Zufallsvariablen [random variable]

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Zufallsvariablen [random variable]"

Transkript

1 Zufallsvariablen [random variable] Eine Zufallsvariable (Zufallsgröße) X beschreibt (kodiert) die Versuchsausgänge ω Ω mit Hilfe von Zahlen, d.h. X ist eine Funktion X : Ω R ω X(ω) Zufallsvariablen werden meist mit Großbuchstaben bezeichnet (z.b. X, Y, Z, X 1, X 2, X 3,...). Die Funktionswerte (Realisierung, Wert für einen konkreten Versuchsausgang ω) werden meist mit kleinen Buchstaben bezeichnet (z.b. x, y, z, x 1, x 2, x 3,...). 1

2 Beispiel: Würfeln mit zwei Würfeln Ω = {(1, 1), (1, 2),..., (6, 6)} X... Summe der Augenzahlen z.b.: X((3, 4)) = 7 Y... Maximum der Augenzahlen z.b.: Y ((3, 4)) = 4 Der Zufall steckt nicht in der Funktion X, sondern im zufälligen Versuch mit Ausgang ω. 2

3 Es interessieren z.b. die folgenden Ereignisse: {X x} = {ω Ω X(ω) x} Ω, {X = x} = {ω Ω X(ω) = x} Ω, {X > x} = {ω Ω X(ω) > x} Ω, Die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse lassen sich berechnen. Beispiel: (s.o.) P (X = 7) = P ({ω Ω X(ω) = 7}) = P ({(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}) = 6 36 = 1 6 3

4 Problem: Welche Werte x kann die Zufallsvariable X mit welcher Wahrscheinlichkeit annehmen? Vorteil von Zufallsvariablen: Man kann mit ihnen rechnen; z.b. ist X + Y ebenfalls eine Zufallsvariable. Nachteil von Zufallsvariablen: Mit einer Zufallsvariablen X kann eine Vergröberung der Ausgänge des zufälligen Versuches verbunden sein; z.b. Summe der Augenzahlen statt der einzelnen Augenzahlen. 4

5 Diskrete Zufallsvariable [discrete random variable] Eine Zufallsvariable, die nur endlich viele Werte (x 1,..., x n ) oder abzählbar unendlich viele Werte (x 1, x 2,...) annehmen kann, heißt diskrete Zufallsvariable. Beispiel: Idealer Farbwürfel Ω = {schwarz, rot, gelb, grün, blau, weiß } X(schwarz) = 1, X(rot) = 2, X(gelb) = 3, X(grün) = 4, X(blau) = 5, X(weiß) = 6 Mögliche Werte für x i sind 1, 2, 3, 4, 5, 6. P (X = x i ) = 1 6 5

6 Verteilungstabelle: x i x 1 x 2... p i p 1 p 2... Beispiel: X = Summe der Augenzahlen bei zwei Würfeln (Werte zwischen 2 und 12) x i p i (Probe: Summe der Wahrscheinlichkeiten = 1) 6

7 Die Verteilungstabelle beschreibt die Verteilung der Zufallsvariable vollständig; d.h. aus ihr lassen sich die Wahrscheinlichkeiten aller interessierenden Ereignisse für die Zufallsvariable berechnen. Beispiel: (s.o.) P (6 X 8) = P ({X = 6} {X = 7} {X = 8}) = P (X = 6) + P (X = 7) + P (X = 8) = = = 4 9 Grafische Darstellung diskreter Verteilungen: Balkendiagramme 7

8 Unabhängige Zufallsvariablen [independent random variables] Zwei diskrete Zufallsvariablen X und Y heißen unabhängig, wenn P (X = x, Y = y) = P (X = x) P (Y = y) für alle x, y R gilt. Bemerkungen: P (X = x, Y = y) = P ({X = x} {Y = y}) Für alle x, y R sind die Ereignisse {X = x} und {Y = y} unabhängig. 8

9 Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen [expectation (mean) of a discrete random variable] E(X) = n p i x i bzw. E(X) = i=1 p i x i i=1 (falls der Grenzwert existiert) Beispiel: Idealer Würfel = 3.5 Der Erwartungswert beschreibt den Schwerpunkt der Verteilung; vgl. arithmetisches Mittel in deskriptiver Statistik: x = 1 n k i=1 n i x i = k i=1 n i n x i = k i=1 f i x i 9

10 Varianz (Streuung) einer diskreten Zufallsvariablen [variance of a discrete random variable] n var(x) = p i (x i E(X)) 2 i=1 bzw. var(x) = p i (x i E(X)) 2 i=1 (falls der Erwartungswert und der Grenzwert existieren) Es gilt: ( 2 var(x) = E(X E(X)) 2 = E(X 2 ( ) 2 ) E(X)) = pi x 2 i pi x i (vgl. Stichprobenvarianz bzw. empirische Varianz in deskriptiver Statistik) 10

11 Beispiel: Idealer Würfel var(x) = 6 p i x 2 i i=1 ( 6 ) 2 p i x i i=1 = = 1 6 ( ) 3.52 = , 92 11

12 Rechenregeln für Erwartungswert und Varianz Seien X, Y Zufallsvariablen und a, b R. Dann gilt E(a X + b) = a E(X) + b var(a X + b) = a 2 var(x) E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) Wenn X und Y unabhängig sind, gilt außerdem var(x + Y ) = var(x) + var(y ) Bemerkung: Diese Rechenregeln gelten nicht nur für diskrete, sondern auch für beliebige Zufallsvariablen. 12

