Trainingsaufgabe WS_02 Mathematik Cusanus-Gymnasium Wittlich Leistungskurse M1/M2 ZIM/LAN

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Herta Esser
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1 Mathematik Cusanus-Gymnasium Wittlich Leistungskurse M/M2 ZIM/LA Aufgabe Stochastik Die Glückskreisel I und II werden gedreht. Sie bleiben dabei jeweils auf einer Kante liegen. Die dort notierte Zahl gilt jeweils als geworfen. Die Glückskreisel können hier als ideale - bzw. 0-ecke angesehen werden.. Der Glückskreisel I wird jetzt 5 Mal gedreht. Das Ergebnis dieses 5-stufigen Zufallsexperiments wird als 5-stellige Zahl notiert... Wie viele verschiedene Zahlen können dabei auftreten?..2 Wie viele Zahlen mit mindestens vier gleichen Ziffern sind möglich?.. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt eine Zahl mit fünf verschiedenen Ziffern auf?.. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt eine gerade Zahl auf?.2 Es werden nun beide Kreisel gleichzeitig gedreht, bis zwei gleiche Zahlen auftreten, höchstens jedoch mal. Die Zufallsvariable Y ist hier die Anzahl der benötigten Würfe, bis zwei gleiche Ziffern erscheinen, oder Würfe getätigt wurden..2. Stellen Sie die Ergebnisse dieses Zufallsexperiments mit allen Wahrscheinlichkeiten an einem Baumdiagramm dar..2.2 Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y?.2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit benötigt man mindestens drei Würfe?.2. Wie groß ist der Erwartungswert E(Y)?. Ein Spiel besteht in einem einmaligen Doppelwurf mit den beiden Kreiseln. Der Einsatz beträgt 2. Gewonnen hat man, wenn beide Kreisel die gleiche Augenzahl zeigen. In diesem Fall erhält man 5 ausgezahlt... Wie lautet die Verteilungsfunktion für den Reingewinn G? (Reingewinn = Gewinn Einsatz)..2 Welcher Reingewinn ist pro Spiel zu erwarten?.. Wie hoch müsste der Einsatz sein, damit der Anbieter des Spiels im Mittel mit einem Gewinn von 0,50 rechnen kann?.. Wie oft müsste man mindestens spielen um mit mindestens 95%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens einmal einen positiven Reingewinn zu erzielen?. Der Kreisel II wird jetzt 00 mal betätigt... Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt dabei genau mal die Ziffer auf?..2 Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt die Ziffer mindestens 29 mal und höchstens mal auf?.5 Jetzt will man überprüfen, ob für diesen Kreisel die Hypothese p=0, für das Auftreten der Augenzahl 2 zutrifft. Dazu wird wieder 00 mal gedreht..5. Wie lautet eine Entscheidungsregel mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5%?.5.2 Beurteilen Sie das Ergebnis : Es tritt mal die Ziffer 2 auf. /6

2 Mathematik Cusanus-Gymnasium Wittlich Leistungskurse M/M2 ZIM/LA.5. Wie wäre das Ergebnis Die Ziffer 2 tritt 0 mal auf zu beurteilen? Aufgabe Schriftliche Abiturprüfung 2007 Stochastik Lösungsskizze. Kreisel I Kreisel II x 2 5 P(X=k) 2 y 2 P(Y=k) S = {( )...( )} # S = 5 = a) genau gleiche Ziffern -5 Möglichkeiten die Ziffer für die gleichen auszuwählen - 5 = 5 Möglichkeiten diese gleichen Ziffern auf 5 Plätze zu verteilen. - Möglichkeiten die restliche Zahl auszuwählen - Möglichkeit, diese Zahl auf einen Platz zu setzen = 5 5 = 00 b) genau 5 gleiche Ziffern -5 Möglichkeiten die Ziffer für die 5 gleichen auszuwählen und auf die 5 Plätze zu setzen. = 5 5,5 = = 05 Also insgesamt =05 Zahlen mit mindestens gleichen Ziffern... Die Wahrscheinlichkeit für irgendeine Zahl mit 5 versch. Ziffern ist nach der Pfadregel P= 2 = Da es insgesamt 5!=20 verschiedene Zahlen mit 5 versch. Ziffern gibt, ist 6 P(Zahl hat 5 verschiedene Ziffern) = 20 2,2% P(Zahl ist gerade)= sehr schwierig 2/6

3 Mathematik Cusanus-Gymnasium Wittlich Leistungskurse M/M2 ZIM/LA.2. Z = Anz. der Würfe bis Spielende Erfolg: gleiche Augenzahl P(a a)= + + = 20 = p = p = p = p =.2.2 k 2 P(Z=k) %,75% % 2,9%.2. P(Z ) = P(Z = ) + P(Z = 2) + P(Z = ) 57,% /6

4 Mathematik Cusanus-Gymnasium Wittlich Leistungskurse M/M2 ZIM/LA.2. E(Y)= k P(Y = k) 2,7.. W: Ergebnis des Doppelwurfs G : Reingewinn W ( ) (2 2) ( ) sonst 9 60 P(W) k P(G=k) E(G)= k P(G= k) = 6 + = Pro Spiel verliert man im Mittel 0,75.. Der Einsatz müsste dann,75 betragen.. X: Anzahl der Spiele mit erzieltem Reingewinn n-stufiges Bernoulli-Experiment ; Erfolg: Spiel mit Reingewinn p = q= P(X = 0) 0,95 0,95 P(X = 0) 0 n n 0,05 0 n 0,05 log log0,05 n log : log P(X ) 0,95 log0,05 n log Vorsicht : log 0 < /6

5 Mathematik Cusanus-Gymnasium Wittlich Leistungskurse M/M2 ZIM/LA 0,.. n Man muss also mindestens mal spielen, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% mindestens einmal einen positiven Reingewinn erzielt.. n=00 Erfolg: man würfelt eine p=0, q=0,7 X: gewürfelte Augenzahl.. 00 P(X ) 0, 0,7 aus Tabelle abgelesen. 67 = = 0,779-0,7=0,06 P(X = ) = P(X ) P(X 2) =0,972-0,955=0,07=,7%..2 P(29 X ) = P(X ) P(X 2) =0,779-0,77 =0,02=0,2%.5 ullhypothese H 0 : p = 0, für das Auftreten der 2 n=00 p = 0, Erfolg: 2 ist aufgetreten q= 0,6 X: Anzahl der Erfolge (Anzahl der 2er) 5/6

6 Mathematik Cusanus-Gymnasium Wittlich Leistungskurse M/M2 ZIM/LA = 0 E(X)=np σ = np 2,9 >,96 σ 9,6 U = [ ;9] 95%.5. Ich verwerfe die Hypothese falls weniger als mal oder mehr als 9 mal die 2 auftritt..5.2 Die Hypothese H 0 wird also nicht verworfen (d.h. sie wird beibehalten), weil ;9 (Irrtumswahrscheinlichkeit 5%) [ ] Das heißt aber nicht, dass die Hypothese H 0 richtig ist. Das Ergebnis ist z.b. auch verträglich mit der Hypothese H : p=0, E(X)=np σ = np 2,6,96 95% =.5. 0 [ ;9] [ ] [ 5;5] U = 5;5 d.h. ich verwerfe die Hypothese. Ich bin mir bewusst, dass ich dabei eine Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% habe. Auch bei p=0, kommen in 5% der Fälle Ergebnisse außerhalb der 95%-Umgebung vor. In diesem Fall würde ich die Hypothese zu unrecht verwerfen. 6/6

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