Stetige Standardverteilungen

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1 Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Stetige Standardverteilungen Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Die stetige Gleichverteilung 2. Die Normalverteilung (a) Einstimmung (b) Standardisierung (c) Wichtige Eigenschaften

2 2 Teil 1 Die stetige Gleichverteilung

3 Eine stetige Zufallsvariable X mit der Dichte 1 t [a,b] f Re (t) = b a 0 sonst heisst (stetig) gleichverteilt oder auch rechtecksverteilt auf dem Intervall [a,b]. 3 Aufgabe 1 Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F Re der stetigen Gleichverteilung auf dem Intervall [a, b] und skizzieren Sie f Re und F Re.

4 4 f Re (t) = 1 b a t [a,b] 0 sonst E(X) = a + b 2 Var(X) = (b a)2 12 Aufgabe 2 Beweisen Sie die Gleichungen für E(X).

5 Teil 2 Die Normalverteilung Einstimmung 5

6 6 Die Normalverteilung spielt eine ganz zentrale Rolle, da viele Erscheinungen der Realität, zumindest näherungsweise, dieser Verteilung folgen. Beispiel: Grösse aller Schweizer Männer (häufen sich um die 1.80 m, nach oben und unten nimmt die Häufigkeit ab). Es käme etwa die folgende Kurve zu Stande ,0 0,5 1,0 t 1,5 2,0

7 Weitere Beispiele für normalverteilte Zufallsvariablen: der Intelligenzquotient, die täglichen Renditen einer Firma, das Schlachtgewicht von Mastochsen... 7 Gemeinsamkeit: Es sind Grössen, die aus der Summe vieler verschiedener (und kleiner) zufälliger Einflüsse entstehen. Einflüsse auf den Intelligenzquotienten: Gene, Eltern, Geschwister, Schule, Lehrer, Ernährung, wie lange man als Säugling einen Schnuller hatte usw.

8 8 Eine stetige Zufallsvariable X heisst mit den Parametern normalverteilt oder N(µ,σ 2 )-verteilt, µ ( < µ < ) und σ 2 (0 < σ 2 ), falls ihre Dichte durch die Funktion f(t) = 1 σ (t µ) 2 2π e 2σ 2 =: φ(t;µ,σ 2 ) gegeben ist. Der Graph von f wird auch als bezeichnet. Gaußsche Glockenkurve

9 Beispiel: φ(t;1.8, ) = (t 1.8) 2 2π e ,0 0,5 1,0 1,5 2,0 t

10 10 Die Verteilungsfunktion ist dann F(x) = x f(t) dt = 1 σ 2π x e (t µ)2 2σ 2 dt =: Φ(x;µ,σ 2 ). Bemerkung: Die Dichtefunktion f ist nicht elementar integrierbar, d.h. f hat keine Stammfunktion, die aus den elementaren Funktionen (Polynome, rationale Funktionen, e x, log(x), sin(x), cos(x),...) zusammengesetzt ist.

11 Verteilung (rot) und Verteilungsfunktion (blau) für µ = 0 und σ = 0.5,1 und ,8 0,8 0,6 0,6 0,4 0,4 0,2 0, x x ,8 0,6 0,4 0, x 4

12 12 Teil 2 Die Normalormalverteilung Standardisierung

13 Von spezieller Bedeutung ist die 13 Standardnormalverteilung eine Normalverteilung mit den Parametern µ = 0 und σ 2 = 1. Die Dichte ist f(t) = 1 2π e t2 2 =: φ(t) und die zugehörige Verteilungsfunktion schreibt sich als: F(x) = 1 x 2π e t2 2 dt =: Φ(x). Einfache Eigenschaften von Φ Φ(0) = 1/2 Φ( x) = 1 Φ(x)

14 14 φ(t) = 1 2π e t2 2 0,4 0,3 0,2 0,1 0, t

15 Es gilt der Zusammenhang: 15 Ist die Zufallsvariable X N(µ,σ 2 )-verteilt, so ist die Zufallsvariable X µ standardnormalverteilt: σ Φ(x;µ,σ 2 ) = Φ ( ) x µ σ Es genügt also, die Funktionswerte von Φ(x) bestimmen zu können, um die Funktionswerte jeder der Funktionen Φ(x;µ,σ 2 ) berechnen zu können. Früher gab es umfangreiche Tafelwerke, in denen die Funktionswerte von Φ tabelliert waren.

16 16 Aufgabe 3 Die Zufallsvariable sei normalverteilt mit E(X) = 1 und V ar(x) = 4. Drücken Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten durch Funktionswerte der Funktion Φ aus: 1. P(X 1) 2. P( X > 4) 3. P( X 1 > 6) 4. P(X < 2) 5. P(0 X 2) Lösungen: 1 Φ(0) = 1/2, 2 Φ(5/2) Φ(3/2), 2 2Φ(3), Φ(1/2), 2Φ(1/2) 1

17 Teil 2 Die Normalverteilung Wichtige Eigenschaften 17

18 18 Sei X eine N(µ,σ 2 )-verteilte Zufallsvariable mit der zugehörigen Dichtefunktion f(t) = 1 σ (t µ) 2 2π e 2σ 2 und Verteilungsfunktion F(x) = 1 σ 2π x e (t µ)2 2σ 2 dt. Dann gelten die folgenden Aussagen:

19 1. f(t) ist symmetrisch bezüglich der Achse x = µ, d.h. es gilt 19 f(µ + t) = f(µ t) für alle reellen Zahlen t.

20 20 2. f(t) hat ein lokales Maximum an der Stelle t = µ und sonst keine Extremalstellen.

21 3. Die einzigen beiden Wendestellen von f(t) sind µ + σ und µ σ. 21

22 22 4. lim t ± f(t) = 0

23 5. E(X) = µ und Var(X) = σ 2 23

24 24 6. Die folgenden Wahrscheinlichkeiten sind unabhängig von der konkreten Wahl der Parameter µ und σ: P(µ σ X µ + σ) = P(µ 2σ X µ + 2σ) = P(µ 3σ X µ + 3σ) = Für jede Normalverteilung gilt also: 68.3% der Gesamtfläche unter f liegen zwischen den Grenzen µ σ und µ + σ, 95.5% der Gesamtfläche unter f liegen zwischen den Grenzen µ 2σ und µ+2σ, 99.7% der Gesamtfläche unter f liegen zwischen den Grenzen µ 3σ und µ+3σ,...

25 25 0,4 0,3 0,2 0,1 0, t

26 26 Beweis: Die Zufallsvariable X sei N(µ,σ 2 )-verteilt. Dann gilt: P(µ σ X µ + σ) = Φ(µ + σ;µ,σ) Φ(µ σ;µ,σ) ( ) ( ) µ + σ µ µ σ µ = Φ Φ σ σ = Φ (1) Φ ( 1) = 2Φ (1) Die anderen beiden Regeln können analog bewiesen werden.

27 Aufgabe 4 27 Sei X eine normalverteilte Zufallsvariable, deren Verteilungsfunktion F bzw. deren Verteilung f die folgenden Eigenschaften haben: F(4 + x) = 1 F(4 x) gilt für alle x und max f(x) = 1 x R 8π Bestimmen Sie E(X) und V ar(x).