Wenn es sich um ein faires Spiel handeln soll, muss der Einsatz 1 betragen (2) Weniger als 3 mal Wappen ( ) 32 (3) Mindestens 1 mal Wappen ( )

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1 R. Brinkmann Seite Lösungen Stochastik vermischt II Ergebnisse: E E E E4 E E6 Ergebnis Wenn es sich um ein faires Spiel handeln soll, muss der Einsatz betragen. Ergebnisse a) k P( X = k) b) () Höchstens mal Wappen ( ) 6 P X = = 0,8 () Weniger als mal Wappen ( ) 6 P X < = = 0, () Mindestens mal Wappen ( ) P X = = 0,9687 (4) Mehr als einmal Wappen ( ) 6 P X > = = 0,8 Ergebnis Die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl der Erfolge im Intervall [ 0 ; 80 ] beträgt etwa 8,8%. Ergebnis Die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl der Erfolge im Intervall [ 80 ; 6 ] beträgt etwa 90%. Ergebnisse a) Die Wahrscheinlichkeit für weniger als 6 Erfolge ist etwa,4%. b) Die Wahrscheinlichkeit für mehr als 80 Erfolge ist etwa 47,%. Ergebnis Die Wahrscheinlichkeit der Erfolge im Intervall [89 ; 04] ist etwa 7,6%. Die Tabelle der Wahrscheinlichkeiten für Sigma- Umgebungen normalverteilter Zufallsvariablen befindet sich an Ende dieses Dokuments. Erstellt von R. Brinkmann p9_stoch_08_e.doc : Seite von 9

2 R. Brinkmann Seite en: A A Eine Urne enthält eine rote, eine schwarze und eine grüne Kugel. Es wird solange ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen, bis eine grüne Kugel erscheint. Wird die grüne Kugel im. Zug gezogen, so ist die Ausspielung. Wird die grüne Kugel im. Zug gezogen, so ist die Ausspielung. Wird die grüne Kugel im. Zug gezogen, so ist die Ausspielung 0. Wie hoch muss der Einsatz sein, damit es sich um ein faires Spiel handelt? Mit Hilfe des dreistufigen Baumdiagramms und der Pfadregel errechnet man die Wahrscheinlichkeiten dafür eine grüne Kugel zu ziehen. Ausspielung / Zug Ergebnisse P X / / / / / / ( g) ( sg );( rg) + = 6 6 ( srg );( rsg) + = Zug. Zug. Zug E( X) = = Der Erwartungswert der Ausspielung ist E(X) =. Wenn es sich um ein faires Spiel handeln soll, muss der Einsatz betragen. Erstellt von R. Brinkmann p9_stoch_08_e.doc : Seite von 9

3 R. Brinkmann Seite A Eine Münze wird mal geworfen und p sei 0,. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X: Anzahl der Wappen. b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wirft man () Höchstens mal Wappen? () Weniger als mal Wappen? () Mindestens mal Wappen? (4) Mehr als einmal Wappen? A en a) Das Problem kann als stufiger Bernoulli Versuch betrachtet werden mit n = und p = 0,. Gesucht ist P(X = k) für k = 0,,,, 4, k P X = k ( ) ,0 0 = = = = 4 0,6 = = = = = 4 0 = 0 0 0, = = = = , = = = = = = = 4 0,6 = = = 0 4 0,0 = = = = = 4 A b) () Höchstens mal Wappen bedeutet: P( X ) = = = 0,8 () Weniger als mal Wappen bedeutet: 0 6 P( X < ) = + + = = 0, () Mindestens mal Wappen bedeutet: 0 0 P( X ) = = = 0,9687 (4) Mehr als mal Wappen bedeutet: P( X > ) = = = 0,8 Erstellt von R. Brinkmann p9_stoch_08_e.doc : Seite von 9

4 R. Brinkmann Seite A Gegeben ist ein n- stufiger Bernoulli- Versuch mit n = 00 und p = 0,. Zu bestimmen ist die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl der Erfolge im Intervall [ 0 ; 80]. Es soll mit einer Genauigkeit von drei Stellen hinter dem Komma gerechnet werden. A A n = 00 μ = n p = 00 0, = 6 p = 0, σ= n p p = 6 0,67 = 0, 0,4 > ( ) { } ( ) = ( ) *) Intervall ist symmetrisch zum Erwartungswert P0 X 80 P49, X 80, Radius um den Erwartungswert: r = μ 49, = 6 49, =, r, = z =,474 r = z σ,474 σ σ 0, P 0 X 80 = P μ z σ X μ+ z σ = P μ,474 σ X μ+,474 σ z =,474 Tabellenwert: 0,88 P 0 X 80 0,88 8,8% ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl der Erfolge im Intervall [ 0 ; 80 ] beträgt etwa 8,8%. ( ) P0 X 80 0,8 8,% Erstellt von R. Brinkmann p9_stoch_08_e.doc : Seite 4 von 9

