem Erwartungswert µ. Somit ist µ =, 0. Ungefähr 94, % der Menschen mögen einen Triglyzerinspiegel zwischen, und, 8 mmol/l haben. Nach der Vorlesung entspricht die Wahrscheinlichkeit 94, % bei einer Normalverteilung dem Wert pµ σ X µ + σ 94, %. Somit ist, =, 0 σ = µ σ und, 8 =, 0 + σ = µ + σ. Folglich ist σ = 0, 4. Aufgabe : Es wird die Höhe von 7 Bäumen gemessen. Man erhält dabei die folgenden Messergebnisse in m: Messung Nr. i 4 7 Höhe x i in m,7,0,9 4,,,,8 Berechnen Sie Mittelwert, Standardabweichung, Median und das erste bzw. dritte Quartil für diese Stichprobe. Lösung: Der Mittelwert x = 7 7 x i ist gegeben durch, 7 +, 0 +, 9 + 4, +, +, +, 8 x = 7 Die Streuung str = 7 x i x ist gegeben durch str = = 9, 4 7, + 0, 9 + 0, 0 +, , 8 +, 7 +, 0 Somit ergibt sich die Standardabweichung s = str zu s, 04 =, 0. =, 77., 4, 04. Für p [0, ] ist das p-quantil x p gegeben als der kleinste von X angenommene Wert x p R, für den gilt: n {i x i x p } = F X x p p. Oder einfacher ausgedrückt: Es ist der kleinste angenommene Wert x p, für den gilt: {i x i x p } n p. Um diese Quantile zu berechnen, sortiert man die Werte x i der Größe nach: Nr. i 7 4 x i in m,,7,0,9,,8 4, Der Median entspricht dem p = 0, -Quantil: Es ist n p = 7 0, =,. Somit ist 4 >, die nächst grössere ganze Zahl, und der Median ist gegeben als der vierte Wert von unten in obiger Aufzählung, also als, 9. Das.te-Quartil entspricht dem p = 0, -Quantil: Es ist n p = 7 0, =, 7. Somit ist >, 7 die nächst grössere ganze Zahl, und das erste Quantil ist gegeben als der zweite Wert von unten in obiger Aufzählung, also als, 7. Das.te-Quartil entspricht dem p = 0, 7-Quantil: Es ist n p = 7 0, 7 =,. Somit ist >, die nächst grössere ganze Zahl, und das dritte Quantil ist gegeben als der sechste Wert von unten in obiger Aufzählung, also als, 8. 4

5 Aufgabe 7: In einem Dünnungsversuch mit k = 8 Dünnungsstufen x i erhält man gewisse Erträge y i. Die Werte sind in folgender Tabelle festgehalten: Versuch Nr. i Stufe x i,,0, 4,0 4,,0,,0 Ertrag y i,0 7, 7,0,0,0,,0,0 a Berechnen Sie die Mittelwerte x und ȳ der beiden Größen. b Berechnen Sie den zugehörigen Korrelationskoeffizieten ρ. c Interpretieren Sie das Ergebnis aus b. Lösung: a Die Mittelwerte ergeben sich zu x =, +, 0 +, + 4, 0 + 4, +, 0 +, +, 0 8 = 4,, und, 0 + 7, + 7, 0 +, 0 +, 0 +, +, 0 +, 0 ȳ = 8 b Zur Berechnung des Korrelationskoeffizienten = 4,. ρ = 8 x i x y i ȳ 8 x 8 i x y i ȳ bestimmt man zunächst die entsprechenden Hilfsgrößen: x i x y i ȳ = 4, 7 + 8, 7, , 7 + 0,, + 0, +, =,, und x i x =, 0 +, + 0, + 0, 0 + 0, 0 + 0, +, +, 0 = 0, 48, y i ȳ =, , +, + 0, , +, = 4,. Somit ist der Korrelationskoeffizient gleich ρ =,, 0,. 0, 48 4, 8, c Dieses kann man noch nicht als hohen Wert für ρ nahe ansehen. Dieses deutet auf keinen linearen Zusammenhang zwischen X und Y hin.