Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem

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1 Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem Wahrscheinlichkeitsrechnung Theorie Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem

2 Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem Klassische Wahrscheinlichkeit Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, bei dem die verschiedenen möglichen Ausgänge bereits im Voraus bekannt sind, aber der tatsächliche Ausgang des Vorganges dem Zufall überlassen ist. Beispiele: 1. Werfen einer Münzen 2. Roulette spielen 3. Ziehen einer Jasskarte 4. Bestimmen des Alters, des Geschlechts oder der Blutgruppe von einer zufällig ausgewählten Person Klassische Wahrscheinlichkeit Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, bei dem die verschiedenen möglichen Ausgänge bereits im Voraus bekannt sind, aber der tatsächliche Ausgang des Vorganges dem Zufall überlassen ist. Klassische Wahrscheinlichkeit Ein Ausgang eines Zufallsexperimentes nennt man Ergebnis.

3 Klassische Wahrscheinlichkeit Die Menge Ω aller Ergebnisse eines Zufallsexperiments zusammen heisst Ergebnisraum (bzw. Stichprobenraum). Ein beliebiges Ergebnis aus Ω wird mit ω bezeichnet. Einstiegsbeispiel / -experiment: Ein Würfel wird 240 mal geworfen. Wie häufig kommt die Augenzahl 6 vor? n H(6) h(6) n H(6) h(6) Klassische Wahrscheinlichkeit Die Menge Ω aller Ergebnisse eines Zufallsexperiments zusammen heisst Ergebnisraum (bzw. Stichprobenraum). Ein beliebiges Ergebnis aus Ω wird mit ω bezeichnet. Graphische Darstellung: Beispiele (Fortsetzung): 1. Ω = {Kopf, Zahl} 2. Ω = {0,1,2,...,36} 3. Ω = {Schellen Ass,..., Eichel 6} 4. Ω = {unendlich kleine Abstufung möglich} = R +

4 Die absolute Häufigkeit eines Ergebnisses ist die Anzahl eines gewissen Ergebnisses, die bei einer gewissen Anzahl von Wiederholungen eines Zufallsexperimentes ermittelt wurde. Sie wird mit H(ω) bezeichnet. intuitive Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist eine Zahl, die angibt, wie gross die Chance ist, dass dieses Ergebnis eintrifft. Sie wird mit P(ω) bezeichnet. Die relative Häufigkeit eines Ergebnisses ist der Anteil der Versuche eines Zufallsexperimentes, bei dem ein gewisses Ergebnis eingetreten ist. Sie wird mit h(ω) bezeichnet. Formal wird die relative Häufigkeit folgendermassen berechnet: relative Häufigkeit = absolute Häufigkeit Anzahl der Versuche des Zufallsexperimentes intuitive Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist eine Zahl, die angibt, wie gross die Chance ist, dass dieses Ergebnis eintrifft. Sie wird mit P(ω) bezeichnet. Mit P bezeichnen wir eine Wahrscheinlichkeitsfunktion, die jedem Ergebnis ω Ω eine Zahl zuweist.

5 Satz: Gesetz der grossen Zahlen Wird ein Zufallsexperiment sehr oft wiederholt, so liegt die relative Häufigkeit h(ω) eines Ergebnisses ω sehr nahe bei P(ω). Cantor erklärte den Begriff 1895 folgendermassen: Eine Menge ist die Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Satz: Gesetz der grossen Zahlen Wird ein Zufallsexperiment sehr oft wiederholt, so liegt die relative Häufigkeit h(ω) eines Ergebnisses ω sehr nahe bei P(ω). Einstiegsbeispiel / -experiment (Fortsetzung): Die Objekte, aus denen eine Menge zusammengesetzt ist, nennt man Elemente. Eine Menge, die keine Elemente enthält, wird leere Menge genannt. {} =

6 Eine Menge A heisst Teilmenge von B, wenn jedes Element der Menge A auch ein Element der Menge B ist. A B (sprich: A ist Teilmenge von B) Eine Menge B heisst Obermenge von A, wenn jedes Element der Menge A auch ein Element der Menge B ist. B A (sprich: B ist Obermenge von A) Der Durchschnitt (bzw. die Durchschnittsmenge) zweier Mengen A und B besteht aus allen Elementen, welche in A und in B vorkommen. A B (sprich: A geschnitten B) Die Vereinigung (bzw. Vereinigunsmenge) zweier Mengen A und B besteht aus allen Elementen, welche in A oder in B vorkommen. A B (sprich: A vereinigt B) Die Differenz (bzw. Differenzmenge) der Menge A ohne der Menge B besteht aus allen Elementen der Menge A, welche aber nicht in der Menge B vorkommen. A\B (sprich: A ohne B

7 Das Komplement (bzw. die Komplementmenge) der Menge A ist gleich der Menge der Elemente der Grundmenge G, welche nicht in der Menge A vorkommen. A (sprich: Komplement A) Betrachtet man bei einem Zufallsversuch mehrere Ergebnisse und fragt nach der Wahrscheinlichkeit, dass eins von diesen Ergebnissen eintritt, so fasst man diese Ergebnisse zu einem Ereignis zusammen. Bemerkung: Häufigkeitsinterpretation der Wahrscheinlichkeit Hat ein bestimmtes Ergebnis eines Zufallsversuchs die Wahrscheinlichkeit p, dann machen wir die Prognose, dass nach einer grossen Zahl n von Versuchsdurchführungen das Ergebnis n p-mal aufreten wird. Elementare Summenregel Gehören zu einem Ereignis E die Ergebnisse a 1,a 2,...,a m, so gilt für die Wahrscheinlichkeit P(E) des Ereignisses E: P(E) = P(a 1 )+P(a 2 )+...+P(a m ) Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkieten der zu E gehörenden Ergebnissen a 1,a 2,...,a m.

