Lotto-Spiel (Wahrscheinlichkeiten für 6 aus 49 mit/ohne Zusatzzahl und mit/ohne Superzahl)

Transkript

1 Lotto-Spiel (Wahrscheinlichkeiten für aus mit/ohne Zusatzzahl und mit/ohne Superzahl) Jürgen Zumdick aus : Aus durchnummerierten Kugeln werden Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen Mit Zusatzzahl: Aus den restlichen Kugeln wird zusätzlich eine weitere Kugel gezogen. Mit Superzahl: Aus 0 durchnummerierten Kugeln (0 bis ) wird zusätzlich eine Kugel gezogen.. Ziehen von Kugeln X: Anzahl der Richtigen p(x = k) = Anzahl der Richtigen Möglichkeiten = 0 =8 =. =.80 =.8.0 = =.0. 0 Summe: =.8.8 (Von den gezogenen Zahlen muss der Spieler k Zahlen und von den übrigen nicht gezogen Zahlen muss er k Zahlen getippt haben) Zur Information: n n! = (Binomialkoeffizient) k!( n k)! n! = n und 0! = (Fakultät). Ziehen von Kugeln und einer Zusatzzahl X: Anzahl der Richtigen (mit oder ohne Zusatzzahl) Y: Anzahl der Richtigen mit Zusatzzahl Z: Anzahl der Richtigen ohne Zusatzzahl a) Der Zufallsprozess wird aus der Sicht des Tippers betrachtet, der Kreuze macht:

2 p(x = k) wie. p(y = k) = (Von den zuerst gezogenen Zahlen muss er k Zahlen haben, von den nicht gezogenen Zahlen muss er -k Zahlen haben, als.zahl muss er die gezogene Zusatzzahl haben) p(z = k) = (Von den zuerst gezogenen Zahlen muss er k Zahlen haben, von den nicht gezogenen Zahlen muss er -k Zahlen haben folglich hat er die gezogene Zusatzzahl nicht) p(x = k) = p(y = k) + p(z = k) Anzahl der Richtigen Möglichkeiten mit Zusatzzahl ohne Zusatzzahl mit Zusatzzahl 0 ohne Zusatzzahl. mit Zusatzzahl 7.0 ohne Zusatzzahl.00 mit Zusatzzahl 7.00 ohne Zusatzzahl.78.0 mit Zusatzzahl 7.80 ohne Zusatzzahl mit Zusatzzahl ohne Zusatzzahl..78 Summe: =.8.8 b) Der Zufallsprozess wird aus der Sicht der Lotto-Gesellschaft betrachtet, die 7 Zahlen zieht. Der Zufallsversuch wird in einen zweistufigen Versuch zerlegt (Ziehen von Zahlen, Ziehen einer Zahl: Anzahl der möglichen Fälle: ( Möglichkeiten für die Zusatzzahl) p(x = k) = k

3 Der Zufallsprozess besteht aus dem Ziehen von 7 Kugeln. Damit der Tipp des Spielers eine Teilmenge hiervon ist, muss er auch 7 Kugeln wählen ( bewertete und eine imaginäre 7. Kugel). p(y = k) = (Von den zuerst gezogenen Zahlen muss der Spieler k Zahlen haben, von den nicht gezogenen Zahlen muss er -k Zahlen haben, als. Zahl muss er die gezogene Zusatzzahl haben, für ein 7., imaginäres Kreuz hat er Möglichkeiten) p(z = k) = Es ergibt sich natürlich die gleiche Tabelle wie unter a). Ziehen von Kugeln mit Zusatzzahl und einer Superzahl (aktuelle Variante) Der Zufallsprozess wird aus der Sicht des Tippers betrachtet, der Kreuze macht und einen Tippschein mit einer Registrierungsnummer wählt/erhält. Die letzte Ziffer der Registrierungsnummer entspricht der Superzahl. Der Zufallsversuch hat jetzt 0 =.88.0 verschiedene Ausfälle. Für den Ausfall Richtige mit Superzahl gibt es eine Möglichkeit und für den Ausfall Richtige ohne Superzahl gibt es Möglichleiten ( Möglichkeit für Richtige, Möglichkeiten für die falsche Superzahl). Da für alle anderen Ausfälle lt. Spielregel die Superzahl keine Rolle spielt, gibt es für diese Ausfälle jeweils 0-mal so viele Ausfälle wie in der Tabelle bei a): SZ: Superzahl; ZZ. Zusatzzahl Gewinnklasse Anzahl der Richtigen Möglichkeiten mit SZ ohne SZ mit ZZ 0 ohne ZZ.0 mit ZZ.00 ohne ZZ.0 7 mit ZZ ohne ZZ..000 mit ZZ ohne ZZ mit ZZ ohne ZZ mit ZZ ohne ZZ.7.80 Summe:.88.0

