Eine Zufallsvariable X sei stetig gleichverteilt im Intervall [0,5]. Die Wahrscheinlichkeit P(2< x <4) ist dann

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1 4. Übung Themenkomplex: Zufallsvariablen und ihre Verteilung Aufgabe 1 Für eine stetige Zufallsvariable gilt: a) P (x = t) > 0 b) P (x 1) = F (1) c) P (x = 1) = 0 d) P (x 1) = 1 F(1) e) P (x 1) = 1 F(1) + f (1) Aufgabe 2 Eine Zufallsvariable X sei stetig gleichverteilt im Intervall [0,5]. Die Wahrscheinlichkeit P(2< x <4) ist dann a) P(2< x <4) =0,8 b) P(2< x <4) =0 c) P(2< x <4) =0,6 d) P(2< x <4) =0,4 e) P(2< x <4) =2

2 Aufgabe 3 Eine Zufallsvariable X habe die Dichtefunktion f(x) = 1 x Wahrscheinlichkeit P (1,5 <x<2) ist dann: im Intervall [1;e]. Die a) P(1,5< x <2) =0,28768 b) P(1,5< x <2) =0 c) P(1,5< x <2) =0,5 d) P(1,5< x <2) =0,16667 e) P(1,5< x <2) =e - 2 Aufgabe 4 Eine Zufallsvariable X habe die Dichtefunktion f(x)= 0,1 im Intervall [10; 20]. Die Verteilungsfunktion in diesem Intervall ist dann: a) F(x)= 0,1x - 1 b) F(x)= 0,1x c) F(x)= 0,1 + x d) F(x)= 0,1x + 1 e) F(x)= 0,1

3 Aufgabe 5 Eine Zufalls variable X habe die Dichtefunktion f(x)= 1 18 x im Intervall [0;6]. Der Median x 0,5 ist dann: a) x 0,5 = 3 b) x 0,5 = 18 c) x 0,5 = 1 18 d) x 0,5 = 1 3 e) x 0,5 = 24 Aufgabe 6 Eine Zufallsvariable X habe die Dichtefunktion f(x) = 1 x im Intervall [0;6]. Der 18 Erwartungswert E(X) ist: a) E(X)= 3 b) E(X)= 0 c) E(X)= 18 d) E(X)= 4 e) E(X)= 1 3

4 Aufgabe 7 Eine Zufallsvariable X habe die Dichtefunktion f(x) = 1 x im Intervall [0;6]. Der Modus ist 18 dann: a) 0 b) 3 c) 6 d) 4 e) 1 3 Aufgabe 8 Welche Verteilungsmodelle sind diskret (können diskret sein)? a) Gleichverteilung b) Binomialverteilung c) Exponentialverteilung d) Normalverteilung e) Geometrische Verteilung

5 Aufgabe 9 Eine geometrische Verteilung liegt vor, wenn nach der Wahrscheinlichkeit gefragt ist, a) beim x-ten Versuch Erfolg zu haben. b) bei n Versuchen x-mal Erfolg zu haben (mit Zurücklegen). c) innerhalb eines bestimmten Intervalls x-mal Erfolg zu haben. d) bei n Versuchen x-mal Erfolg zu haben (ohne Zurücklegen). e) eine Geometrie-Klausur zu bestehen. Aufgabe 10 Eine Binomialverteilung liegt vor, wenn nach der Wahrscheinlichkeit gefragt ist, a) beim x-ten Versuch Erfolg zu haben. b) bei n Versuchen x-mal Erfolg zu haben (mit Zurücklegen). c) innerhalb eines bestimmten Intervalls x-mal Erfolg zu haben. d) bei n Versuchen x-mal Erfolg zu haben (ohne Zurücklegen). e) einen Doppelnamen zu haben.

6 Aufgabe 11: Für die Steuerung eines Messaufbaus, werden unabhängig voneinander zwei gleichartige Leitungen eingesetzt. Jede dieser beiden Leitungen kann im Zeitintervall [0, T) mit der Wahrscheinlichkeit q ausfallen. Bestimmen Sie Verteilungstabelle der Zufallsgröße X mit X := Differenz zwischen der Anzahl der funktionierenden und ausgefallenen Leitungen und zeigen Sie anschließend, dass für Einzelwahrscheinlichkeiten q i folgende Eigenschaft gilt: q i = 1 i=1 Aufgabe 12: Gegeben sei folgende Funktion: 0 für x < 0 1 f(x) = { x 2 für 0 x 2 0 für x > 2 Zeigen Sie, dass die Funktion f(x) die Eigenschaften einer Dichtefunktion besitzt. Aufgabe 13: Sei X eine Zufallsgröße mit der Verteilungsfunktion F X (x) = { ( x2 4 0 für x < 2 x + 1) für 2 x < 4 1 für x 4 a) Berechnen Sie die Dichtefunktion f X (x)! b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 2 < X < 3 gilt? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X > 3, wenn man weiß, dass X > 2.5 ist? Aufgabe 14: Die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgröße X sei durch 0 für x 1 fx(x)={ 3 für x > 1 x 4 gegeben. Bestimmen Sie a) die Verteilungsfunktion Fx(t), b) P (1 X< 2), c) E (X), d) VAR (X)