13 Binomialverteilung [binomial distribution] Ein Versuch wird unter konstanten Bedingungen n mal unabhängig wiederholt. Registriert wird jeweils nur das Eintreten eines interessierenden Ereignisses A (Erfolg). X bezeichne die Anzahl der Erfolge in den n Versuchen, ϑ = P (A) die Erfolgswahrscheinlichkeit in jedem Einzelversuch. P (X = k) = ( ) n k ϑ k (1 ϑ) n k, k = 0, 1,..., n X heißt dann binomialverteilt mit Parametern n und ϑ. Bezeichnung: X B(n; ϑ) 13

14 Es gilt: E(X) = n ϑ var(x) = n ϑ (1 ϑ) Beispiel: 3 maliges Werfen eines idealen Würfels X... Anzahl des Auftretens der Augenzahl 6 P (X = 1) = ( 3 1 ) (1 6 = ) 1 ( 1 1 )

15 Stetige Zufallsvariable [continuous random variable] Eine Zufallsvariable die alle reellen Zahlen oder alle reellen Zahlen aus einem gegebenen Intervall annehmen kann heißt stetige Zufallsvariable. Die Verteilung einer stetigen Zufallsvariablen X wird mit Hilfe ihrer (nichtnegativen) Dichtefunktion f X [density function] (beschreibt die Form einer Verteilung) angegeben. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X Werte in einem Intervall [a, b] annimmt, ergibt sich als Integral dieser Dichte über dem Intervall: P (X [a, b]) = P (a X b) = b a f X (x)dx 15

16 Häufig wird mit der Verteilungsfunktion [distribution function] F X, die durch gegeben ist, gearbeitet: F X (x) = P (X x) = x f X (z)dz P (a X b) = b a f X (x)dx = F X (b) F X (a) Erwartungswert und Varianz einer stetigen Zufallsvariablen X: E(X) = var(x) = (falls die Integrale existieren) x f X (x) dx (x E(X)) 2 f X (x) dx 16

17 Bemerkungen: Sei X eine stetige Zufallsvariable. Für jeden Einzelwert x gilt P (X = x) = 0. Daher sind die Wahrscheinlichkeiten P (a < X < b), P (a < X b), P (a X < b) und P (a X b) alle gleich. Unabhängige Zufallsvariablen Zwei (stetige) Zufallsvariablen X und Y heißen unabhängig, wenn P (X x, Y y) = P (X x) P (Y y) für alle x, y R gilt. 17

18 Normalverteilung [normal distribution] Dichtefunktion der Normalverteilung (Gaußsche Glockenkurve): f X (x) = 1 σ 2π (x µ) 2 e 2σ 2, < x < mit Parameter µ R und σ (0, ). Bezeichung: X N(µ, σ 2 ) Bedeutung der Parameter: E(X) = µ, var(x) = σ 2 18

19 Bemerkungen: Wichtigste stetige Verteilung, da viele Größen näherungsweise normalverteilt sind. (C. F. Gauß: Beschreibung von Messfehlern) Der Zentrale Grenzwertsatz besagt, dass die Verteilung von Summen von unabhängigen Zufallsvariablen in vielen Fällen gut durch eine Normalverteilung angenähert werden kann. Die Verteilungsfunktion einer Normalverteilung ist keine elementare Funktion, also nicht mit einer Formel darstellbar. 19

20 Es gilt P (µ σ X µ + σ) = 0.68 P (µ 2σ X µ + 2σ) = 0.95 P (µ 3σ X µ + 3σ) =

21 Mathematische Stichprobe [random sample] Die Zufallsvariablen X 1,..., X n bilden eine (mathematische) Stichprobe, wenn sie unabhängig sind und die gleiche Verteilung besitzen [i.i.d.]. In diesem Fall bezeichnen wir mit X = 1 n X i n das Stichprobenmittel und mit i=1 die Stichprobenvarianz. S 2 X = 1 n 1 n (X i X) 2 i=1 Hinweis: X und S 2 sind Zufallsvariablen. 21

22 Das Modell der Mathematischen Stichprobe ist die Grundlage der schließenden Statistik! 22

23 t Verteilung Sei X 1,..., X n eine Stichprobe von N(µ, σ 2 ) verteilten Zufallsvariablen. Die Verteilung der Zufallsvariablen Z = (X µ) n S X heißt t Verteilung mit n 1 Freiheitsgraden. Die t Verteilung besitzt eine um Null symmetrische, glockenförmige Dichte, die sich für großes n der Dichte der Normalverteilung annähert. 23

24 χ 2 Verteilung Sei X 1,..., X n eine Stichprobe von N(0, 1) verteilten Zufallsvariablen. Die Verteilung der Zufallsvariablen Z = X Xn 2 heißt χ 2 Verteilung mit n Freiheitsgraden. Die Dichten sind für negative Argumente Null. Für positive Argumente sind sie für kleine n linkssteil und rechtsschief, für große n nähern sie sich einer Glockenkurve an. 24

25 Überschreitungswahrscheinlichkeiten [p-values] Sei Z eine Zufallsvariable. In der schließenden Statistik interessieren uns oftmals folgende Überschreitungswahrscheinlichkeiten: P (Z z), P (Z z), P ( Z z) Im Falle um Null symmetrischer Dichten gilt P (Z z) = P (Z z) P ( Z z) = P (Z z) + P (Z z) = 2 P (Z z) 25

Anliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können.

Anliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können. 2 Zufallsvariable 2.1 Einführung Anliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können. Eine Zufallsvariable X ordnet jedem elementaren Versuchsausgang

Mehr

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Dr. Andreas Wünsche TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 20. April 2017 Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 18.

