1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

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Jürgen Kalb
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1 1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten Zufälliger Versuch: Vorgang, der (zumindest gedanklich) beliebig oft wiederholbar ist und dessen Ausgang innerhalb einer Menge möglicher Ausgänge ungewiss (zufällig) ist. Ω... Menge der möglichen (elementaren, einander ausschließenden) Versuchsausgänge ω Ω A... Ereignisfeld, enthält Teilmengen von Ω, die Ereignisse A A Ein Ereignis A tritt ein, wenn der Versuchsausgang ω, den der Versuch liefert, ein Element der Menge A ist, d.h. wenn ω A. ω A Ω 1

2 Beispiele 1. Würfeln mit idealem Würfel Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6}... Ereignis, dass eine gerade Zahl gewürfelt wird B = {3, 4, 5, 6}... Ereignis, dass Zahl > 2 gewürfelt wird C = {6}... D = {1}... Ereignis, dass 6 gewürfelt wird Ereignis, dass 1 gewürfelt wird A B = {4, 6}... A und B, Ereignis, dass eine gerade Zahl gewürfelt wird, die größer als 2 ist 2. Würfeln mit 2 unterscheidbaren Würfeln Ω = { (1, 1), (1, 2),..., (1, 6), (2, 1),..., (6, 6) } ω = ( Ergebnis Würfel 1, Ergebnis Würfel 2 ) Ω 2

3 3. Entnehmen einer Probe von einem Maisfeld (Futterpflanzen) und messen des Aflatoxin Gehaltes (ein Schimmelpilz Gift) in ppb (µg/kg). Ω = [ 0, 10 9 (?) ] 4. Entnehmen von 16 Proben von einem Maisfeld und messen des Aflatoxin Gehaltes jeder Probe in ppb. Ω = (ω 1, ω 2,..., ω 16 ), ω i = Aflatoxin Gehalt der i ten Probe in ppb 5. Entnehmen von je 16 Proben von 8 unterschiedlichen Maisfeldern und messen des Aflatoxin Gehaltes jeder Probe in ppb. Ω = ω 1 1 ω ω ω 8 1 ω ω 8 16 ω i j = Aflatoxin Gehalt der j ten Probe vom i ten Feld 6. Zahlenlotto 6 aus 49 Ω = Menge der möglichen Tipps (Auswahl von 6 aus 49 Zahlen) also 49 = verschiedene Tippscheine möglich. 6 3

4 Rechnen mit Ereignissen A B ist ein Ereignis. Es tritt ein, wenn A und B gleichzeitig eintreten. A B A B ist das Ereignis, das eintritt, wenn A oder B eintritt (oder beide zugleich). A B A \ B ist das Ereignis, das eintritt, wenn A eintritt aber B nicht. A B Ā ist das Ereignis, das eintritt, wenn A nicht eintritt, Ā ist das komplementäre Ereignis zu A. Spezielle Ereignisse: Ω A Ā... unmögliches Ereignis (leere Menge) Ω... sicheres Ereignis (Ω Ω) 4

5 Beziehungen zwischen Ereignissen A B... A zieht B nach sich A B Ω Ist A eingetreten, d.h. der Versuchsausgang ist ein ω A, so gilt ω B, d.h. B ist ebenfalls eingetreten. Gilt A B =, so heißen A und B unvereinbar, sie können niemals gemeinsam eintreten. A Ω B Das Ereignisfeld A wird nun aus genügend vielen Ereignissen gebildet, so dass alle obigen Operationen zwischen diesen Ereignissen ausführbar sind und außerdem Ω A gilt. (Enthält Ω unendlich viele Elemente (vgl. Bsp. 3) so müssen auch Grenzwerte von Operationen der Form A 1 A 2... in A sein. A ist dann σ-algebra.). Den Operationen zwischen Ereignissen entsprechen Operationen zwischen Mengen (Durchschnitt, Vereinigung,... ). 5

6 Wahrscheinlichkeiten Vorbetrachtung: n-malige Durchführung eines zufälligen Versuches und zählen, wie häufig ein uns interessierendes Ereignis A eingetreten ist: absolute Häufigkeit: H n (A) relative Häufigkeit: h n (A) = 1 n H n(a) Erfahrung: Für große n stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten 6

7 Eigenschaften der relativen Häufigkeit: h1) 0 h n (A) 1 h2) Ω tritt immer ein: H n (Ω) = n, tritt nie ein: h n (Ω) = 1, h n ( ) = 0. h3) Gilt A B =, (A und B disjunkt ) dann treten A und B niemals gleichzeitig ein, und es gilt H n (A B) = H n (A) + H n (B), ( ) und somit: h n (A B) = h n (A) + h n (B), A B =. h4) Gilt A B, dann wird auf der rechten Seite in ( ) doppelt gezählt, falls A B eintritt. Also gilt H n (A B) = H n (A) + H n (B) H n (A B), und somit: h n (A B) = h n (A) + h n (B) h n (A B). Beispiel Würfel: A = {1, 2}, B = {2, 3}, A B = {1, 2, 3} h n ({1, 2, 3} = h n ({1, 2}) + h n ({2, 3}) h n ({2}). 7

8 Wahrscheinlichkeiten können als Modell verstanden werden für die Grenzwerte der relativen Häufigkeiten (n ), bzw. für die Gesetzmäßigkeiten, die dahinterstecken oder dahinter vermutet werden. P (A), A Ω (A A) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A, definiert in Analogie zu den Eigenschaften der h n durch ein Axiomsystem (Kolmogorov, 1933) A1 0 P (A) 1 für alle A A A2 P (Ω) = 1, P ( ) = 0 A3 A B = P (A B) = P (A) + P (B) (Additivität) Genauer muss man verlangen: A3 Für A 1, A 2, A 3,... mit A j A, j N, und A i A j =, i, j N, i j, gilt P (A 1 A 2 A 3...) = (σ-additivität) i=1 P (A i ) Grenzwert von n i=1 für n 8

