Zusammenfassung Mathematik AHS Oberstufe. Lukas Prokop

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1 Zusammenfassung Mathematik AHS Oberstufe Lukas Prokop 2. Mai 2009

2 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Geometrische Figuren Zahlensysteme Prozentrechnung Winkelfunktionen Arbeit mit dem Taschenrechner Gleichungen lösen Gleichungssysteme lösen Koordinatensystem und Polarkoordinaten Reihen und Folgen Logarithmus Umkehrfunktion Eulersche Zahl Funktionen Wachstum Vektoren in R 2 und R Beschreibende Statistik 9 6 Trigonometrie 10 7 Kurvendiskussion 11 1

3 AHS Stoff Mathematik 2 8 Extremwertbeispiele 12 9 Differentialgleichung Stammfunktionen und Integralrechnung Analytik Beschreibende Statistik Wahrscheinlichkeitsrechnung Kombinatorik Schaltalgebra Anhang 23.1 Dank

4 Kapitel 1 Grundlagen 1.1 Geometrische Figuren 1.2 Zahlensysteme 1.3 Prozentrechnung 1.4 Winkelfunktionen 1.5 Arbeit mit dem Taschenrechner 1.6 Gleichungen lösen 1.7 Gleichungssysteme lösen 1.8 Koordinatensystem und Polarkoordinaten 3

5 Kapitel 2 Reihen und Folgen Wir betrachten eine Folge von Zahlen (zb [1,2,3,4,...]). Wir betrachten ihre Summen. Es ist möglich, dass sie gegen eine Zahl konvergiert. Sie hätte daher einen Grenzwert; einen Wert der endlich groß ist, wobei die Folge selbst unendlich lang ist. Die Folge [1,2,3,4,...] konvergiert nicht. Mit jeder Zahl wird sie größer und deshalb nähert sie sich keinem Wert an. Die Folge [1, 0.5, 0.125, ,...] jedoch schon. Das erste Element (1) füllt die Summe bereits mit dem Wert 1 auf. Die Summe von 0.5 und liegt auch noch ein bisschen unter 1. Auch der 4. Wert zuaddiert, ändert nichts. Es scheint also so zu sein, dass die Summe aller Zahlen über eins liegt, aber trotzdem nie die 2 erreicht. Sie konvergiert. Formell beschrieben lautet die Folge: f (x) = 1 2 x Am Graphen ist die Annäherung sehr schön zu sehen: Wir müssen nun dieses Verhalten noch näher beschreiben, damit wir seine Summe aus- 4

6 AHS Stoff Mathematik 5 rechnen können. Wir können versuchen das n-te Glied irgendwie herzuleiten. Es ändert sich eigentlich nur der Exponent. Alles andere ist konstant. Also setzen wir einfach für die Unbekannte n (n N) ein und erhalten die Formel, die wir bereits kennen. Dies ist die explizite Darstellung. f (n) = 1 2 n Und des Weiteren handelt es sich um eine geometrische Reihe, da wir eine Funktion der Form b n = c q n haben. Wir definieren für diese Funktion: c = 1 q = 1/2 Wir können die Funktion auch beschreiben, indem wir von einem Wert ausgehen und die Änderung zum nächsten Wert beschreiben. Dann erhalten wir die rekursive Darstellung (b ist vielleicht eine schöne Variable für eine Funktion, wenn wir über Folgen & Reihen sprechen). b (n+1) = b n q b (n+1) = b n Logarithmus Der Logarithmus ist eigentlich eine andere Schreibweise für eine Exponentialgleichung. Aber seine Rechenregeln können wir uns zunutze machen, um Aufgaben zu lösen. Ermittle den Exponenten x, der die Gleichung 10 x = 100 erfüllt Es liegt nahe, dass die Lösung 2 lautet, da 10 2 = 100, aber wie man das mit dem Logarithmus anschreibt und wie man dies ermittelt, möchten wir jetzt anschauen. Zuvor ein paar Definitionen: 2 x = 16 x = 4 log 2 (16) = 4 log 10 (100) = log(100) = 2 log n 1 = 0

7 AHS Stoff Mathematik Umkehrfunktion Die Umkehrfunktion vom Logarithmus ist die e-funktion. Eine Aufgabe wäre zb, dass du weißt, dass w = ln s gilt. Dir ist w bekannt, aber du möchtest s herausfinden. Du weißt, dass ein Logarithmus (zb ln 1) eine andere Schreibweise für e x = 1 ist (e ist die Eulersche Zahl). Bei der Aufgabe ist x bekannt, aber die 1 kennst du nicht. Also musst du rechnen (die Taschenrechner haben meist sogar eine eigene Taste für e x ). e w = s Eulersche Zahl