Mehr

Statistik für Ingenieure Vorlesung 3

Statistik für Ingenieure Vorlesung 3 Statistik für Ingenieure Vorlesung 3 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 14. November 2017 3. Zufallsgrößen 3.1 Zufallsgrößen und ihre Verteilung Häufig sind

Mehr

Wirtschaftsmathematik

Wirtschaftsmathematik Einführung in einige Teilbereiche der Wintersemester 206 Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA Unabhängigkeit von Ereignissen A, B unabhängig: Eintreten von A liefert keine Information über P(B). Formal: P(A

Mehr

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Dr. Andreas Wünsche TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 15. April 2019 Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 3 Version: 1. April

Mehr

2 Zufallsvariable und Verteilungsfunktionen

2 Zufallsvariable und Verteilungsfunktionen 8 2 Zufallsvariable und Verteilungsfunktionen Häufig ist es so, dass den Ausgängen eines Zufallexperiments, d.h. den Elementen der Ereignisalgebra, eine Zahl zugeordnet wird. Das wollen wir etwas mathematischer

Mehr

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 4

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 4 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 4 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 25. April 2016 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung

Mehr

5. Spezielle stetige Verteilungen

5. Spezielle stetige Verteilungen 5. Spezielle stetige Verteilungen 5.1 Stetige Gleichverteilung Eine Zufallsvariable X folgt einer stetigen Gleichverteilung mit den Parametern a und b, wenn für die Dichtefunktion von X gilt: f x = 1 für

Mehr

SozialwissenschaftlerInnen II

SozialwissenschaftlerInnen II Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II Henning Best best@wiso.uni-koeln.de Universität zu Köln Forschungsinstitut für Soziologie Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.1 Wahrscheinlichkeitsfunktionen

Mehr

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze Prof. Dr. Christoph Karg Studiengang Informatik Hochschule Aalen Sommersemester 2018 2.5.2018 Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Diskreter

Mehr

Wichtige Definitionen und Aussagen

Wichtige Definitionen und Aussagen Wichtige Definitionen und Aussagen Zufallsexperiment, Ergebnis, Ereignis: Unter einem Zufallsexperiment verstehen wir einen Vorgang, dessen Ausgänge sich nicht vorhersagen lassen Die möglichen Ausgänge

Mehr

Einführung in Quantitative Methoden

Einführung in Quantitative Methoden Einführung in Quantitative Methoden Karin Waldherr & Pantelis Christodoulides 11. Mai 2011 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 1/40 Poisson-Verteilung Diese Verteilung

Mehr

Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management

Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management Sommersemester 2013 Hochschule Augsburg Lageparameter: Erwartungswert d) Erwartungswert

Mehr

Zusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen

Zusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zusammenfassung Mathe II Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zufallsexperiment: Ein Vorgang, bei dem mindestens zwei Ereignisse möglich sind

Mehr

5 Binomial- und Poissonverteilung

5 Binomial- und Poissonverteilung 45 5 Binomial- und Poissonverteilung In diesem Kapitel untersuchen wir zwei wichtige diskrete Verteilungen d.h. Verteilungen von diskreten Zufallsvariablen): die Binomial- und die Poissonverteilung. 5.1

Mehr

70 Wichtige kontinuierliche Verteilungen

70 Wichtige kontinuierliche Verteilungen 70 Wichtige kontinuierliche Verteilungen 70. Motivation Zufallsvariablen sind nicht immer diskret, sie können oft auch jede beliebige reelle Zahl in einem Intervall [c, d] einnehmen. Beispiele für solche

Mehr

1. Grundbegri e der Stochastik

1. Grundbegri e der Stochastik Wiederholung von Grundwissen der Stochastik. Grundbegri e der Stochastik Menge der Ereignisse. Die Elemente! der Menge heißen Elementarereignisse und sind unzerlegbare Ereignisse. Das Ereignis A tritt

Mehr

Zufallsvariablen. Diskret. Stetig. Verteilung der Stichprobenkennzahlen. Binomial Hypergeometrisch Poisson. Normal Lognormal Exponential

Zufallsvariablen. Diskret. Stetig. Verteilung der Stichprobenkennzahlen. Binomial Hypergeometrisch Poisson. Normal Lognormal Exponential Zufallsvariablen Diskret Binomial Hypergeometrisch Poisson Stetig Normal Lognormal Exponential Verteilung der Stichprobenkennzahlen Stetige Zufallsvariable Verteilungsfunktion: Dichtefunktion: Integralrechnung:

Mehr

Statistik für Ingenieure Vorlesung 5

Statistik für Ingenieure Vorlesung 5 Statistik für Ingenieure Vorlesung 5 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 28. November 2017 3.4 Wichtige stetige Verteilungen 3.4.1 Exponentialverteilung Parameter:

Mehr

4. Verteilungen von Funktionen von Zufallsvariablen

4. Verteilungen von Funktionen von Zufallsvariablen 4. Verteilungen von Funktionen von Zufallsvariablen Allgemeine Problemstellung: Gegeben sei die gemeinsame Verteilung der ZV en X 1,..., X n (d.h. bekannt seien f X1,...,X n bzw. F X1,...,X n ) Wir betrachten

Mehr

Statistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA. für Betriebswirtschaft und International Management

Statistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA. für Betriebswirtschaft und International Management Statistik für Betriebswirtschaft und International Management Sommersemester 2014 Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA Streuungsparameter Varianz Var(X) bzw. σ 2 : [x i E(X)] 2 f(x i ), wenn X diskret Var(X)

Mehr

Binomialverteilung. Häufigkeit, mit der Ereignis A bei n unabhängigen Versuchen eintritt. Träger von X : X = {0, 1, 2,..., n}.

