Wahrscheinlichkeitsrechnung

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Günter Beutel
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1 Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe: Experiment: ein Vorgang, den man unter gleichen Voraussatzungen beliebig oft wiederholen kann. Ergebnis ω : Ausgang eines Experiments Ergebnismenge Ω : Menge aller möglichen Ergebnisse Bsp.: Werfen einer Münze: ω = Kopf (K), ω 2 = Zahl (Z), Ω = { K, Z } Bsp.: werfen eines Würfels: ω =, ω 2 = 2,... ω 6 = 6, Ω = {,2,3,4,5,6 } Ereignis A = Teilmenge von Ω Bsp.: Werfen eines Würfels: A... Die Augenzahl ist größer als 4 A = Elementarereignis: Teilmenge von Ω, die nur ein Element enthält Bsp.: Werfen eines Würfels: A... Die Augenzahl ist 5 A = Sicheres Ereignis: A = Ω Bsp.: Werfen eines Würfels: A... Die Augenzahl ist Unmögliches Ereignis: A = { } Bsp.: Werfen eines Würfels: A... Die Augenzahl ist Gegenereignis A = Ω \A (Differenzmenge) Bsp.: Werfen eines Würfels: A... Die Augenzahl ist kleiner als 3 A = A... Die Augenzahl ist Es gilt immer: A A = A A =

2 Bsp.: Münzwurf: Ω = { Kopf, Zahl } Die beiden Ergebnisse Kopf und Zahl sind P( Kopf ) = 2 = 50%, P ( Zahl ) = 2 = 50% P... Probability Bsp.: Werfen eines Würfels: Ω = P( ) = P( 2 ) = P( 3 ) = P( 4 ) = P( 5 ) = P( 6 ) = Def.: Ein Experiment heißt LAPLACE-Experiment, wenn alle möglichen Ergebnisse gleichwahrscheinlich sind. Gibt es n mögliche Ergebnisse ω i, so tritt jedes mit der Wahrscheinlichkeit n ein, d.h. P ( ω i ) = n Beispiele für LAPLACE-Experimente: Gegenbeispiel: Berechnen von Wahrscheinlichkeiten: Def.: Unter der Wahrscheinlichkeit P(A) eines Ereignisses A versteht man eine Zahl von 0 bis, d.h. 0 P(A) Bsp.: unmögliches Ereignis: P( { } ) = sicheres Ereignis: P( Ω ) = Bsp.: Werfen eines Würfels: A... Augenzahl ist gerade A = Ω = Def.: LAPLACE sche Wahrscheinlichkeitsregel: Anzahl der für A günstigen Ergebnisse Anzahl aller möglichen Ergebnisse Voraussetzung: LAPLACE-Experiment (d.h. alle Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich)

3 Bsp.: Aus 20 Spielkarten wird eine gezogen: A man zieht einen König B man zieht eine Figur (König, Dame, Bub) P(B) = C man zieht ein rotes As P(C) = D man zieht keine Herzkarte P(D) = Bsp.: Wurf eines Würfels A Augenzahl ist kleiner als 5 A = A Augenzahl ist größer oder gleich 5 A = P(A ) = P(A) + P(A ) =

4 Pfadregeln Bsp.: 2 Münzen werden geworfen. ges.: Wahrscheinlichkeit, dass beide Kopf zeigen Ω ={ (K,K), (K,Z), (Z,K), (Z,Z) } P(K,K) = Das gleichzeitige Werfen von 2 Münzen ist gleichwertig mit dem zweimaligen Werfen einer Münze! Lösungsweg mit einem Baumdiagramm: K Z P(2 x Kopf) = P(2 x Zahl) = K Z K Z P( zuerst K, dann Z) = P( zuerst Z, dann K) = Kommt es auf die Reihenfolge der Ergebnisse an (hier: (K,Z) (Z,K) ), so spricht man von einer geordneten Stichprobe. Ihre WS ist das Produkt alles WS längs des zugeordneten Pfades. (.Pfadregel) P( 2 verschiedene Ergebnisse) = P(K,Z) + P(Z,K) = Fasst man (K,Z) und (Z,K) zu einem Ereignis zusammen, d.h. kommt es auf die Reihehfolge nicht an, so spricht man von einer ungeordneten Stichprobe. Ihre WS ist die Summe der zugehörigen Pfadwahrscheinlichkeiten. (2.Pfadregel)

5 Bsp.: Eine Münze wird dreimal geworfen: Es sei: A... nach zweimal Kopf wird Zahl geworfen B... es wird dreimal das gleiche geworfen C... Zahl wird öfter als Kopf geworfen D... es wird mindestens einmal Kopf geworfen ges.: P(A), P(B), P(C), P(D) gezogene Kugel jeweils in die Urne zurückgelegt ( Ziehen mit Zurücklegen ) gezogene Kugel nicht in die Urne zurückgelegt ( Ziehen ohne Zurücklegen ) Bsp.: Eine Münze wird dreimal geworfen: Es sei: A... nach zweimal Kopf wird Zahl geworfen B... es wird dreimal das gleiche geworfen C... Zahl wird öfter als Kopf geworfen D... es wird mindestens einmal Kopf geworfen ges.: P(A), P(B), P(C), P(D) gezogene Kugel jeweils in die Urne zurückgelegt ( Ziehen mit Zurücklegen ) gezogene Kugel nicht in die Urne zurückgelegt ( Ziehen ohne Zurücklegen )

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