Vorlesung Statistik, WING, ASW Wahrscheinlichkeit in Laplace Versuchen. Kombinatorische Formeln. Bedingte Wahrscheinlichkeit

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1 Wahrscheinlichkeit in Laplace Versuchen Kombinatorische Formeln Bedingte Wahrscheinlichkeit Multiplikationssatz Unabhängigkeit Melanie Kaspar 1

2 Formel der totalen Wahrscheinlichkeit Satz von Bayes Melanie Kaspar 2

3 Satz der Totalen Wahrscheinlichkeit und Bayes'sche Formel Vollständiges Ereignissystem Sei V ein zufälliger Versuch mit der Grundmenge und dem Ereignisfeld. Eine Menge von Ereignissen heißt vollständiges Ereignissystem in, falls gilt: a) für i j b) Beispiel: V = "Werfen eines Würfels" Melanie Kaspar 3

4 Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Bsp. Ein Produkt wird von 3 versch. Maschinen hergestellt. Maschine 1 produziert die Hälfte, Maschine 2 und 3 jeweils 1/4 der Gesamtproduktion. Außerdem ist bekannt, dass von Maschine 1 1% aller fehlerhaften Teile stammen, von Maschine 2 2% und von Maschine 3 3%. a) Wie groß ist der Anteil der fehlerhaften Teile an der Gesamtproduktion? Melanie Kaspar 4

5 Sei V ein zufälliger Versuch mit der Grundmenge und dem Ereignisfeld. Sei B ein bel. Ereignis zu V und A 1, A 2,..., A n ein vollständiges Ereignissystem. Dann gilt: (Formel der totalen Wahrscheinlichkeit) Melanie Kaspar 5

6 Bedingung b) Ich habe ein defektes Teil entdeckt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieses von Maschine 1 produziert wurde? Melanie Kaspar 6

7 Formel von Bayes geg: P(A) und P(B A) ges: P(A B) Verallgemeinerung Melanie Kaspar 7

8 Aufgabe In Saarbrücken wird im Mittel zu 8% Schwarzgefahren. 80% der Schwarzfahrer haben keine Fahrkarte, während die anderen 20% gefälschte oder illegal besorgte Karten besitzen. Von den ehrlichen Fahrgästen haben im Mittel 4% ihre Fahrkarte vergessen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein kontrollierter Fahrgast, der keine Karte vorzeigen kann, ein Schwarzfahrer? S = "Schwarzfahrer" K="Fahrgast hat eine Karte (Satz von Bayes) (Satz der totalen Wahrscheinlichkeit) Melanie Kaspar 8

9 Aufgabe Eine Krankheit kommt bei ca. 4% der Bevölkerung vor. Ein Test zur Erkennung der Krankheit führt bei 98% der Kranken zu einer Reaktion, aber auch bei 3% der Gesunden. 1. In wieviel Prozent aller Fälle tritt bei dem Test eine Reaktion ein? 2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, bei der die Reaktion eintritt, die Krankheit wirklich hat? K= "Person hat die Krankheit" T= "Test zeigt eine Reaktion" Melanie Kaspar 9

10 Vermischte Aufgaben Aufgabe 1 Sei V der zufällige Versuch "Roulette". Die möglichen Ergebnisse beim Roulette sind die Zahlen 0; 1; 2;... ; 36 (alle gleichwahrscheinlich). Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass ein Spieler gewinnt, wenn er a) auf das erste Dutzend (Zahlen 1 12) setzt? b) auf eine rote Zahl setzt? c) auf "impair" (=ungerade) setzt? a) b) c) Melanie Kaspar 10

11 Aufgabe 2 Sei V der zufällige Versuch "Ziehen einer Karte aus einem Spiel von 32 Karten". Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse: a) Es wird eine Herzkarte gezogen. b) Es wird eine Bildkarte gezogen. c) Es wird eine Bildkarte oder eine Kreuzkarte gezogen. a) b) c) Melanie Kaspar 11

12 Aufgabe 3 Sei V der zufällige Versuch "Würfeln mit 2 Würfeln". a) Geben Sie die Ergebnismenge an. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: 1) Werfen zweier Vierer 2) Werfen zweier ungerader Zahlen 3) Werfen zweier unterschiedlicher Zahlen 4) Werfen von genau einer Sechs. 5) Werfen von mindestens einer Sechs. 6) Die Augensumme der geworfenen Augenzahlen ist 5 oder 9. a) b) 1) 2) 3) 4) 5) keine Sechs geworfen oder 6) Melanie Kaspar 12