4 Aus vorstehender Tabelle lassen sich die Gewinnwahrscheinlichkeiten für die einzelnen Gewinnklassen angeben: Gewinnklasse Wahrscheinlichkeit = Ziehen von Kugeln und einer Superzahl (Variante ab Mai 0) Die Ziehung der Zusatzzahl entfällt. Damit gibt es ebenfalls.88.0 Ausfälle Ist X die Anzahl der Richtigen mit Superzahl und Y die Anzahl der Richtigen ohne Superzahl, dann gilt: P(X=k)= und P(Y=k)= Gewinnklasse Anzahl der Richtigen Möglichkeiten mit SZ ohne SZ mit SZ 8 ohne SZ. mit SZ. ohne SZ.0 7 mit SZ.80 8 ohne SZ..80 mit SZ.8.0 ohne ZZ.0.0 mit SZ ohne SZ mit SZ.0. 0 ohne SZ Summe:.88.0 Nun lassen sich die Gewinnwahrscheinlichkeiten für die einzelnen Gewinnklassen angeben:

5 Gewinnklasse Wahrscheinlichkeit = Aufgabe Von der Lottogesellschaft werden für das neue Lottospiel folgende theoretische Auszahlungsquoten veröffentlicht (bei einem Einsatz von,00 pro Lottoreihe): Gewinnklasse Theoretische Quote 8..,0 7.,0 0.0,00.0,0 0,80,0 7 0,0 8 0,0 (feste Quote),00 Als Gesamtgewinnchance wird : angegeben. a) Ist die Angabe der Gesamtgewinnchance korrekt? b) Wie viel Prozent der Auszahlung entfallen auf die einzelnen Gewinnklassen? c) Welches ist der Erwartungswert der Auszahlung wie viel Prozent der Einnahmen werden also ausgezahlt? d) Welche theoretischen Quoten entsprächen den Gewinnwahrscheinlichkeiten (Entsprechen soll bedeuten: Verdoppelt sich die Wahrscheinlichkeit, halbiert sich die Quote antiproportionaler Zusammenhang)? Lösung: a) Die Addition der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Gewinnklassen ergibt:

6 b) Die gesamte theoretische Auszahlung beträgt: 8..,0 + 7., , ,0 +. 0,80 +.0, , , ,00 =.7.7,0 Damit ergeben sich folgende prozentualen Auszahlungsquoten: Gewinnklasse Auszahlungsquote in % 8.. =,8% 7.,0 = 7,% 8 0.0,0 =,7%..0,0 =,%. 0,80 =,7%.0,0 = 7,% ,0 = 7,% ,0 =,%.8.0,00 =,% c).7.7,0 = , Es werden also etwa 0% der Einnahmen ausgezahlt. d) Bei einer Auszahlung entsprechend den Gewinnwahrscheinlichkeiten müssten in jeder Gewinnklasse 00% : =,% ausgezahlt werden.,% der Auszahlungssumme von sind ,7. Damit ergeben sich folgende theoretische (absolute) Quoten: Gewinnklasse Auszahlungsquote in % , ,7 : = 80.0, ,7 : 8 = 0.00, ,7 : =., ,7 : =

7 7, ,7 :0 =, ,7 :80 =, ,7 :..80 =, ,7 :.8.0 =,8