8 Laplace-Versuche Haben bei einem Zufallsversuch mit s möglichen Ergebnissen aufgrund der gegebenen Versuchssituation diese Ergebnisse dieselbe Chance aufzutreten, dann ordnen wir jedem Ergebnis die Wahrscheinlichkeit p = 1 s zu. Solche Versuche heissen LAPLACE-Versuche. Relative und absoluate Häufigkeit Unmöglich-Sicher-Regel Wahrscheinlichkeiten sind Zahlen zwischen 0 (0%) und 1 (100%). Das unmögliche Ereignis (E = {}) hat die Wahrscheinlichkeit 0, das sichere Ereignis die Wahrscheinlichkeit 1. Laplace-Versuche Laplace-Regel Bei einem Laplace-Versuch gilt für die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ereignisses: P(E) = Anzahl der zu E gehörenden Ergebnisse Anzahl aller möglichen Ergebnisse = e s Relative und absoluate Häufigkeit Allgemeine Summenregel Die Wahrscheinlichkeit eines Oder-Ereignisses E 1 E 2 ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse E 1 und E 2 vermidnert um die Wahrscheinlichkeit des Und-Ereignisses E 1 E 2. P(E 1 E 2 ) = P(E 1 )+P(E 2 ) P(E 1 E 2 )

9 Relative und absoluate Häufigkeit Komplementärregel Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E und die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses E ergänzen sich zu 1. Mehrfache Zufallsexperimente Bspe: 2. Ein Reissnagel wird zweimal hintereinander geworfen. Ω = {(Nagel gegen oben,nagel gegen oben), (Nagel gegen oben, Nagel zur Seite), (Nagel zur Seite, Nagel gegen oben), (Nagel zur Seite, Nagel zur Seite)}, wobei P(Nagel gegen oben) = 0.4 und P(Nagel zur Seite) = 0.6. Baumdiagramm: Mehrfache Zufallsexperimente Bspe: 1. Eine Münze wird zweimal hintereinander geworfen. Baumdiagramm: Ω = {(K,K),(Z,Z),(K,Z),(Z,K)} Mehrfache Zufallsexperimente Pfadproduktregel Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit eines (durch einen Pfad dargestellten) Ereignisses gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen.

10 Mehrfache Zufallsexperimente Bsp: Ein Würfel wird zweimal geworfen. Ω = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),..., (5,6),(6,6)} Wie mit welcher Wahrscheinlichkeit treten die Zahlen 1 und 6 auf? Baumdiagramm: 3. Mehrfache Zufallsexperimente Bedingte Wahrscheinlichkeit Einstiegsbeispiel: ELISA-Test: Nachweisverfahren für HIV-Infektion Die Sensitivität eines Testes (Wahrscheinlichkeit einer korrekten Diagnose eines tatsächlich kranken Menschen) liegt bei 99.5%. Die Spezifität (Wahrscheinlichkeit, dass der Test einen in Wirklichkeit gesunden Menschen als gesund deklariert) liegt bei 99.5%. In Deutschland weiss man aus Krankenstatistiken, dass die HIV-Infektion bei 0.2% liegt. Wie wahscheinlich ist es, dass bei einer gesteten Person tatsächlich eine HIV-Infektion vorliegt? Mehrfache Zufallsexperimente Pfadadditionsregel Setzt sich bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment ein Ereignis aus verschiedenen Pfaden zusammen, dann erhält man die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses durch Addition der einzelnen Pfadwahrscheinlichkeiten. 3. Mehrfache Zufallsexperimente Bayes sche Regel Sei A ein Ereignis, das uns interessiert, und B eine Bedingung, unter der wir den Vorgang betrachten. Dann gilt: Die Wahrscheinlichkeit P B (A) für A unter der Bedingung B berechnet sich wie folgt: P B (A) = P(A B) P(B)

11 4. Binomialverteilung Bernoulli-Versuche Bei Bernoulli-Versuchen unterscheiden wir (willkürlich) nur zwei Ergebnisse; das eine nennen wir Erfolg, das andere Misserfolg. Wicht ist, dass isch bei einem mehrstufigen Zufallsversuch die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg bzw. Misserfolg von Stufe zu Stufe nicht verändert; d. h. das Ergebnis einer Versuchsdurchführung hat keinen Einfluss auf das Ergebnis der nächsten Stufe. 4. Binomialverteilung Galtonbrett Die Wahrscheinlichkeit für eien Erfolg wir als Erfolgswahrscheinlichkeit p bezeichnet, die Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg als Misserfolgswahrscheinlichkeit q, wobei q = 1 p. Bspe.: 4. Binomialverteilung Wahrscheinlichkeit bei Bernoulli-Versuchen Die Wahrscheinlichkeit für k Erfolge bei einem n-stufigen Bernoulli-Versuch mit Erfolgswahrscheinlichkeit p (und Misserfolgswahrscheinlichkeit q = 1 p) ist: P(X = k) = ( n k ) p k q n k (k = 0,1,2,...,n)

12 4. Binomialverteilung Die zu einem n-stufigen Bernoulli-Versuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p gehörige Verteilung heisst Binomialverteilung mit den Parametern n und p.