Beschreibende Statistik

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1 Beschreibende Aufgaben der beschreibenden : Erhebung von Daten Auswertung von Daten Darstellung von Daten Erhebung von Daten Bei der Erhebung von Daten geht es um die Erfassung von Merkmalen (Variablen) einer bestimmten Grundgesamtheit, Jedes Merkmal, jede Variable kann bestimmte Variablenwerte (Merkmalsausprägungen) annehmen. Variablen, deren Merkmalsausprägungen Zahlen sind, heißen quantitative Variable (z.b. Körpergröße, Gewicht, etc.), die übrigen Variablen heißen qualitative Variable (z.b. Geschlecht, Augenfarbe). Darstellung von Daten Daten einer Erhebung werden zunächst in einer Urliste niedergeschrieben. Aus dieser Liste lassen sich direkt die absoluten und relativen Häufigkeiten der Variablenwerte ableiten. Absolute Häufigkeit: gibt an, wie oft ein Variablenwert in einer Erhebung vorkommt. Relative Häufigkeit: die relative Häufigkeit ergibt sich aus der absoluten Häufigkeit eines Variablenwertes dividiert durch die Gesamtzahl der erfassten Daten der Erhebung. Darstellungsmethoden: Histogramm: ein Histogramm ist eine graphische Darstellung der Häufigkeitsverteilung quantitativer Variablen. Ein Histogramm erfordert die Einteilung der Daten in Klassen, die eine konstante oder variable Breite haben können. Im Histogramm werden über den Klassen direkt aneinander angrenzende Rechtecke errichtet, deren

2 Flächeninhalt die (relative) Klassenhäufigkeit darstellt. Die Höhe der Rechtecke repräsentiert die (relative) Häufigkeitsdichte, also die (relative) Häufigkeit dividiert durch die Breite der entsprechenden Klasse. Kreisdiagramm: ein Kreisdiagramm (auch Kuchenoder Tortendiagramm) ist eine Darstellungsform für Teilwerte eines Ganzen als Teile eines Kreises. Das Kreisdiagramm ist kreisförmig und in mehrere Kreissektoren eingeteilt, wobei jeder Kreissektor einen Teilwert und der Kreis somit die Summe der Teilwerte (das Ganze) darstellt. Die alternative Benennung als Kuchen- oder Tortendiagramm bezieht sich auf Schnitte eines runden Kuchens, die den Kreissektoren entsprechen. Zentralmaße Zur Beschreibung der in einer erhobenen Datenmenge enthaltenen Information können folgende Kennzahlen verwendet werden: Arithmetisches Mittel (Mittelwert, Durchschnitt) Definition: Seien x 1, x 2,, x n Daten einer Grundgesamtheit, dann versteht man unter x = x 1 x 2 x n n das arithmetische Mittel (Mittelwert,Durchschnitt). Besitzt eine Variable die möglichen Werte a 1, a 2,, a k und kommen diese Werte mit den Häufigkeiten H 1, H 2,, H k vor, dann ergibt sich das arithmetische Mittel aus: x = H 1 a 1 H 2 a s H n a k n = H 1 a 1 H 2 a s H n a k H 1 H 2 H k Das arithmetische Mittel kann nur von qualitativen Variablen berechnet werden. Es ist aber

3 nicht immer sinnvoll (z.b. Mittelwert der Postleitzahlen der Gemeinden eines Bezirkes). Modalwert (Modus) Definition: Jener Wert m der in der Urliste am häufigsten vorkommt, wird als Modalwert oder Modus bezeichnet. Der Modalwert ist nicht immer eindeutig, da es mehrere häufigste Werte in einer Urliste geben kann. Der Modalwert kann immer angegeben werden, er ist jedoch nicht immer aussagekräftig. Zentralwert (Median) Der Zentralwert z von n Zahlen wird stets aus der geordneten Urliste ermittelt. Es ist für eine ungerade Anzahl n von Listenelementen die genau in der Mitte stehende Zahl, für eine gerade Anzahl n von Listenelementen das arithmetische Mittel der beiden in der Mitte stehenden Zahlen In einer geordneten Liste liegen also vor dem Medianwert gleich viele Zahlen wie nach dem Medianwert. Der Medianwert kann nur von quantitativen Variablen angegeben werden. Auch er ist, wie der Modalwert, nicht immer aussagekräftig. Quartile Mit den Quartilen wir die geordnete Urliste in vier Teile (Quartale) q 1, q 2 und q 3 geteilt, wobei q 2 = z. Die Quartile q 1 und q 3 können als Zentralwerte der durch das Zentralmaß z = q 2 festgelegten unteren bzw. oberen Hälfte der Urliste bestimmt werden. Die Differenz q 3 q 1 wird als Quartilabstand bezeichnet. Zwischen q 1 und q 3 liegen ca. die mittleren 50% der Daten der geordneten Liste. Spannweite (Range) Die Spannweite R ist die Differenz zwischen dem größten Element (Maximum x max ) und dem kleinsten Element (Minimum x min ) der Liste. Die Spannweite kann also als Maß für die Gesamtbreite bzw. für das verstreut Liegen der der Daten betrachtet werden.