5 R. Brinkmann Seite A4 Bestimmen Sie die 90%- Umgebung vom Erwartungswert für n = 0 und p = 0,6. A4 n = 0 μ= n p = 0 0,6 = 98 p = 0,6 σ= n p ( p) = 98 0,64 = 6,7,7 > P( μ z σ X μ+ z σ ) = 0,90 Der dazugehörige z- Wert wird aus der Tabelle abgelesen für P = 0,90 z =,64 Umgebungsradius: r = z σ,64 6,7 8,46 μ z σ= 98 8,46 = 79,4 80 μ+ z σ= ,46 = 6,46 6 Das Intervall soll symmetrisch zum Erwartungswert μ= 98 liegen. Wir wählen: P( 80 X 6) Es ist zu prüfen, ob das Intervall { } der Forderung (90%) entspricht. P( 80 X 6) = P( 79, X 6,) r 8, r = 8, = r,64 σ z,64 σ,7 P( 80 X 6) 0,899 Die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl der Erfolge im Intervall [ 80 ; 6 ] beträgt etwa 90%. A4 90% 79, , Erstellt von R. Brinkmann p9_stoch_08_e.doc : Seite von 9

6 R. Brinkmann Seite A A Gegeben ist ein n- stufiger Bernoulli- Versuch. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für die Ergebnisse außerhalb von Umgebungen um den Erwartungswert. n = 00 p = 0,6 bestimmen Sie P X < 6 a) ( ) b) n = 40 p = / bestimmen Sie P( X > 80) a) n = 00 μ= n p = 00 0,6 = 68 p = 0,6 σ= n p ( p) = 68 0, 44 = 7,9 8,98 > Zu bestimmen ist die Wahrscheinlichkeit für das Intervall [0 ; 6]. Aus der Tabelle kann nur die Wahrscheinlichkeit für ein um den Erwartungswert symmetrisches Intervall abgelesen werden, dieses enthält die Werte [ ]. Daran anschließend folgt das Intervall [ ], welches aus Symmetriegründen die gleiche Größe wie [0 ; 6] hat. Es gilt folgender Ansatz: [ { } { } { }] P( X < 6) = P( X 6) = P( 6, X 74,) r 6, Radius : r = 68 6, = 6, = z = 0,76 r 0,76 σ σ 7,9 mit z 0,76 wird P( 6, X 74,) = P( μ z σ X μ+ z σ) 0, und damit wird P( X < 6) [ 0,] = 0,447 = 0, Die Wahrscheinlichkeit für weniger als 6 Erfolge ist etwa,4%. A a) P( X < 6) 0,4 =, 4% 6 Erstellt von R. Brinkmann p9_stoch_08_e.doc : Seite 6 von 9

7 R. Brinkmann Seite A A b) b) n = 40 μ= np = 40 = 80 p = 60 σ= np ( p) = 80 = 7,0> { }{ 79, , }{ } P( X > 80) = P( 79, X 80,) r 0, Radius : r = 80 79, = 0, = z = 0,068 r 0,07 σ σ 60 mit z 0,07 wird P79, ( X 80, ) = P( μ z σ X μ+ z σ) 0,06 und damit wird P ( X > 80) 0, ( 0,06) = 0, 0,944 0, 47 Die Wahrscheinlichkeit für mehr als 80 Erfolge ist etwa 47,%. P( X > 80) 0, 47 = 47,% 8 Erstellt von R. Brinkmann p9_stoch_08_e.doc : Seite 7 von 9

8 R. Brinkmann Seite A6 Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit einer nicht symmetrischen Umgebung vom Erwartungswert. n = 80, p = 0,, Intervall: [ ]. A6 A6 n = 80 μ = np = 800, = 99 p = 0, σ= n p p = 99 0,4 = 44, 6,67 > ( ) ( ) { }{ }{ } ( ) = P89 ( X ) + P( 94 X 04) bestimmen Sie P 89 X 04 Ansatz: P 89 X 04 9 P89 ( X 9) = P89 ( X 09) P94 ( X 04) P89 ( X 04) = P 8 9 X 09 P 94 X 04 + P94 X 04 = P ( 89 X 09 ) P ( 94 X 04 ) + P( 89 X 09) = P( 88, X 09,) r 0, r = 0, = z =,7 r,7 σ σ 6,67 P89 ( X 09) 0,884 P94 ( X 04) = P9, ( X 04,) r, r =, = z = 0,8 r 0,8 σ σ 6,67 P94 ( X 04) 0,88 P( 89 X 04) = [ 0, ,88] = 0,76 Die Wahrscheinlichkeit der Erfolge im Intervall [89 ; 04] ist etwa 7,6%. ( ) ( ) ( ) P( 89 X 04) 0,76 = 7,6% Erstellt von R. Brinkmann p9_stoch_08_e.doc : Seite 8 von 9