7 Aufgabe 15: Die diskrete Zufallsgröße X besitze die Verteilungstabelle: xi P(X= xi) 0,1 0,15 0,1 0,25 0,4 Bestimmen Sie a) die Verteilungsfunktion Fx(t), b) P (X>0), c) E (X), d) VAR (X) Aufgabe 16: In einem Produktionswerk bedient ein Arbeiter drei voneinander unabhängig arbeitende Anlagen. Die Wahrscheinlichkeit einer Störung bei einer dieser Anlagen innerhalb eines bestimmen Zeitintervalls T beträgt 0,4. Es sei X die zufällige Anzahl der Anlagen, die im Zeitintervall T eine Störung vorweisen. Bestimmen Sie a) die Verteilungstabelle von X, b) P (X 1), c) die Verteilungsfunktion Fx(t), d) E (X), e) Var (X). Aufgabe 17: Es sei X eine diskret verteilte Zufallsvariable mit: x P(X= x) 0,1 0,35 0,1 0,2 0,25 a) Zeichnen Sie die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung von X. b) Bestimmen und zeichnen Sie die Verteilungsfunktion von X. c) Berechnen Sie P(X = 1) und P(X = 0). d) Ermitteln Sie P(X 3), P(X 2) und P(X > 6). e) Ermitteln Sie P(2 < X < 4) f) Berechnen Sie den Median. g) Berechnen Sie das 80% Quantil. h) Berechnen Sie den Erwartungswert. i) Berechnen Sie die Varianz und die Standardabweichung der Verteilung. j) Berechnen Sie die Schiefe. Was sagt dieser Wert aus?

8 Aufgabe 18: Die Zufallsvariable X besitze folgende Dichte: a x + 0,25,0 x 2 2 f(x) = { 0, sonst a) Bestimmen Sie den Parameter a. b) Wie lautet die Verteilungsfunktion dieser Zufallsvariablen? c) Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion. d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten P(X 1) und P(X < 3). e) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P(0,7 X 1,5). f) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P(X = 1). g) Bestimmen Sie E(X k ) für k N. Moment k-ter Ordnung k = 1,..., 4 h) Berechnen Sie den Erwartungswert. i) Berechnen Sie den Median. j) Berechnen Sie die Varianz und die Standardabweichung der Verteilung. k) Berechnen Sie das k-fache Schwankungsintervall sowie die Wahrscheinlichkeit, einen Wert aus diesem Intervall zu erhalten (für k = 1,2). Aufgabe 19: In einem Produktionswerk wird jede Lieferung einer Qualitätskontrolle unterzogen. Dabei werden 6 der 50 Teile entnommen und überprüft. X sei die zufällige Anzahl der dabei festgestellten Ausschussteile. Gesucht ist P(X 2) unter der Voraussetzung, dass die gesamte Lieferung 15 Fehlerhafte Teile enthält. Aufgabe 20: Stellen Sie in einer Tabelle die Quantile Qp für p = 0,01; 0,05; 0,1; 0,2 der standardisierten normalverteilten Zufallsgröße Y (E(Y) = 0; D 2 (Y) = 1) zusammen! Benutzen Sie dazu die Tafel des Anhangs! Lösen Sie die gleiche Aufgabenstellung für eine normalverteilte Zufallsgröße X mit den Parametern µ = 2 und σ = 3. Aufgabe 21: Die Länge einer von einer Maschine produzierten Schraube kann als normalverteilte Zufallsgröße X mit den Parametern µ = 20 mm und σ = 0,5 mm angesehen werden. Eine solche Schraube genügt den Qualitätsansprüchen, wenn ihre Länge im Intervall [19,5; 22] liegt. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Schraube den Qualitätsansprüchen genügt? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 1000 produzierten Schrauben genau 2 zu finden sind, deren Länge kleiner als 18,5 mm ist.

9 Referenzen Die in der Übung aufgeführten Aufgaben wurden folgenden Lehr- und Arbeitsbüchern entnommen: Beyer, O.; Hackel, H.; Pieper, V.; Tiedge, J.: Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Ökonomen und Landwirte - Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik, Bd. 17, Leipzig: B.G. Teubner1985. Böhm, P.: Induktive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Arbeitsbuch II. Berlin: Studeo Verlag Böhm, P.; Ringhut, S.; Engler, S.; Deskriptive Statistik Arbeitsbuch II. Berlin: Studeo Verlag 2004 Gillert, H.; Nollau, V.; Pieper, V.; Tiedge, J.: Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Ökonomen und Landwirte Übungsaufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik, Bd. Ü4, Leipzig: B.G. Teubner1989. Maibaum, G.: Wahrscheinlichkeitsrechnung. Frankfurt (Main): Harri Deutsch, Menges, G.: Grundriß der Statistik Teil 1: Theorie. Opladen: Westdeutscher Verlag Nollau,V.; Patzsch, L.; Storm, R; Lange, C: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik in Beispielen und Aufgaben. Stuttgart Leipzig: B.G. Teubner Verlagsgesellschft 1997 Vogel, F.: Beschreibende und schließende Statistik Aufgaben und Beispiele. München Wien: Oldenbourg Wissenschaftsverlag 2001