4 Streuungsmaß (Standardabweichung, Standard Deviation) Definition: Seien x 1, x 2,, x n Daten einer Grundgesamtheit, dann versteht man unter die Standardabweichung der Liste. s x = x 1 x 2 x 2 x 2 x n x 2 n Die Standardabweichung ist ein Maß dafür, um wie viel die Merkmalswerte um ihren Durchschnittswert x streuen. Vergleich von Merkmalen Vergleicht man mehrere Merkmale, kann wesentlich mehr Information gewonnen werden, als bei der Auswertung einzelner Merkmale. Streudiagramm, Punktwolke Passgerade Bei der Untersuchung von zwei Merkmalen, lassen sich die Ergebnisse der Urliste zu Zahlenpaaren zusammenfassen und als Punkte in ein Koordinatensystem eintragen. Dabei erhält man ein Streudiagramm bzw. eine Punktwolke. Es können die folgenden Fragen ins Auge gefasst werden: konzentrieren sich die Punkte an bestimmten Stellen (gibt es Häufungspunkte) oder sind die Punkte zufällig verteilt? Gibt es Punkte mit größeren Abweichungen (Ausreißer)? Lässt sich ein Zusammenhang zwischen den Merkmalen erkennen bzw. vermuten? Lässt sich die Verteilung der Punkte durch eine Gerade annähern? In diesem Fall gibt es einen annähernd linearen Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen.

5 Wahrscheinlichkeiten In der Wahrscheinlichkeitsrechnung betrachtet man so genannte Zufallsexperimente (Zufallsversuche). Bei jedem Zufallsexperiment gibt es verschiedene Ergebnisse (Versuchsausfälle). Definition: Die Menge aller bei einem Zufallsexperiment möglichen Ergebnisse (Versuchsausgänge, Versuchsausfälle, Elementarereignisse) wird als Ergebnismenge bezeichnet. Beispiel: beim Werfen einer Münze besteht die Ergebnismenge aus den Ereignissen = {Kopf, Adler }= {0, 1} beim Werfen eines Würfels ist = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. In einem Zufallsexperiment gehen wir davon aus, dass die Ergebnisse der Ergebnismenge vollkommen zufällig auftreten. Deren relative Häufigkeit h wird als Wahrscheinlichkeit des Auftretens des Ereignisses bezeichnet. Definition: Seien eine Ergebnismenge und H 1, H 2,, H n die absoluten Häufigkeiten des Auftretens der Ergebnisse 1, 2,, n in einem Zufallsexperiment.

6 Die relativen Häufigkeiten h mit h = H n heißt die Wahrscheinlichkeit des Auftretens des Ergebnisses. Wir schreiben: P = h Die Wahrscheinlichkeit P liegt im Intervall [0, 1]. Definition: Ein Zufallsexperiment, bei dem jedes der n ( n N {1} ) möglichen Versuchsergebnisse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit P = 1 n ein LAPLACE'sches (Zufalls-)Experiment. auftritt, heißt Beispiel: Beim Werfen einer idealen Münze treten die Ereignisse Kopf und Adler gleich häufig auf,d.h. P Kopf = 1 2 und P Adler = 1 2 Würfel: jede Augenzahl eines idealen Würfels wird gleich häufig gewürfelt, d.h. P 1 = P 2 = P 3 = P 4 = P 5 = P 6 = 1 6 LAPLACE'sche Wahrscheinlichkeitsregel LAPLACE'sche Wahrscheinlichkeitsregel: Lässt sich ein Ereignis A aus den Versuchsergebnissen eines LAPLACE'schen Experiments mit der Ergebnismenge bilden (ist also A ), so gilt: P A = Zahl der für A günstigen Fälle Zahl der möglichen Fälle = A