8 Kapitel 3 Funktionen 3.1 Wachstum 7

9 Kapitel 4 Vektoren in R 2 und R 3 8

10 Kapitel 5 Beschreibende Statistik 9

11 Kapitel 6 Trigonometrie 10

12 Kapitel 7 Kurvendiskussion 11

13 Kapitel 8 Extremwertbeispiele 12

14 Kapitel 9 Differentialgleichung 13

15 Kapitel 10 Stammfunktionen und Integralrechnung 14

16 Kapitel 11 Analytik 15

17 Kapitel 12 Beschreibende Statistik Die beschreibende Statistik versucht eine Übersicht über Daten zu schaffen. Sie erfasst und wertet Daten aus. Man geht dabei von einer Urliste aus. Als Beispiel seien die Messungen der Verkehrspolizei in einem Dorfgebiet zu nennen. Die Angaben sind gerundete Werte der Geschwindigkeit (in kmh 1 ) Wir können diese Urliste auch ordnen und nach Werten gruppieren: Wert (Geschwindigkeit) absolute Häufigkeit relative Häufigkeit prozentuelle Häuf. 20% 35% 30% 15% Wir kennen hier bereits einige Vokabel. Die absolute Häufigkeit beschreibt die Anzahl der Vorkommen eines Wertes in der Urliste. Die relative Häufigkeit ist die absolute Häufigkeit relativ zur Gesamtzahl. Bei uns ist die Gesamtzahl der Elements gleich 20. Der Wert 30 kommt 4mal in der Urliste vor. Die relative Häufigkeit des Wertes 30 beträgt also 4 20 bzw Die prozentuelle Häufigkeit ist die relative Häufigkeit in Prozent ausgedrückt (also relative H. mal 100). Die Summe aller prozentuellen bzw. relativen Häufigkeiten beträgt natürlich 100% bzw. 1. Ok... was haben wir hier? Das arithmetische Mittel ist noch unter den Namen Mittelwert und Durchschnitt bekannt. Wir nehmen die Summe aller Werte und dividieren sie durch ihre Anzahl = Unter dem Median (auch Zentralwert genannt) versteht man jenen Wert, der sich in der geordneten Urliste genau in der Mitte befindet. Der Modus bezeichnet den Wert mit 16

18 AHS Stoff Mathematik 17 Arithmetisches Mittel 59.5 Median 50 Modus 50 Quartillen 50, 50, 70 Quartilabstand 20 Spannweite 70 Minimum 30 Maximum 100 dem häufigsten Vorkommen. Da der Wert 50 7mal in unserer Liste vorkommt, ist er der Modus. Die Quartillen entstehen, wenn wir die Urliste ordnen und in 4 (Quart = 4) Teile teilen. Da unsere Liste eine gerade Anzahl von Elementen besitzt, gibt es keine Wert, der sich in der Mitte befindet. In diesem Fall berechnet man den Mittelwert der beiden Zahlen, die sich neben dieser Mitte befinden. Das heißt in unserer geordneten Urliste befindet sich als 9. Element die Zahl 50 und als 10. Element die Zahl 50. Der Mittelwert von 50 und 50 ist 50. An der 5. Position befindet sich ebenso eine 50 und an der 6. Position aus. Dann betrachten wir genauso die 15. und 16. Position. Wir erhalten drei Werte (q 1, q 2, q 3 ), die die die Urliste in 4 Teile teilt. Der Quartilabstand ergibt sich aus q 3 q 1. Die Spannweite ist die Differenz des kleinsten vom größten Wert. Ein Wert wurde hier nicht besprochen: der Ausreißer. Unter einem Ausreißer versteht man einen Wert, der sich wesentlich von der Größe der restlichen Werte abhebt. Er erhöht normalerweise den Mittelwert so enorm, dass dieser über dem größten Wert der restlichen Werte liegt. Beziehungsweise ist dies natürlich auch umgekehrt sein (ein Ausreißer kann auch ein wahnsinnig kleiner Wert sein). Minimum und Maximum bezeichnen den kleinsten und größten Wert der Urliste. geometrisches Mittel 3.06 harmonisches Mittel empirische Varianz empirische Standardabweichung Die meisten dieser Werte erklären sich selbst durch ihre Formel. Um das geometrische Mittel zu berechnen gilt: Das harmonische Mittel: m g = n x 1 x 2... x n = n 20 m h = 1 x x = 4 x n

