Lösungen zu Übungs-Blatt 7 Klassische Wahrscheinlichkeit in Glücksspielen und bedingte Wkt

Transkript

1 Zu Aufgabe ) Wir betrachten den Laplace-Versuch V Werfen zweier Würfel. Berechnen Sie unter Verwendung der Formel P ( A) A aus Aufgabe die Ω Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: a) A Werfen zweier Sechsen b) A Die Summe der Augenzahl ist gleich 8 oder 0 Lösung: Ein elementarer Versuchsausgang ist durch das Paar ω(w,w2) mit Wi {,2,3,4,,} darstellbar. Dann ist die Grundmenge Ω { ω(w,w2) Wi {,2,3,4,,}}. Offensichtlich gibt es * 3 solcher Paare, d.h. es ist Ω 3 Zu a) Wir stellen das Ereignis A als Teilmenge von Ω dar, es ist A{ (,) } und folglich A und folglich A) A / Ω 3 Zu b) Wir stellen das Ereignis A als Teilmenge von Ω dar, es ist A{ (2,), (3,), (4,4), (,3), (,2), (4,), (,),(,4) } und folglich A 8 und folglich 8 2 A) A / Ω 3 9 Die folgenden Aufgaben lösen wir unter Verwendung der beiden kombinatorischen Aussagen: ) Es gibt genau n! verschiedenen Anordnungen von n Objekten auf n Plätze. n n! 2) Es gibt genau verschiedene k-elementigen Teilmengen einer k k!( n k)! n-elementigen Menge. Zu Aufgabe 2) (Code knacken) Ein stelliger Zahlencode besteht aus den Ziffern 0,,...,9. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, den Code auf Anhieb zu erraten, wenn Sie folgende Zusatzinformationen besitzen: a) keine weiteren Zusatzinfos b) Alle Ziffern des Codes unterscheiden sich voneinander! c) Der Code enthält 2 mal die Ziffer und 2 mal die Ziffer 3 und mal die 9! d) Der Code besteht nur aus den Ziffern und 9 und alle beiden Ziffern kommen vor!

2 Lösung zu 2) Sei A richtiger Code. Da nur ein Code richtig ist, ist A. Zu a) Ein elementarer Versuchsausgang ist darstellbar als -Tupel ω(z,z2,z3,z4,z), d.h. eine Folge von Ziffern aus 0-9. Die Grundmenge Ω ist die Menge aller dieser -Tupel. Offensichtlich gilt (weil jede Stelle des Tupels 0 mögliche Zifern annehmen kann) Ω 0. Demzufolge gilt: richtiger Code ) /0 Zu b) Ein elementarer Versuchsausgang ist darstellbar als -Tupel ω(z,z2,z3,z4,z), d.h. eine Folge von Ziffern aus 0-9, wobei sich alle Ziffern voneinander unterscheiden. Die Grundmenge Ω ist die Menge aller dieser -Tupel, bei denen sich alle Ziffern voneinander unterscheiden. Offensichtlich gilt (weil die erste Stelle des -Tupels 0 mögliche Zifern annehmen kann, die zweite aber nur noch 9 (weil sie sich von der ersten unterscheiden muss), die dritte nur noch 8 (weil sie sich von derersten beiden unterscheiden muss) usw.) Ω 0*9*8*7* und folglich ist: richtiger Code ) 0*9*8*7 * Zu c) Ein elementarer Versuchsausgang ist darstellbar als -Tupel ω(z,z2,z3,z4,z), d.h. eine Folge von Ziffern aus {,9} wobei jede der beiden Ziffern mindestens x vorkommen muss. Die Grundmenge Ω ist die Menge aller dieser -Tupel aus den Ziffern und 9. Wieviele solcher -Tupel gibt es? Das kann man folgender Tabelle entnehmen: Anzahl der im Code Anzahl der 9 im Code Anzahl aller möglichen Codes dieser Art ( Anzahl aller Möglichkeiten, zwei Ziffern aus den Ziffern des Codes die zuzuordnen. Die anderen 3 Ziffern bekommen 2