7 Betrachten wir ein Glücksrad mit den möglichen Ausgängen A, B und C. Die einzelnen Sektoren sind unterschiedlich groß, d.h. die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der Ereignisse A, B, oder C sind ebenfalls unterschiedlich groß. Teilen wir das Glücksrad in 8 gleich große Sektoren, dann sind für das Eintreten des Ereignisses A bzw. B jeweils 3 von 8 Sektoren, für das Eintreten des Ereignisses C 2 von 8 Sektoren günstig. Dies bedeutet: P A = 3 8, P B = 3 8, P C = 2 8 = 1 4 Wahrscheinlichkeit als relative Häufigkeit Definition: ein Zufallsexperiment werde n-mal unter den gleichen Bedingungen durchgeführt. Tritt dabei ein bestimmtes Ereignis E genau k-mal ein, so nennt man den Quotienten h n E = k n die relative Häufigkeit des Ereignisses E unter den n Versuchen. Wir ein Zufallsexperiment sehr oft ausgeführt, dann nähern sich die relativen Häufigkeiten aller möglichen Ereignisse den Wahrscheinlichkeiten. Wahrscheinlichkeit als relative Häufigkeit: ein Zufallsexperiment werde n-mal unter den gleichen Bedingungen durchgeführt ( n sehr groß). Als Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses E kann man (mit gewisser Unsicherheit) die relative Häufigkeit von E unter diesen n Versuchen nehmen, d.h.: P E h n E Unmögliche und sichere Ereignisse

8 Definition: ein unmögliches Ereignis ist ein Ereignis, das bei keiner Versuchsdurchführung eintreten kann. Ein sicheres Ereignis ist ein Ereignis, das bei jeder Versuchsdurchführung eintritt. Satz: Ist E ein unmögliches Ereignis, dann ist P E = 0. Ist E ein sicheres Ereignis, dann ist P E = 1. Gegenereignisse Zu jedem Ereignis E kann das so genannte Gegenereignis E gebildet werden: Definition: es sei E ein Ereignis eines Zufallsversuches. Das Gegenereignis E von E tritt genau bei jenen Versuchsausfällen ein, bei denen das Ereignis E nicht eintritt. Satz: Ist E ein unmögliches Ereignis, dann gilt: P E = 1 P E Begründung mit relativen Anteilen: Es sei G die Menge aller Versuchsausfälle, A die Menge aller Versuchsausfälle, bei denen E eintritt, und A ' die Menge aller Versuchsausfälle, bei denen E nicht eintritt. Für A ' gilt: A' = G A. Für P E gilt somit: P E = A ' G = G A G = G G A G = 1 P E Wettquotienten Man kann die Chancen für das Eintreten eines Ereignisses auch in Form eines Quotienten formulieren. Es sei G die Menge aller Versuchsausfälle, A die Menge aller Versuchsausfälle, bei denen E eintritt, und A ' die Menge aller Versuchsausfälle, bei denen E nicht eintritt. Bezeichne a = A die Anzahl der Versuchsausfälle für das Ereignis E und b = A' die Anzahl der Versuchsausfälle für das Ereignis A ', dann gilt:

9 P E = A G P E = A' G P E = a G P E G b P E : P E = a : b = a G = b G = a b Definition: es sei E ein Ereignis eines Zufallsversuches und E das Gegenereignis. Das Verhältnis P E : P E = a : b wird Chancenverhältnis oder Wettquotient genannt. Bedingte Wahrscheinlichkeit Definition: es seien E 1 und E 2 zwei Ereignisse eines Zufallsversuches. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses E 1 unter der Voraussetzung, dass das Ereignis E 2 eintritt, nennt man bedingte Wahrscheinlichkeit von E 1 unter der Voraussetzung E 2 und bezeichnet sie mit P E 1 E 2 Definition: es seien E 1 und E 2 zwei Ereignisse eines Zufallsversuches. Man sagt: E 2 begünstigt E 1, wenn P E 1 E 2 P E 1 E 2 benachteiligt E 1, wenn P E 1 E 2 P E 1 E 1 ist von E 2 unabhängig, wenn P E 1 E 2 = P E 1 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten Multiplikationsregel für Versuchsausfälle Führt man Zufallsexperimente mehrfach hintereinander aus, oder führt man verschiedene Zufallsexperimente hintereinander aus, dann werden die sich ergebenden Versuchsausgänge in Form eines Baumdiagramms dargestellt. Speilt jemand y.b. An einem Automaten A mit einer Gewinnchance von 1 4 und anschließend an einem Automaten mit einer Gewinnchance von 1 5, dann werden alle