9 R. Brinkmann Seite Wahrscheinlichkeiten für σ Umgebungen normalverteilter Zufallsvariablen P = P μ z σ X μ+ z σ falls σ > Laplace- Bedingung ( ) z P z P z P z P z P z P 0,0 0,008 0, 0,90,0 0,688, 0,869,0 0,96, 0,988 0,0 0,06 0, 0,97,0 0,69, 0,87,0 0,97, 0,988 0,0 0,04 0, 0,404,0 0,697, 0,874,0 0,98, 0,989 0,04 0,0 0,4 0,4,04 0,70,4 0,876,04 0,99,4 0,989 0,0 0,040 0, 0,48,0 0,706, 0,879,0 0,960, 0,989 0,06 0,048 0,6 0,4,06 0,7,6 0,88,06 0,96,6 0,990 0,07 0,06 0,7 0,4,07 0,7,7 0,884,07 0,96,7 0,990 0,08 0,064 0,8 0,48,08 0,70,8 0,886,08 0,96,8 0,990 0,09 0,07 0,9 0,44,09 0,74,9 0,888,09 0,96,9 0,990 0,0 0,080 0,60 0,4,0 0,79,60 0,890,0 0,964,60 0,99 0, 0,088 0,6 0,48, 0,7,6 0,89, 0,96,6 0,99 0, 0,096 0,6 0,46, 0,77,6 0,89, 0,966,6 0,99 0, 0,0 0,6 0,47, 0,74,6 0,897, 0,967,6 0,99 0,4 0, 0,64 0,478,4 0,746,64 0,899,4 0,968,64 0,99 0, 0,9 0,6 0,484, 0,70,6 0,90, 0,968,6 0,99 0,6 0,7 0,66 0,49,6 0,74,66 0,90,6 0,969,66 0,99 0,7 0, 0,67 0,497,7 0,78,67 0,90,7 0,970,67 0,99 0,8 0,4 0,68 0,0,8 0,76,68 0,907,8 0,97,68 0,99 0,9 0, 0,69 0,0,9 0,766,69 0,909,9 0,97,69 0,99 0,0 0,9 0,70 0,6,0 0,770,70 0,9,0 0,97,70 0,99 0, 0,66 0,7 0,, 0,774,7 0,9, 0,97,7 0,99 0, 0,74 0,7 0,8, 0,778,7 0,9, 0,974,7 0,99 0, 0,8 0,7 0,, 0,78,7 0,96, 0,974,7 0,994 0,4 0,90 0,74 0,4,4 0,78,74 0,98,4 0,97,74 0,994 0, 0,97 0,7 0,47, 0,789,7 0,90, 0,976,7 0,994 0,6 0,0 0,76 0,,6 0,79,76 0,9,6 0,976,76 0,994 0,7 0, 0,77 0,9,7 0,796,77 0,9,7 0,977,77 0,994 0,8 0, 0,78 0,6,8 0,799,78 0,9,8 0,977,78 0,99 0,9 0,8 0,79 0,70,9 0,80,79 0,97,9 0,978,79 0,99 0,0 0,6 0,80 0,76,0 0,806,80 0,98,0 0,979,80 0,99 0, 0,4 0,8 0,8, 0,80,8 0,90, 0,979,8 0,99 0, 0, 0,8 0,88, 0,8,8 0,9, 0,980,8 0,99 0, 0,9 0,8 0,9, 0,86,8 0,9, 0,980,8 0,99 0,4 0,66 0,84 0,99,4 0,80,84 0,94,4 0,98,84 0,99 0, 0,74 0,8 0,60, 0,8,8 0,96, 0,98,8 0,996 0,6 0,8 0,86 0,60,6 0,86,86 0,97,6 0,98,86 0,996 0,7 0,89 0,87 0,66,7 0,89,87 0,99,7 0,98,87 0,996 0,8 0,96 0,88 0,6,8 0,8,88 0,940,8 0,98,88 0,996 0,9 0,0 0,89 0,67,9 0,8,89 0,94,9 0,98,89 0,996 0,40 0, 0,90 0,6,40 0,88,90 0,94,40 0,984,90 0,996 0,4 0,8 0,9 0,67,4 0,84,9 0,944,4 0,984,9 0,996 0,4 0,6 0,9 0,64,4 0,844,9 0,94,4 0,984,9 0,996 0,4 0, 0,9 0,648,4 0,847,9 0,946,4 0,98,9 0,997 0,44 0,40 0,94 0,6,44 0,80,94 0,948,44 0,98,94 0,997 0,4 0,47 0,9 0,68,4 0,8,9 0,949,4 0,986,9 0,997 0,46 0,4 0,96 0,66,46 0,86,96 0,90,46 0,986,96 0,997 0,47 0,6 0,97 0,668,47 0,88,97 0,9,47 0,986,97 0,997 0,48 0,69 0,98 0,67,48 0,86,98 0,9,48 0,987,98 0,997 0,49 0,76 0,99 0,678,49 0,864,99 0,9,49 0,987,99 0,997 0,0 0,8,00 0,68,0 0,866,00 0,94,0 0,988,00 0,997 Erstellt von R. Brinkmann p9_stoch_08_e.doc : Seite 9 von 9