9 Daraus folgen, wie für h n, weitere wichtige Formeln: P (Ā) = 1 P (A) denn: A Ā = und A Ā = Ω, P (A) + P (Ā) =A3 P (A Ā) = P (Ω) =A2 1. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) denn: A B lässt sich disjunkt zerlegen in A \ B, A B und B \ A. A \ B A B B \ A Anschaulich: Ω = Teig der Masse 1 (kg) (ungleichmäßig) ausgerollt. Ein Plätzchen: A = Ereignis hat die Masse P (A). 9

10 P (A \ B) = P (A) P (A B) = P (A B) Beispiel: A und nicht B Gegeben: P (A) = 0.7 P (B) = 0.4 P (A B) = 0.15 Dann gilt: P (A B) = = 0.55 P (Ā B) = = 0.25 P (A B) = = 0.95 Darstellung in Vierfeldertafel : B B A Ā Das Tripel ( Ω, A, P ) heißt Wahrscheinlichkeitsraum. 10

11 Die klassische Wahrscheinlichkeit Modell für z.b. Würfeln, Münzwurf, Roulette, Ziehung von Lottozahlen; Ausgangspunkt: Man erkennt keinen Grund, einem der möglichen Versuchsausgänge eine größere Wahrscheinlichkeit zuzuordnen als einem anderen. Also: Ω = {ω 1, ω 2,..., ω n } Ereignisse {ω i } gleichwahrscheinlich, daraus folgt: denn: P ({ω i }) = 1 n Sei P ({ω 1 }) = P ({ω 2 }) =... = P ({ω n }) = p. Dann ist 1 = P (Ω) = P ({ω 1 }) + P ({ω 2 }) P ({ω n }) = np. In gleicher Weise erhält man für jedes Ereignis A A: P (A) = P ({ω i }) = 1 n Also: i: ω i A P (A) = Anzahl der ω i in A n i: ω i A = Anzahl der für A günstigen Fälle Anzahl aller möglichen Fälle Zur Bestimmung dieser Anzahlen sind häufig die Formeln der Kombinatorik hilfreich. 11

12 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Beispiel. Spiel: Urne mit 50 Kugeln, leichte und schwere, weiße und rote, wobei das Ziehen einer roten Kugel einen Gewinn verspricht, das Ziehen einer weißen nicht. Verteilung (Vierfeldertafel): weiß rot 10 g g Versuch: Ziehen einer Kugel A... Die gezogene Kugel ist rot = Gewinn B... Die gezogene Kugel ist schwer Klassische Wkt.: P (A) = Die Gewinnchance beträgt 50%. = 0.5 = 50%. Zusatzinformation: Beim Herausnehmen kann der Spieler - noch bevor er die Farbe erkennt - zweifelsfrei feststellen, dass es eine schwere Kugel ist. Er erwartet jetzt nur noch mit P B (A) = 5 25 einen Gewinn. = 0.2 = 20% Die Information B ist eingetreten hat die Bewertung der Chancen für das Eintreten von A geändert. 12

13 Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Für jedes B A mit P (B) > 0 heißt P (A B) P B (A) = P (A B) = P (B) Bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B Folgerungen: Für jedes B A mit P (B) > 0 werden durch P B = P (. B) Wahrscheinlichkeiten auf A definiert. Diese Wahrscheinlichkeiten sind auf B konzentriert : P (B B) = 1. P (A Ω) = P (A) Sei min{ P (A), P (B) } > 0. Dann gilt P (A B) P (B) = P (B A) P (A). Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines jeden Ereignisses ergibt sich aus seinem Anteil an B. Formeln für Wkt.en gelten bei fester Bedingung analog. Bsp.: P (A B C) = P (A C) + P (B C) P (A B C) P (A B) + P (Ā B) = 1 13

14 Mitunter ist bedingte Wkt. P (A B) leichter zu ermitteln als P (A B). Man benutzt dann: P (A B) = P (A B) P (B) Multiplikationssatz Unabhängigkeit Wir vergleichen P (A) mit P (A B): Gilt P (A) = P (A B), dann hat die Information, dass B eingetreten ist, keinen Einfluss auf die Bewertung der Chance, dass auch A eingetreten ist. Definition: Die Ereignisse A und B heißen unabhängig, wenn gilt: P (A B) = P (A) P (B). Anderenfalls heißen die Ereignisse abhängig. Wegen P (A B) = P (A B) P (B) ist Unabhängigkeit dann (falls P (B) 0) gleichbedeutend mit: P (A B) = P (A B) P (B) = P (A) P (B) P (B) = P (A) 14

15 Definition harmoniert meistens mit der üblichen Vorstellung von Unabhängigkeit; Gefahr bei Kopplung über dritte : Anzahl der beobachteten Störche am Tag x Anzahl der Geburten am Tag x gekoppelt über saisonale Schwankungen Unterscheiden zwischen der oben definierten paarweisen Unabhängigkeit von jeweils zwei Ereignissen und der vollständigen Unabhängigkeit von mehr als zwei Ereignissen Beispiel: Würfeln mit zwei Würfeln: A... erster Würfel: gerade Zahl B... zweiter Würfel: gerade Zahl C... Summe der Augenzahlen ungerade P (A) = P (B) = P (C) = 1/2 P (A B) = P (A C) = P (B C) = 1/4 paarweise unabhängig, aber P (A B C) = 0 15

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