10 möglichen Versuchsausfälle in einem Baumdiagramm dargestellt (G steht für Gewinn und V steht für Verlust): Die einzelnen Strecken im Baumdiagramm entsprechen den Spielverläufen, die im Baumdiagramm eingetragenen Zahlen den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten. Im folgenden Baumdiagramm ist das Ereignis, dass ein Spieler bei beiden Automaten gewinnt rötlich eingefärbt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler an beiden Automaten gewinnt, ergibt sich aus der 1 Überlegung, dass der Spieler bei der Spiele an Automat A gewinnen wird und von 4 diesen Versuchsausfällen wird er in 1 5 der Fälle anschließend auch bei Automat B gewinnen. Insgesamt wird er also in 1 5 von 1 4 gewinnen, d.h.: der Fälle bei beiden Automaten P Gewinn bei beiden Automaten = = 1 20 Im folgenden Baumdiagramm ist nun die Situation dargestellt, dass ein Spieler beim Automaten A verliert, anschließend beim Automaten B aber gewinnt:

11 Auch hier ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler beim Automaten A verliert und anschließend beim Automaten B gewinnt aus der Überlegung, dass er in 3 4 der Fälle beim Automaten A verlieren wird. In 1 5 dieser Versuchsausfälle wird er anschließend beim Automaten B gewinnen, d.h. insgesamt wird er in 1 5 von 3 4 Fälle beim ersten Automaten verlieren und anschließend beim zweiten Automaten gewinnen, d.: P Gewinn bei A, Verlust bei B = = 3 20 Spielt ein Spieler an drei Automaten, ergibt sich die folgende Situation In obigem Baumdiagramm ist die Situation festgehalten, dass ein Spieler beim Automaten A verliert, beim Automaten B gewinnt und schließlich beim Automaten C wieder gewinnt. Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis beträgt: P Verlust bei A, Gewinn bei B, Verlust bei C = = = 3 35

12 Multiplikationsregel für Versuchsausfälle: die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Versuchsausfalls, der einem bestimmten Weg im Baumdiagramm entspricht, ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang dieses Weges. Additionsregel für Versuchsausfälle Betrachtet wir eine Urne, in der sich 4 weiße, drei rote und eine schwarze Kugel befinden. Es werden zwei Kugeln ohne zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide gezogenen Kugeln die selbe Farbe haben? Zunächst gilt, dass die Wahrscheinlichkeit P weiße Kugel = 4 8, P rote Kugel = 3 8 und P schwarze Kugel = 1 8 Baumdiagramm:. Mit diesen Wahrscheinlichkeiten ergibt sich das folgende Es gibt insgesamt drei Versuchsausfälle, bei denen beide Kugeln die selbe Farbe haben. Jeder dieser Fälle ist im Baumdiagramm rötlich eingefärbt. Die Wahrscheinlichkeit P weiße Kugel = 4. Da die Kugel nicht zurückgelegt wird, 8 befinden sich nur mehr 7 Kugeln in der Urne. Die Anzahl der weißen Kugeln hat sich von 4 auf 3 verringert. Entsprechend ist nun P weiße Kugel = 3 7 Insgesamt erhalten wir für P 2 weiße Kugeln = = Die Wahrscheinlichkeit zwei rote Kugeln zu ziehen ist P 2 rote Kugeln = = Für die Wahrscheinlichkeit, zwei schwarze Kugeln zu ziehen erhält man P 2 schwarze Kugeln = = 0. Jedes Der Ereignisse, (2 weiße Kugeln, 2 rote Kugeln und 2 schwarze Kugeln) ist ein günstiges Ereignis, d.h. für die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass eines dieser Ereignisse