Binomialverteilung. Häufigkeit, mit der Ereignis A bei n unabhängigen Versuchen eintritt. Träger von X : X = {0, 1, 2,..., n}. Binomialverteilung Konstruktionsprinzip: Ein Zufallsexperiment wird n mal unabhängig durchgeführt. Wir interessieren uns jeweils nur, ob ein bestimmtes Ereignis A eintritt oder nicht. X = Häufigkeit, mit

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 11. November 2010 1 Erwartungswert und Varianz Erwartungswert Varianz und Streuung Rechenregeln Binomialverteilung

Mehr

Stochastik für die Naturwissenschaften

Stochastik für die Naturwissenschaften Stochastik für die Naturwissenschaften Dr. C.J. Luchsinger 4. Zufallsgrösse X Literatur Kapitel 4 * Storrer: Kapitel (37.2)-(37.8), (38.2)-(38.3), (38.5), (40.2)-(40.5) * Stahel: Kapitel 4, 5 und 6 (ohne

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 21. Dezember 2011 1 Definition Binomialverteilung Geometrische Verteilung Poissonverteilung 2 Standardisierte Verteilung

Mehr

Statistik. Sommersemester Stefan Etschberger. für Betriebswirtschaft, Internationales Management, Wirtschaftsinformatik und Informatik

Statistik. Sommersemester Stefan Etschberger. für Betriebswirtschaft, Internationales Management, Wirtschaftsinformatik und Informatik Stefan Etschberger für Betriebswirtschaft, Internationales Management, Wirtschaftsinformatik und Informatik Sommersemester 2017 Rechenregeln für den Erwartungswert Ist f symmetrisch bzgl. a, so gilt E(X)

Mehr

Wahrscheinlichkeitsfunktion. Binomialverteilung. Binomialverteilung. Wahrscheinlichkeitshistogramme

Wahrscheinlichkeitsfunktion. Binomialverteilung. Binomialverteilung. Wahrscheinlichkeitshistogramme Binomialverteilung Wahrscheinlichkeitsfunktion Konstruktionsprinzip: Ein Zufallsexperiment wird n mal unabhängig durchgeführt. Wir interessieren uns jeweils nur, ob ein bestimmtes Ereignis A eintritt oder

Mehr

Statistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg. für Betriebswirtschaft und internationales Management

Statistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg. für Betriebswirtschaft und internationales Management für Betriebswirtschaft und internationales Management Sommersemester 2015 Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Normalverteilung Eine Zufallsvariable X mit einer Dichtefunktion und σ > 0 heißt

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Studierende der Informatik. PD Dr. U. Ludwig. Vorlesung 7 1 / 19

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Studierende der Informatik. PD Dr. U. Ludwig. Vorlesung 7 1 / 19 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Studierende der Informatik PD Dr. U. Ludwig Vorlesung 7 1 / 19 2.2 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung (Fortsetzung) 2 / 19 Bedingter Erwartungswert

Mehr

Programm. Wiederholung. Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung. Binomialverteilung. Hypergeometrische Verteilung

Programm. Wiederholung. Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung. Binomialverteilung. Hypergeometrische Verteilung Programm Wiederholung Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung Binomialverteilung Hypergeometrische Verteilung Wiederholung verschiedene Mittelwerte für verschiedene Skalenniveaus

Mehr

5. Stichproben und Statistiken

5. Stichproben und Statistiken 5. Stichproben und Statistiken Problem: Es sei X eine ZV, die einen interessierenden Zufallsvorgang repräsentiere Man möchte die tatsächliche Verteilung von X kennenlernen (z.b. mittels der VF F X (x)

Mehr

Statistik. Sommersemester Stefan Etschberger. für Betriebswirtschaft, Internationales Management, Wirtschaftsinformatik und Informatik

Statistik. Sommersemester Stefan Etschberger. für Betriebswirtschaft, Internationales Management, Wirtschaftsinformatik und Informatik Stefan Etschberger für Betriebswirtschaft, Internationales Management, Wirtschaftsinformatik und Informatik Sommersemester 2017 Normalverteilung Eine Zufallsvariable X mit einer Dichtefunktion f(x) =

Mehr

Kapitel VII. Einige spezielle stetige Verteilungen

Kapitel VII. Einige spezielle stetige Verteilungen Kapitel VII Einige spezielle stetige Verteilungen D. 7.. (Normalverteilung) Eine stetige Zufallsgröße X sei als normalverteilt bezeichnet, wenn sie folgende Wahrscheinlichkeitsdichte besitzt: µ f ( ; µ,

Mehr

Teil VIII. Zentraler Grenzwertsatz und Vertrauensintervalle. Woche 6: Zentraler Grenzwertsatz und Vertrauensintervalle. Lernziele. Typische Situation

Teil VIII. Zentraler Grenzwertsatz und Vertrauensintervalle. Woche 6: Zentraler Grenzwertsatz und Vertrauensintervalle. Lernziele. Typische Situation Woche 6: Zentraler Grenzwertsatz und Vertrauensintervalle Patric Müller ETHZ Teil VIII Zentraler Grenzwertsatz und Vertrauensintervalle WBL 17/19, 29.05.2017 Wahrscheinlichkeit