13 Aufgabe 4 Melanie Kaspar 13

14 Aufgabe 5 Oder: ( Modell mit Reihenfolge) 1.B 2.B andere Karte (B,B,K), (B,K,B), (K,B,B) B: Bube, K: andere Karte 1.K 2.K Dame (K,K,D), (K,D,K), (D,K,K) K: König, D: Dame Melanie Kaspar 14

15 Aufgabe 6 Eine Firma bezieht jeweils 40 % und 60% von benötigten Teilen von 2 verschiedenen Zulieferern Z1 und Z2. Über die Ausschussrate (Anteil der defekten Teile unter den gelieferten) sei bekannt, dass sie bei Z1 1%, bei Z2 0,5 % beträgt. a) Wie viel % Ausschuss erhält die Firma insgesamt? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt ein defektes Teil von Z1? P(Z1) = 0,4 P(Z2) =0,6 0,4 0,6 P(A Z1)=0,01 P(A Z2)=0,005 Z1 Z2 0,01 0,005 A A A A a) b) Melanie Kaspar 15

16 Aufgabe 7 Sei X die zufällige Lebensdauer eines Bauteils und es gelte P(X > 200h) = 0,4 sowie P(X > 100h) = 0,7. Wieviel % aller Bauteile, die länger als 100h leben überleben auch 200 h? Sind die beiden Ereignisse X>100 h und X> 200h stochastisch unabhängig voneinander? Def. der bedingten Wahrscheinlichkeit => die beiden Ereignisse sind nicht stochastisch unabhängig! Melanie Kaspar 16

17 Aufgabe 8 Melanie Kaspar 17

18 Aufgabe 9 Melanie Kaspar 18

19 Aufgabe 10 Es sei bekannt, dass bei 95 % aller defekten Geräte, eine eingebaute LED nicht aufleuchtet, während das nur bei 1 % aller Geräte der Fall ist, die O.K. sind. Die Funktionsfähigkeit eines Gerätes wird nun anhand dieser kleinen LED geprüft. Leuchtet die LED, so wird das Gerät al O.K. eingestuft, leuchtet sie nicht, so wird das gerät als defekt eingestuft. Man weiß aus früheren Untersuchungen, dass 0,5 % aller Geräte defekt sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass a) ein Gerät, welches als O.K. eingestuft wurde, in Wirklichkeit defekt ist? b) ein Gerät, welches als defekt eingestuft wurde, in Wirklichkeit O.K. ist? Melanie Kaspar 19

20 Aufgabe 11 Eine Spedition beschäftigt 2 Fahrer, Paul und Anton. Paul fährt 40% aller Touren und Anton 60%. Ab und zu passiert ein Unfall. Die Wahrscheinlichkeit, dass Paul in einen Unfall verwickelt ist, beträgt 0,01 und bei Anton ist diese Wahrscheinlichkeit 0,005. a) Der Spediteur erhält die Nachricht, dass einer seiner LKW s in einen Unfall verwickelt wurde. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Fahrer Anton? b) Sind die beiden Ereignisse: Es ist ein Unfall passiert und der Fahrer ist Anton voneinander stochastisch unabhängig? Melanie Kaspar 20

21 Def.: Zufallsgrößen sind zufällige Merkmale, die in einem zufälligen Versuch beobachtet werden und deren Merkmalsausprägungen (Realisierungen) durch Zahlenwerte (direkt oder durch Skalierung) charakterisiert werden. Melanie Kaspar 21

22 Uns interessieren folgende Wahrscheinlichkeiten: Melanie Kaspar 22

23 1. Wahrscheinlichkeitsverteilung diskreter Zufallsgrößen Melanie Kaspar 23

24 Melanie Kaspar 24

25 Aufgabe: Zufallsexperiment: Werfen zweier Münzen X = "Anzahl Kopf" Gesucht: Wahrscheinlichkeitsverteilung von X Melanie Kaspar 25

26 Aufgabe: Zufallsexperiment "3 maliges Würfeln mit einem Spielwürfel" Gesucht: a) Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl der Sechsen. b) Mit wie vielen Sechsen ist im Mittel zu rechnen? Melanie Kaspar 26

27 Parameter diskreter Verteilungen Erwartungswert, Varianz und Verteilungsfunktion Melanie Kaspar 27

28 Melanie Kaspar 28

29 Aufgabe: Werfen mit 2 Würfeln, Einsatz: 1 Gewinn: 10 Augensumme = 12 5 Augensumme = 6 1 Augensumme = 2 Würden Sie dieses Spiel spielen? Melanie Kaspar 29

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