13 eintritt, gilt: P 2 Kugeln gleicher Farbe = P 2 weiße Kugeln P 2 rote Kugeln P 2 schwarze Kugeln = 12 = = 18 = 56 = 0,32 = Additionsregel für Versuchsausfälle: Sind A und B zwei Ausfälle eines Zufallsexperimentes, dann gilt: P A B = P A P B Multiplikationsregel für Ereignisse Definition: es seien E 1 und E 2 zwei Ereignisse eines Zufallsversuches. 1. Das Ereignis E 1 und E 2, E 1 E 2, tritt genau dann ein, wenn sowohl das Ereignis E 1 als auch das Ereignis E 2 eintritt. 2. Das Ereignis E 1 oder E 2, E 1 E 2, tritt genau dann ein, wenn mindestens eines der Ereignisse E 1 oder E 2 eintritt. Multiplikationsregel für Ereignisse: Sind E 1 und E 2 Ereignisse eines Zufallsexperimentes, dann gilt: P E 1 E 2 = P E 1 P E 2 E 1 Additionsregel für Ereignisse Definition: zwei Ereignisse E 1 und E 2 eines Zufallsversuches heißen einander ausschließend, wenn sie nicht beide zugleich eintreten können. Additionsregel für Ereignisse: Sind E 1 und E 2 einander ausschließende Ereignisse eines Zufallsexperimentes, dann gilt: P E 1 E 2 = P E 1 P E 2

14 Unabhängige Ereignisse Satz: Seien E 1 und E 2 Ereignisse eines Zufallsexperimentes mit P E 1 0 und P E 2 0. E 1 Ist genau dann von E 2 unabhängig, wenn E 2 von E 1 unabhängig ist. Der Satz von BAYES Betrachten wir zwei Urnen mit Kugeln. Die erste Urne enthalte je zwei rote und schwarze Kugeln, während die zweite Urne 3 rote und eine schwarze Kugel enthalte. In einem Zufallsexperiment werde zunächst eine der Urnen zufällig ausgewählt und aus dieser Urne werde dann zufällig eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene Kugel rot ist? Das folgende Baumdiagramm zeigt die möglichen Versuchsausfälle: Die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Urne zu wählen ist P Urne1 = P Urne2 = 1 2. Für das Ziehen einer roten Kugel gilt für Urne1 P 1 rote Kugel = 1 2 und für Urne2 gilt: P 2 rote Kugel = 3 4. Für die Gesamtwahrscheinlichkeit erhalten wir damit: P rote Kugel = P Urne1 P 1 rote Kugel P Urne2 P 2 rote Kugel = = 5 8 Falls eine rote Kugel gezogen wurde, mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt die Kugel aus Urne1? Wir müssen die Wahrscheinlichkeit P Urne1 rote Kugel berechnen. Nach der Multplikationsregel gilt:

15 P rote Kugel Urne1 = P rote Kugel P Urne1 rote Kugel P Uren1 rote Kugel = P Urne1 P rote Kugel Urne1 Die Ereignisse rote Kugel und Urne1 sind unabhängig, d.h. es gilt P rote Kugel Urne1 = P Urne1 rote Kugel Durch Einsetzen erhalten wir: P rote Kugel Urne1 = P Urne1 rote Kugel P rote Kugel P Urne1 rote Kugel = P Urne1 P rote Kugel Urne1 P Urne1 rote Kugel = P Urne1 P rote Kugel Urne1 P rote Kugel Die Wahrscheinlichkeit, dass eine rote Kugel gezogen wird ist P rote Kugel = 5 8, die Wahrscheinlichkeit, dass Urne1 ausgewählt wird ist P Urne1 = 1 und die 2 Wahrscheinlichkeit, dass aus der Urne1 eine rote Kugel gezogen wird, ist P rote Kugel Urne1 = 1. Damit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit, dass eine 2 gezogene rote Kugel aus Urne1 stammt: P rote Kugel Urne1 = = = 2 5 Mit den entsprechenden Überlegungen findet man P rote Kugel Urne2 = P Urne2 P rote Kugel Urne2 P rote Kugel = = = 3 5 Satz (von BAYES): Ein Zufallsexperiment bestehe aus zwei Teilversuchen. Im ersten Teilversuch gehöre jeder Versuchsausfall zu genau einem der Ereignisse E 1, E 2,, E n Es sei weiters E ein Ereignis im zweiten Teilversuch. Dann gilt für i = 1, 2,, n : P E i E = P E P E i E i P E

16 wobei P E = P E 1 P E E 1 P E 2 P E E 2 P E n P E E n