19 AHS Stoff Mathematik 18 Die empirische Standardabweichung hat es zum Ziel die Abweichung der Werte vom Mittelwert zu dokumentieren. Es nimmt also alle Werte minus dem Mittelwert. Damit negative Werte die Abweichung nicht stören, wird quadriert. Die Summe all dieser Werte wird durch die Anzahl der Werte dividiert. Dies ist die empirische Varianz. Die empirische Standardabweichung ist die Wurzel davon. σ 2 = (x 1 x) 2 + (x 2 x) (x n x) 2 n σ 2 = 4 ( )2 + 7 ( ) ( ) ( ) Es gibt nun verschiedene Ansätze diese Daten darzustellen. Zuerst muss man festhalten, dass es sich um eindimensionale Werte handelt. Die Werte bestehen also nur aus einer Zahl (nicht aus zweien wie bei Vektoren oder Ähnlichem). Ich möchte hier kurz vier Darstellungen ansprechen: Kastenschaubild Histogramm Kreisdiagramm Stängelblatt-Diagramm Klassen Beim Kastenschaubild handelt es sich um die einfachste Form. Auf einer Zahlengerade werden die Werte mit Punkten markiert. So werden klar, wo die meisten Werte liegen und nebenbei kann man auch q 1,2,3 eintragen. Beim Histogramm zeichnen wir ein Koordinatensystem. Auf der y-achse schreiben wir die Häufigkeiten der Werte auf. Die x-achse teilen wir in regelmäßige Intervalle (für jeden Wert ein Intervall). Beim Kreisdiagramm zeichnen wir einen Kreis, der 100% darstellt. Jede Häufigkeit rechnen wir in die 360 um und tragen sie dann auf dem Kreis ein. Jeder Häufigkeit gehört ein Tortenstück. Für das Stängel-Blatt-Diagramm teilen wir eine Tabelle in zwei Spalten (Stängel, Blätter). In der ersten Spalte (Stamm) notieren wir jeden Wert. In der zweiten Spalte (Blatt) notieren wir die zugehörige absolute Häufigkeit. In der Fünfzahlenzusammenfassung werden fünf Werte unter ein Dach geschrieben. Neben den fünf Zahlen kann man auch noch den Quartillenabstand (2. Zeile) ablesen bzw. errechnen und die Spannweite (3. Zeile).

20 AHS Stoff Mathematik 19 q 2 q 1 q 3 min max Abbildung 12.1: Fünfzahlenzusammenfassung Sprechen wir von mehrdimensionalen Werten, dann sind auch noch die Begriffe Passgerade (unexakte Linie in der Nähe der Durchschnittswerte) und Punktwolke (Bereich mit den meisten Werten) relevant. Graphiken fehlen an dieser Stelle leider.

21 Kapitel 13 Wahrscheinlichkeitsrechnung Bei der Wahrscheinlichkeit handelt es sich um eine reele Zahl zwischen 1 und 0. Sie versucht Aussagen zu treffen, ob und wann ein Ereignis eintreffen wird. Wobei sich die Wahrscheinlichkeitsrechnung in unserem Alltag nur schwer anwenden lässt, so gibt es zahlreiche analoge Beispiele, die uns die Theorie hinter Wahrscheinlichkeiten verstehen lässt. Münze: Eine Münze hat zwei Seiten. Daraus ergibt sich eine 50:50-Chance für jede der beiden Seiten Würfel: Ein Würfel hat sechs Seiten und eignet sich ideal für bedingte Wahrscheinlichkeit Urne: Aus einer Urne kann man Bälle entnehmmen dessen Farbe man vorher noch nicht kennt Glücksrad: Beim Glücksrad handelt es sich um eine drehbare Scheibe, deren Fläche in farbige Sektoren geteilt ist. Je nachdem auf welche Fläche ein Zeiger zeigt ist der Gewinn zu ermitteln Roulette: Das Roulette ist mit den Nummern 0 bis 36 versehen und kann sich horizontal am Tisch drehen. Grundlegend handelt es sich bei der Wahrscheinlichkeit um ein Verhältnis: Wahrscheinlichkeit = Anzahl der günstigen Fälle Anzahl der möglichen Fälle 20

22 Kapitel 14 Kombinatorik 21

23 Kapitel 15 Schaltalgebra 22

24 Kapitel 16 Anhang.1 Dank Als Erinnerung an unsere gemeinsamen Mathematik-Jahre written with L A TEX 2ε c Lukas Prokop

25 Literaturverzeichnis [1] Malle, Ramharter, Ulovec, Kandl Mathematik verstehen 5 [2] Malle, Ramharter, Ulovec, Kandl Mathematik verstehen 6 [3] Malle, Ramharter, Ulovec, Kandl Mathematik verstehen 7 [4] Malle, Ramharter, Ulovec, Kandl Mathematik verstehen 8 [5] mathcast.org [6] 24