3 die 9 zugeordnet). 3 2 ( Anzahl aller Möglichkeiten, drei Ziffern aus den Ziffern des Codes die zuzuordnen. Die anderen 2 Ziffern bekommen die 9 zugeordnet). 4 Gesamtzahl aller Möglichkeiten Offensichtlich gilt Ω 30 und folglich ist: richtiger Code ) 30 Zu Aufgabe 3) (Kniffel) Sei V der zufällige Versuch Würfeln mit gleichmäßigen Würfeln (Kniffel). Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: a) A Alle Augenzahlen sind verschieden voneinander! b) B Pasch, d.h. gleiche Zahlen, sind gewürfelt worden! c) C 2 Dreien und 3 Vieren werden gewürfelt! d) D Lange Straße, d.h. die Augenzahlen 2,3,4,, sind gewürfelt worden! e) E Mindestens zwei Sechsen sind gewürfelt worden. Lösung: Ein elementarer Versuchsausgang ist darstellbar als -Tupel ω(w,...,w), Wi {,...,} ist das Ergebnis des i.ten Würfels. Die Grundmenge Ω enthält alle möglichen -Tupel dieser Art. Offensichtlich gilt (weil jede Stelle des Tupels mögliche Zifern annehmen kann) Ω. Zu a)! A **4*3*2! und folglich P ( A) Zu b) B und folglich P ( B) Zu c) C 0 ( Anzahl der Möglichkeiten, 2 Würfeln die 3 zuzuorden (die anderen 0 bekommen die 4 zugeordnet) und folglich ist : P ( C) 3

4 Zu d) D! ( Anzahl der Möglichkeiten, die zahlen 2,3,4,, auf die Würfel zu vertauschen)! und folglich ist : P ( D) Zu e) E) - A0)-A), wobei A0 keine ist gewürfelt worden und A Genau eine ist gewürfelt worden. Es ist A0 Menge aller Tupel aus den Ziffern {,2,3,4,}, also ist A0. Es ist A Menge aller Tupel, aus den Ziffern {,2,3,4,,}, die genau eine enthalten, also ist A 4. ( Möglichkeiten für die, jeweils weitere Möglichkeiten für die 4 anderen Würfel.) und folglich ist : 4 P ( E) 2 Zu Aufgabe 4) (Poker) Aus einem zufällig gemischten Kartenstapel mit 2 Karten ( 4 Farben zu je 3 Karten: 2,3,...,B,D,K,As) werden drei Karten an einen Spieler gegeben. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: a) Es sind 3 Buben b) Es ist ein Bube und 2 Asse c) Es sind keine Buben und keine Asse Lösung: Ein elementarer Versuchsausgang ist darstellbar als Dreiermenge ω{k,k2,k3}, Ki {,...2} Die Grundmenge Ω enthält alle möglichen Dreiermengen, die aus der Menge der 2 Karten ausgewählt werden können. Das sind (siehe oben Aussage 2) 2 Ω Zu a) Wir stellen das Ereignis A als Teilmenge von Ω dar, es ist A 3 Buben werden gezogen { {K,K2,K3} Ki ist einer der 4 Buben } und folglich ist 4 A Anzahl aller Möglichkeiten aus 4 Buben 3 auszuwählen. Demzufolge ist 4 A) A / Ω 2 4

5 Zu b) Wir stellen das Ereignis A als Teilmenge von Ω dar, es ist A Bube und 2 Asse werden gezogen { {K,K2,K3} eine Karte ist ein Bube und andere sind Asse} und folglich ist A 24 Anzahl aller Möglichkeiten aus 4 Buben auszuwählen, kombiniert mit der Anzahl aller Möglichkeiten aus 4 Assen zwei auszuwählen.. Demzufolge ist 24 A) A / Ω 2 Zu c) Wir stellen das Ereignis A als Teilmenge von Ω dar, es ist A kein Bube und kein Ass { {K,K2,K3} Karten sind weder Buben noch Asse} und 44 folglich ist A Anzahl aller Möglichkeiten aus den 44 verbelibenden Karten ( alle 2 4 Buben 4 Asse) 3 Karten auszuwählen.. Demzufolge ist 44 A) A / Ω 2 Zu Aufgabe ) Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A unter der Bedingung B ist wie folgt definiert: A B) A/ B). B) Daraus folgt für die Verbundwahrscheinlichkeit: P ( A B) A/ B) B). Wir berachten eine Urne mit 2 weißen und 3 schwarzen Kugeln. Es wird zufällig hineingegriffen und 2 der Kugeln gezogen. Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten: a) beim. mal eine schwarze Kugel und beim 2. Mal eine weiße Kugel ) b) beim 2. mal eine weiße Kugel / beim. mal eine weiße Kugel ) c) beim.mal eine weiße Kugel / beim 2. mal eine weiße Kugel )

6 Lösungen: Wird in der nächsten Vl. besprochen