Mehr

Modelle diskreter Zufallsvariablen

Modelle diskreter Zufallsvariablen Statistik 2 für SoziologInnen Modelle diskreter Zufallsvariablen Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Zufallsvariable Eine Variable (Merkmal) X, deren numerische Werte als Ergebnisse eines Zufallsvorgangs aufgefasst

Mehr

2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung

2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung 2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung Die einfachste Verteilung ist die Gleichverteilung, bei der P(X = x i ) = 1/N gilt, wenn N die Anzahl möglicher Realisierungen von

Mehr

Eindimensionale Zufallsvariablen

Eindimensionale Zufallsvariablen Eindimensionale Grundbegriffe Verteilungstypen Diskrete Stetige Spezielle Maßzahlen für eindimensionale Erwartungswert Varianz Standardabweichung Schwankungsintervalle Bibliografie Bleymüller / Gehlert

Mehr

Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum. Zufallsvariablen. Dr. Thomas Zehrt

Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum. Zufallsvariablen. Dr. Thomas Zehrt Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Zufallsvariablen Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Einführung 2. Zufallsvariablen 3. Diskrete Zufallsvariablen 4. Stetige Zufallsvariablen 5. Erwartungswert

Mehr

Vorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft

Vorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft Vorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft Prof. Dr. Helmut Küchenhoff Institut für Statistik, LMU München Sommersemester 2017 Einführung 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation 2

Mehr

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc.

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc. Abiturvorbereitung Stochastik neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB 24.02.2014 Holger Wuschke B.Sc. Siedler von Catan, Rühlow 2014 Organisatorisches 0. Begriffe in der Stochastik (1) Ein Zufallsexperiment

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 17. November 2010 1 Gesetze Das Gesetz der seltenen Ereignisse Das schwache Gesetz der großen Zahl 2 Verteilungsfunktionen

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 1. Dezember 21 1 Integralrechnung Flächeninhalt Stammfunktion Rechenregeln 2 Dichten von Erwartungswert und Varianz

Mehr

Lösungen zu Übungsaufgaben Blatt 9

Lösungen zu Übungsaufgaben Blatt 9 Diskrete Zufallsgrößen Zu Aufgabe Die zufällige Anzahl X von Ausfällen eines Servers pro Jahr genüge folgender Verteilung: ai 0 3 4 5 6 >6 pi /0 /0 3/0 /0 /0 /0 /0 0 Ein Ausfall des Servers verursacht

Mehr

Wichtige Begriffe und Sätze aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wichtige Begriffe und Sätze aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung Wichtige Begriffe und Sätze aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung Version: 22. September 2015 Evelina Erlacher 1 Mengen Es sei Ω eine Menge (die Universalmenge ) und A, B seien Teilmengen von Ω. Dann schreiben

Mehr

Vorlesung Gesamtbanksteuerung Mathematische Grundlagen II Dr. Klaus Lukas Carsten Neundorf. Vorlesung 04 Mathematische Grundlagen II,

Vorlesung Gesamtbanksteuerung Mathematische Grundlagen II Dr. Klaus Lukas Carsten Neundorf. Vorlesung 04 Mathematische Grundlagen II, Vorlesung Gesamtbanksteuerung Mathematische Grundlagen II Dr. Klaus Lukas Carsten Neundorf 1 Was sollen Sie heute lernen? 2 Agenda Wiederholung stetige Renditen deskriptive Statistik Verteilungsparameter

Mehr

Bestimmte Zufallsvariablen sind von Natur aus normalverteilt. - naturwissenschaftliche Variablen: originär z.b. Intelligenz, Körpergröße, Messfehler

Bestimmte Zufallsvariablen sind von Natur aus normalverteilt. - naturwissenschaftliche Variablen: originär z.b. Intelligenz, Körpergröße, Messfehler 6.6 Normalverteilung Die Normalverteilung kann als das wichtigste Verteilungsmodell der Statistik angesehen werden. Sie wird nach ihrem Entdecker auch Gaußsche Glockenkurve genannt. Die herausragende Stellung

Mehr

Referenten: Gina Spieler, Beatrice Bressau, Laura Uhlmann Veranstaltung: Statistik für das Lehramt Dozent: Martin Tautenhahn

Referenten: Gina Spieler, Beatrice Bressau, Laura Uhlmann Veranstaltung: Statistik für das Lehramt Dozent: Martin Tautenhahn 8.5 Eindimensionale stetige Zufallsvariablen Eine Zufallsvariable X heißt stetig, wenn es eine Funktion f(x) gibt, sodass die Verteilungsfunktion von X folgende Gestalt hat: x F(x) = f(t)dt f(x) heißt

Mehr

7.5 Erwartungswert, Varianz

7.5 Erwartungswert, Varianz 7.5 Erwartungswert, Varianz Def. 7.5.: a) X sei eine diskrete ZV, die bei unendl. vielen Werten x k folgende Zusatzbedingung erfüllt: x k p k

Mehr

Wahrscheinlichkeit und Statistik: Zusammenfassung

Wahrscheinlichkeit und Statistik: Zusammenfassung HSR Hochschule für Technik Rapperswil Wahrscheinlichkeit und Statistik: Zusammenfassung beinhaltet Teile des Skripts von Herrn Hardy von Lukas Wilhelm lwilhelm.net 12. Januar 2007 Inhaltsverzeichnis 1

Mehr

1. Grundbegri e der Stochastik

1. Grundbegri e der Stochastik . Grundbegri e der Stochastik Raum der Ereignisse. Die einelementigen Teilmengen f!g heißen auch Elementarereignisse. Das Ereignis A tritt ein, wenn ein! A eintritt. A ist ein geeignetes System von Teilmengen

