Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Transkript

1 1. Vorlesung

2 Im Alltag... Laut den meteorologischen Vorhersagen wird es morgen regnen. Ob ich riskiere und die Wette verlieren werde? Ich werde mit Sicherheit gewinnen! Ist das wirklich unmöglich? Ist dies tatsächlich möglich??? Welch ein Zufall!

3 Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit dem Studium der zufälligen Phänomene beschäftigt. zufällig = unvorhersehbar, unbeabsichtigt aleatorius (lat.) = zufällig alea (lat.) = Spielwürfel; Würfelspiel man misst die Chancen für Erfolg oder das Risiko für Misserfolg von Ereignissen

4 Anwendungsgebiete: Glückspiele, Wetten, Loto meteorologische Vorhersagen Meinungsumfragen Versicherungsmathematik (Risikomessungen im Versicherungswesen und im Bankensystem) Kryptographie (Verschlüsselungsverfahren) Verarbeitung von Informationen, Komprimierbarkeit von Daten Nettraffic (misst den Verkehr im Netz) zufällige Algorithmen (z.b. Monte-Carlo-Methoden, Las-Vegas-Methoden Simulationen, Computerspiele

5 Zufällige Experimente (Versuche) und Ereignisse Das zufällige Experiment ist ein Experiment dessen Ergebnis nicht vorhesehbar ist. Das zufällige Ereignis ist das Ergebnis eines Experiments. Würfeln mit 2 Spielwürfeln beide Spielwürfel zeigen 1 an Wurf einer Münze die Münze zeigt Zahl an Ziehen einer Spielkarte eine 3 wurde gezogen Lotoziehung die Zahl 23 wurde erhalten

6 Grundbegriffe das unmögliche Ereignis, mit bezeichnet, taucht in der Durchführung des Experiments nie auf das sichere Ereignis ist das Ereignis das bei jeder Durchführung des Experiments auftaucht Grundraum (Ergebnismenge), mit Ω bezeichnet, ist die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Experiments der Grundraum kann endlich oder unendlich sein wenn A eine Teilmenge von Ω ist, A Ω, dann wird A zufälliges Ereignis genannt, die Elemente von Ω heissen elementare Ereignisse Analogie zwischen Ereignissen und Mengen!

7 Experiment: Man wirft einen Spielwürfel Grundraum: Ω = {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6 } e i : die Zahl i (i = 1,..., 6) wurde erhalten e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6 elementare Ereignisse A: eine gerade Zahl wurde erhalten A = {e 2, e 4, e 6 } Ā: eine ungerade Zahl wurde erhalten Ā = {e 1, e 3, e 5 }

8 Operationen mit Ereignissen Die Vereinigung der Ereignisse A und B A B = {e Ω : e A oder e B}. Der Durchschnitt der Ereignisse A und B: A B = {e Ω : e A und e B}. Ā ist das Komplement des Ereignisses A, d.h. A enthält alle Elementarereignisse die nicht in A sind. A, B Ω sind disjunkte Ereignisse, wenn A B = Die Differenz der zufälligen Ereignisse A und B A \ B = A B. Es gilt A Ā = Ω, A Ā =.

9 Beziehungen zwischen Ereignissen Aus dem Ereignis A folgt das Ereignis B, wenn jedes Element aus A auch Element aus B ist, d.h. A B. Wenn aus A B folgt und aus B folgt A, dann sind die beiden Ereignisse A und B gleich : A = B.

10 Eigenschaften A, B, C Ω Die Vereinigung und Durchschnitt sind kommutativ A B = B A, A B = B A assoziativ (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C) und distributiv (A B) C = (A C) (B C), (A B) C = (A C) (B C); erfüllen die Gesetze von De Morgan A B = Ā B, A B = Ā B. Es gilt Ā = A.

11 Relative und absolute Häufigkeit Sei A ein zufälliges Ereignis das in einem Experiment auftaucht; man wiederholt das Experiment n mal (unter denselben gegebenen Bedingungen) und bezeichnen mit k wie oft das Ereignis A auftaucht; die relative Häufigkeit des Ereignisses A ist die Zahl h n (A) = k n k ist die absolute Häufigkeit des Ereignisses A

12 Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit Wir betrachten ein Experiment welches endlich viele, gleichwahrscheinliche Ergebnisse hat. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A eintretet ist P(A) = Anzahl der günstigen Fälle für das Eintreten von A Anzahl aller möglichen Fälle innerhalb des Experiments. Nach wiederholtem Durchführen des Experiments (n hinreichend gross), unter denselben Bedingungen, ist die relative Häufigkeit h n (A) des Ereignisses A ungefähr gleich mit P(A) h n (A) P(A), wenn n.

13 Experiment: Man wirft 4 Münzen. Das Experimentul wird n = 100 mal wiederholt. Ereignis A: die 4 Münzen zeigen 3 mal Zahl an f n (A) =?, P(A) =? f n (A) = = 0.22 Ω = {(K, K, K, K), (K, Z, Z, Z),..., (Z, Z, Z, K), (Z, Z, Z, Z)}, K = Kopf, Z = Zahl A = {(K, Z, Z, Z), (Z, K, Z, Z), (Z, Z, K, Z), (Z, Z, Z, K)} P(A) = = 0.25

14 Würfelspiel (XVII. Jh.): Der Provinzadelige Chevalier de Méré war ein leidenschaftlicher Spieler. Gerne verführte er am Pariser Hof seine Mitspieler zu folgendem Würfelspiel: A. Wir werfen einen Würfel viermal. Wenn eine oder mehrere Sechsen dabei sind, gewinne ich. Wenn keine Sechs dabei ist, gewinnen Sie. Tatsächlich gewann der Chevalier mit diesem Spiel regelmäßig Geld. Er dachte sich eine neue Variante aus, die ebenso lukrativ sein sollte: B. Wir werfen ein Paar von Würfeln 24 mal. Wenn dabei eine Doppel-Sechs oder mehrere sind, gewinne ich. Wenn keine Doppel-Sechs dabei ist, gewinnen Sie.

15 De Méré wusste aus Erfahrung, dass es von Vorteil ist darauf zu wetten, dass mindestens eine 6 in einer Serie von 4 Würfen auftritt, aber (6,6) ist 6-mal so selten wie 6. Daraus schloss er, dass es von Vorteil ist darauf zu wetten, dass er mindestens eine (6,6) in 24 Würfen erhält. Fortuna enttäuschte aber den Chevalier, er begann zu verlieren. War er glücklos, obwohl er richtig dachte, oder war er glücklos, weil er falsch dachte? Der Chevalier konnte dies Frage nicht entscheiden, seine Intution sprach für Ersteres, seine Erfahrung für Letzteres. Man kann zeigen, dass P(A) und P(B) Obwohl die Differenz zwischen den beiden Wahrscheinlichkeiten klein ist, gewinnt der Spieler der Variante A öfter als der Spieler der Variante B.

16 Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit kann nur dann angewendet werden, wenn der Grundraum endlich ist. Wie sollte die Wahrscheinlchkeit eines Ereignisses definiert werden, wenn der Grundraum unendlich ist? 1933 hat der russische Mathematiker Andrei Nikolaevici Kolmogorov im Buch Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung die axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit eingeführt.