0, t 0,5

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1 XIII. Die Normalverteilung ==================================================================. Der lokale Grenzwertsatz Standardisierung von B(4; 0,) : 0, t Standardisierung von B(8; 0,) : 0, t Lokaler Grenzwertsatz : Die Dichtefunktion ϕ n (= Treppenfunktion, die ein Histogramm oben berandet) der standardisierten Binomialverteilung B(n; p) geht mit wachsendem n gegen die Grenzfunktion ϕ(t) = π e t ϕ heißt deshalb Dichte der Standardnormalverteilung. Eigenschaften von ϕ :. Achsensymmetrie ϕ( t) = ϕ(t). lim ϕ(t) = 0 t ±

2 . ϕ(t)dt = 0, Anwendung : Für große n ( > 9) gilt : B(n; p; k) π e (k np) ( lokale Näherung) Begründung : Breite eines Histogrammrechtecks der standardisierten Binomialverteilung : t = σ = Höhe des zu k gehörenden Rechtecks : h ϕ(t) = ϕ( k np ) B(n; p; k) h t = e π k np Beispiel : Es ist B(00; 0,; 4) = 0,0480 Die lokale Näherung ergibt : B(00; 0,; 4) π 00 0, 0, e (4 0) 00 0, 0, 0,04 Bemerkung : Eine Wertetabelle von ϕ findet man in der Stochastik-Tabelle (S.9).

3 . Integraler Grenzwertsatz p k l ϕ( )t ) 0, t k l t Im Histogramm der Binomialverteilung B(n;p) ist die Flächensumme der Histogrammrechtecke von k bis l mit 0 k l n gleich der Wahrscheinlichkeit P(k X l) für die Trefferzahl X. Ist X S die Standardisierung von X und t k und t l die standardisierten Werte von k und l, dann gilt P(t k X s t l ) = P(k X l). Die Flächenberechnung lässt im Histogramm von durchführen. X S näherungsweise durch eine Integration P(k X l) = k i l B(n; p; i) ϕ(t)dt t k t l l µ+ σ k µ σ ϕ(t)dt Setzt man Φ(x) : = x ϕ(t)dt = x e t dt, π dann gilt

4 Satz : Für die Binomialverteilung gilt folgende Näherungsformel l np + 0, k np 0, P(k X l) Φ( ) Φ( ) Stellt man keine zu großen Ansprüche an die Genauigkeit, dann reicht aus P(k X l) Φ(( l-np k- np ) - Φ(( ) Spezialfall : l = k (integrale Näherungsformel bzw. Laplace - Näherung) k np + 0, k np 0, P( X = k) Φ( ) Φ( ) Bemerkungen und Beispiele :. Die Werte der Funktion Φ lassen sich nur numerisch berechnen. Als Graph ergibt sich Z(0; 0,) x. Es gilt lim Φ(x) = 0 und lim Φ(x) = x x. Der Graph von Φ ist punktsymmetrisch zu Z 0. Also ist Φ(x) = Φ( x) Φ( x) = Φ(x)

5 Daher findet man nur für positive x die Werte von Φ(x) in der Stochastiktabelle. So ist z.b. Φ(,) = Φ(,) 0,88877 = 0, Die Punktsmmetrie von Φ folgt aus der Achsensymmetrie von ϕ. 4. Φ ist streng monoton steigend und damit umkehrbar. Man findet Werte der Umkehrfunktion in der Stochastiktabelle. So ist z.b. Φ (0,0,9),6449 und Φ (0,97),9600. Für die Verteilungsfunktion F gilt : x np + 0, 0 np 0, x np + 0, F(x) = P( X x) Φ( ) Φ( ) ( )

6 Aufgabentypen : Berechnen von Wahrscheinlichkeiten Ein L-Würfel wird 600mal geworfen. Berechnen Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit, dass a) mindestens 9mal und höchstens mal b) höchstens mal c) mindestens mal d) genau 99mal eine Sechs fällt. X : Anzahl der gewürfelten Sechsen Erwartungswert : E(X) = µ = np = = 0 Standardabweichung : σ = Var(X) = = = a) P(9 X ) φ( -0+ ) - φ( 9 0 ) Φ(,) Φ( 0,60) = Φ(,) Φ(0,60) 0, ,77 66,% bzw. P(9 X ) = P(X ) P(X 94) = F() F(94) = = Φ( -0+ ) - Φ( ) mit dem gleichen Ergebnis.

7 b) P(0 X ) = Φ( 0+ ) - Φ( ) Φ(0,60) Φ(,90) 0,77 7,6% 0 c) P(X ) = P(X ) Φ( -0+ ) Φ(0,7) 0,6064 9,4% d) P(X = 99) Φ(( ) Φ(( 99-0 ) Φ( 0,0) Φ(( 0,6) = Φ((0,6) Φ((0,0) 4,% Bestimmen von Intervallen Eine Laplace-Münze wird 400mal geworfen. In welchem möglichst kleinen Intervall symmetrisch zum Erwartungswert liegt mit mindestens 9% Wahrscheinlichkeit die Anzahl der Adler? X : Anzahl der Adler Erwartungswert : E(X) = 400 = 00 Standardabweichung : σ = 400 = Ansatz für das Intervall : I = 00 k; 00 + k Bedingung : P(00 k X 00 + k) 0,9 Φ( 00 + k 00+ ) Φ( 00 k 00 ) 0,9

8 Φ( k+ ) Φ( k ) 0,9 Φ( k+ ) Φ( k + ) 0,9 Φ( k+ ),9 Φ( k+ ) 0,97 ο φ k+,96 k 9, k min = 0 Mit mindestens 9% Wahrscheinlichkeit liegt die Anzahl der Adler im Intervall 80; 0. Bestimmen der Versuchsanzahl Aufgabe : In einer Urne beträgt der Anteil roter Kugeln 6%. Wie viele Kugeln muss man mindestens mit Zurücklegen ziehen, damit man mit mindestens 90%-iger Wahrscheinlichkeit mehr als 0 rote Kugeln darunter sind? Bedingung : P(X > 0) 0,9 - P(X 0) 0,90 P(X 0) 0, 0-0,6n+0, Φ( ) 0, n 0,6 0,64 0, 0,6n 0,48 n,86 0, 0,6n 0,668 n 0,6n 0,668 n 0, 0 Substitution u = n und Übergang zur Gleichung : 0,6u 0,668u 0, = 0 u 7,6 u,9 Rücksubstitution und Rundung : Man muss mindestens ziehen.

9 Bestimmen der Trefferwahrscheinlicheit Wie hoch muss der Anteil roter Kugeln in einer Urne mindestens sei, damit man beim Ziehen von 400 Kugeln mit Zurücklegen mit mindestens 90% Wahrscheinlichkeit mindestens 0 rote Kugeln erhält? P(X 0) 0,9 - P(X 99) 0,90 P(X 99) 0, p+0, Φ( ) 0, 400pq 99, 400p 0 p( p),86 99, 400p,6 p( p) 6066,9994p 806,9994p 9900, 0 Daraus ergibt sich, dass der Anteil mindestens 7,8% betragen muss. Normalverteilte Größen Die mittlere Lebensdauer eines Motors beträgt km mit einer Standardabweichung von km. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Motor eine Lebensdauer von mindestens 0000 km hat? P(X 0000) = P(X 0000) = Φ( ) = Φ(,),6% Definition : Hat eine Zufallsgröße X mit E(X) = µ und Var(X) = σ die Verteilungsfunktion dann heißt sie normalverteilt nach N(µ; σ). F(x) = Φ( x- µ, σ )