Mehr

Diskrete Zufallsvariablen (Forts.) I

Diskrete Zufallsvariablen (Forts.) I 9 Eindimensionale Zufallsvariablen Diskrete Zufallsvariablen 9.4 Diskrete Zufallsvariablen (Forts.) I T (X ) ist endlich oder abzählbar unendlich, die Elemente von T (X ) werden daher im Folgenden häufig

Mehr

Diskrete Zufallsvariablen (Forts.) I

Diskrete Zufallsvariablen (Forts.) I 9 Eindimensionale Zufallsvariablen Diskrete Zufallsvariablen 9.4 Diskrete Zufallsvariablen (Forts.) I T (X ) ist endlich oder abzählbar unendlich, die Elemente von T (X ) werden daher im Folgenden häufig

Mehr

Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge

Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge 2.4 Stetige Zufallsvariable Beispiel. Abfüllung von 500 Gramm Packungen einer bestimmten Ware auf einer automatischen Abfüllanlage. Die Zufallsvariable X beschreibe die Füllmenge einer zufällig ausgewählten

Mehr

Psychologische Methodenlehre und Statistik I

Psychologische Methodenlehre und Statistik I Psychologische Methodenlehre und Statistik I Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr SS 2013 Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr Psychologische Methodenlehre und Statistik I 1/61 Zufallsexperiment

Mehr

4.2 Moment und Varianz

4.2 Moment und Varianz 4.2 Moment und Varianz Def. 2.10 Es sei X eine zufällige Variable. Falls der Erwartungswert E( X p ) existiert, heißt der Erwartungswert EX p p tes Moment der zufälligen Variablen X. Es gilt dann: EX p

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun http://blog.ruediger-braun.net Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 16. Januar 2015 1 Verteilungsfunktionen Definition Binomialverteilung 2 Stetige Zufallsvariable,

Mehr

Der Erwartungswert E[g(X)] von g(x) ist definiert. g(x k )w(x = x k ),

Der Erwartungswert E[g(X)] von g(x) ist definiert. g(x k )w(x = x k ), 2.5 Parameter einer Verteilung 2.5. Erwartungswert X eine Zufallsvariable, g : R R stetig. Der Erwartungswert E[g(X)] von g(x) ist definiert durch: E[g(X)] := k g(x k )w(x = x k ), falls X diskret ist

Mehr

5. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren)

5. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren) 5. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren) 5.1. Einführung Schätzen unbekannter Parameter im Modell, z.b. Wahrscheinlichkeiten p i (Anteile in der Gesamtmenge), Erwartungswerte

Mehr

5. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren)

5. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren) 5. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren) 5.1. Einführung Schätzen unbekannter Parameter im Modell, z.b. Wahrscheinlichkeiten p i (Anteile in der Gesamtmenge), Erwartungswerte

Mehr

Vorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft

Vorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft Vorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft Prof. Dr. Helmut Küchenho Institut für Statistik, LMU München Sommersemester 2017 Einführung 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation 2 Elementare

Mehr

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master)

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Thema dieser Vorlesung: Verteilungen stetiger Zufallsvariablen Prof. Dr. Wolfgang Ludwig-Mayerhofer Universität Siegen Philosophische Fakultät, Seminar für Sozialwissenschaften

Mehr

3. Gemeinsame und bedingte Verteilung, stochastische Unabhängigkeit

3. Gemeinsame und bedingte Verteilung, stochastische Unabhängigkeit 3. Gemeinsame und bedingte Verteilung, stochastische Unabhängigkeit Lernziele dieses Kapitels: Mehrdimensionale Zufallsvariablen (Zufallsvektoren) (Verteilung, Kenngrößen) Abhängigkeitsstrukturen Multivariate

Mehr

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 2

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 2 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 2 Dr. Andreas Wünsche TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 16. April 2018 Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 2 Version: 9. April

Mehr

4. Gemeinsame Verteilung und Grenzwertsätze

4. Gemeinsame Verteilung und Grenzwertsätze 4. Gemeinsame Verteilung und Grenzwertsätze Häufig in der Praxis: Man muss mehrere (n) ZV en gleichzeitig betrachten (vgl. Statistik I, Kapitel 6) Zunächst Vereinfachung: Betrachte n = 2 Zufallsvariablen

Mehr

4. Gemeinsame Verteilung und Grenzwertsätze

4. Gemeinsame Verteilung und Grenzwertsätze 4. Gemeinsame Verteilung und Grenzwertsätze Häufig in der Praxis: Man muss mehrere (n) ZV en gleichzeitig betrachten (vgl. Statistik I, Kapitel 6) Zunächst Vereinfachung: Betrachte n = 2 Zufallsvariablen

Mehr

0 für t < für 1 t < für 2 t < für 3 t < für 4 t < 5 1 für t 5

0 für t < für 1 t < für 2 t < für 3 t < für 4 t < 5 1 für t 5 4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 1 Kapitel 4: Verteilungen und ihre Kennzahlen A: Beispiele Beispiel 1: Eine diskrete Zufallsvariable X, die nur die Werte 1,, 3, 4, 5 mit positiver Wahrscheinlichkeit

Mehr

Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler

Statistik II für Wirtschaftswissenschaftler Fachbereich Mathematik 20.04.2017 Dr. Hefter & Dr. Herzwurm Übungsblatt 0 Keine Abgabe. Gegeben seien die Mengen A 1 =, A 2 = {1}, A 3 = {1, 1}, A 4 = {1, 3}, A 5 = {1, 2, 4}, A 6 = {1, 2, 3, 4}. a) Bestimmen

Mehr

5 Zufallsvariablen, Grundbegriffe

5 Zufallsvariablen, Grundbegriffe II. Zufallsvariablen 5 Zufallsvariablen, Grundbegriffe Def. 12 Es seien (Ω 1, E 1,P 1 ) und (Ω 2, E 2,P 2 ) Wahrscheinlichkeitsräume. Eine Abbildung X : Ω 1 Ω 2 heißt E 1 E 2 meßbar, falls für alle Ereignisse

Mehr

Biostatistik, Sommer 2017

Biostatistik, Sommer 2017 1/51 Biostatistik, Sommer 2017 Wahrscheinlichkeitstheorie: Verteilungen, Kenngrößen Prof. Dr. Achim Klenke http://www.aklenke.de 8. Vorlesung: 09.06.2017 2/51 Inhalt 1 Verteilungen Normalverteilung Normalapproximation

Mehr

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Wahrscheinlichkeitsverteilungen Universität Bielefeld 3. Mai 2005 Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung Das Ziehen einer Stichprobe ist die Realisierung eines Zufallsexperimentes. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung betrachtet

Mehr

6.6 Poisson-Verteilung

6.6 Poisson-Verteilung 6.6 Poisson-Verteilung Die Poisson-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die zur Modellierung der Anzahl von zufälligen Vorkommnissen in einem bestimmten räumlichen oder zeitlichen Abschnitt

Mehr

Zusammenfassung PVK Statistik

Zusammenfassung PVK Statistik Zusammenfassung PVK Statistik (Diese Zusammenfassung wurde von Carlos Mora erstellt. Die Richtigkeit der Formeln ist ohne Gewähr.) Verteilungen von diskreten Zufallsvariablen Beschreibung Binomialverteilung

Mehr

Mathematica: u=5;s=1;plot[exp[-0.5((x-u)/s)^2],{x,0,10}] 76

Mathematica: u=5;s=1;plot[exp[-0.5((x-u)/s)^2],{x,0,10}] 76 4. Normalverteilung Gauß'sche Glockenkurve: P(a X b) = b 1 x 1 a e dx 1 0.8 0.6 0.4 0. 4 6 8 10 Mathematica: u=5;s=1;plot[exp[-0.5((x-u)/s)^],{x,0,10}] 76 Zentraler Grenzwertsatz: Es sei X 1, X,... eine

Mehr

Stochastik Wiederholung von Teil 1

Stochastik Wiederholung von Teil 1 Stochastik Wiederholung von Teil 1 Andrej Depperschmidt Sommersemester 2016 Wahrscheinlichkeitsraum Definition Das Tripple (Ω, A, P) heißt Wahrscheinlichkeitsraum, falls gilt: (i) A ist eine σ-algebra,

Mehr

KAPITEL 3 DISKRETE ZUFALLSVARIABLEN UND VERTEILUNGEN

KAPITEL 3 DISKRETE ZUFALLSVARIABLEN UND VERTEILUNGEN htw saar 1 KAPITEL 3 DISKRETE ZUFALLSVARIABLEN UND VERTEILUNGEN htw saar 2 Gliederung 18.01. Was sind Zufallsvariablen? Charakteristika einer Zufallsvariablen: Verteilung, Erwartungswert und Varianz Ausgewählte

Mehr

Motivation. Benötigtes Schulwissen. Übungsaufgaben. Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 10 Universität Basel. Statistik

Motivation. Benötigtes Schulwissen. Übungsaufgaben. Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 10 Universität Basel. Statistik Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 0 Universität Basel Statistik Dr. Thomas Zehrt Ausblick Motivation Wir werfen einen Würfel 000-mal und wir möchten die Wahrscheinlichkeit P bestimmen, dass zwischen

Mehr

Zufallsvariablen. Diskret. Stetig. Verteilung der Stichprobenkennzahlen. Binomial Hypergeometrisch Poisson. Normal Lognormal Exponential

Zufallsvariablen. Diskret. Stetig. Verteilung der Stichprobenkennzahlen. Binomial Hypergeometrisch Poisson. Normal Lognormal Exponential Zufallsvariablen Diskret Binomial Hypergeometrisch Poisson Stetig Normal Lognormal Exponential Verteilung der Stichprobenkennzahlen Zufallsvariable Erinnerung: Merkmal, Merkmalsausprägung Deskriptive Statistik:

Mehr

7.2 Moment und Varianz

7.2 Moment und Varianz 7.2 Moment und Varianz Def. 21 Es sei X eine zufällige Variable. Falls der Erwartungswert E( X p ) existiert, heißt der Erwartungswert EX p p tes Moment der zufälligen Variablen X. Es gilt dann: + x p

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 5. Vorlesung Verteilungsfunktion (VF) Definition 9 Die Verteilungsfunktion (VF) einer Zufallsgröße X ist F : R R definiert als F (x) := P({ω Ω : X (ω) x}) = P( X x ) für jedes x R. Satz 9 - Eigenschaften

Mehr

Statistische Analyseverfahren Abschnitt 2: Zufallsvektoren und mehrdimensionale Verteilungen

Statistische Analyseverfahren Abschnitt 2: Zufallsvektoren und mehrdimensionale Verteilungen Statistische Analyseverfahren Abschnitt 2: Zufallsvektoren und mehrdimensionale Verteilungen Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Oktober 2018 Prof. Dr. Hans-Jörg

Mehr

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Dr. Andreas Wünsche TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 7. Mai 2018 Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April

Mehr

Kapitel 10 VERTEILUNGEN

Kapitel 10 VERTEILUNGEN Kapitel 10 VERTEILUNGEN Fassung vom 18. Januar 2001 130 VERTEILUNGEN Zufallsvariable. 10.1 10.1 Zufallsvariable. HäuÞg wird statt des Ergebnisses ω Ω eines Zufalls-Experiments eine zugeordnete Zahl X(ω)

Mehr

Stetige Standardverteilungen

Stetige Standardverteilungen Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Stetige Standardverteilungen Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Die stetige Gleichverteilung 2. Die Normalverteilung (a) Einstimmung (b) Standardisierung

Mehr

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6 Inhaltsverzeichnis Vorbemerkungen 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimente 6 5 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 7 6 Bedingte

Mehr

13 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren

13 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren 3 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren Bisher haben wir uns ausschließlich mit Zufallsexperimenten beschäftigt, bei denen die Beobachtung eines einzigen Merkmals im Vordergrund stand. In diesem

Mehr

von x-würfeln bei wachsendem n? Zur Beantwortung führen wir ein Simulationsexperiment durch.

von x-würfeln bei wachsendem n? Zur Beantwortung führen wir ein Simulationsexperiment durch. Zentraler Grenzwertsatz Die Normalverteilung verdankt ihre universelle theoretische und praktische Bedeutung dem zentralen Grenzwertsatz. Unabhängig von der konkreten k Ausgangsverteilung konvergiert die

Mehr

13 Grenzwertsätze Das Gesetz der großen Zahlen

13 Grenzwertsätze Das Gesetz der großen Zahlen 13 Grenzwertsätze 13.1 Das Gesetz der großen Zahlen Der Erwartungswert einer zufälligen Variablen X ist in der Praxis meist nicht bekannt. Um ihn zu bestimmen, sammelt man Beobachtungen X 1,X 2,...,X n

Mehr

1 Wahrscheinlichkeitsrechnung. 2 Zufallsvariablen und ihre Verteilung. 3 Statistische Inferenz. 4 Hypothesentests. 5 Regression

1 Wahrscheinlichkeitsrechnung. 2 Zufallsvariablen und ihre Verteilung. 3 Statistische Inferenz. 4 Hypothesentests. 5 Regression 0 Einführung 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 Zufallsvariablen und ihre Verteilung 3 Statistische Inferenz 4 Hypothesentests 5 Regression Zufallsgrößen Ergebnisse von Zufallsexperimenten werden als Zahlen

Mehr

15.5 Stetige Zufallsvariablen

15.5 Stetige Zufallsvariablen 5.5 Stetige Zufallsvariablen Es gibt auch Zufallsvariable, bei denen jedes Elementarereignis die Wahrscheinlich keit hat. Beispiel: Lebensdauer eines radioaktiven Atoms Die Lebensdauer eines radioaktiven

Mehr

f(x) = P (X = x) = 0, sonst heißt Poisson-verteilt mit Parameter (oder Rate) λ > 0, kurz X P o(λ). Es gilt x x! 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 212

f(x) = P (X = x) = 0, sonst heißt Poisson-verteilt mit Parameter (oder Rate) λ > 0, kurz X P o(λ). Es gilt x x! 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 212 1.6.2 Poisson Verteilung Eine weitere wichtige diskrete Verteilung ist die Poisson-Verteilung. Sie modelliert die Anzahl (eher seltener) Ereignisse in einem Zeitintervall (Unfälle, Todesfälle; Sozialkontakte,

Mehr

Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management

Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management Einführung in die Statistik für Wirtschaftswissenschaftler für Betriebswirtschaft und Internationales Management Sommersemester 2013 Hochschule Augsburg Unabhängigkeit von Ereignissen A, B unabhängig:

Mehr

Erwartungswert, Umgebungswahrscheinlichkeiten und die Normalverteilung

Erwartungswert, Umgebungswahrscheinlichkeiten und die Normalverteilung R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 5.05.0 Erwartungswert, Umgebungswahrscheinlichkeiten und die Normalverteilung Erwartungswert binomialverteilter Zufallsgrößen Wird ein Bernoulli- Versuch, bei

Mehr

Wird ein Bernoulli- Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,2 ist, n = 40 mal durchgeführt, dann erwarten wir im Mittel 8 Treffer.

Wird ein Bernoulli- Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,2 ist, n = 40 mal durchgeführt, dann erwarten wir im Mittel 8 Treffer. R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 06.1008 Erwartungswert binomialverteilter Zufallsgrößen. Wird ein Bernoulli- Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,2 ist, n = 40 mal durchgeführt,

Mehr

Stochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume

Stochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume Stochastik 1. Wahrscheinlichkeitsräume Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft und gleichartig wiederholbarer Vorgang mit mindestens zwei verschiedenen Ergebnissen, bei dem der Ausgang ungewiß ist.

Mehr

Standardnormalverteilung

Standardnormalverteilung Standardnormalverteilung 1720 erstmals von Abraham de Moivre beschrieben 1809 und 1816 grundlegende Arbeiten von Carl Friedrich Gauß 1870 von Adolphe Quetelet als "ideales" Histogramm verwendet alternative

Mehr

Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung

Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Statistik 2 für SoziologInnen Normalverteilung Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Stetige Zufalls-Variable Erweitert man den Begriff der diskreten Zufallsvariable

Mehr