Folgen und Reihen. 1. Folgen

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1 1. Folgen Aufgabe 1.1. Sie kennen alle die Intelligenztests, bei welchen man zu einer gegebenen Folge von Zahlen die nächsten herausfinden soll. Wie lauten die nächsten drei Zahlen bei den folgenden Beispielen? a) 1, 4, 9, 16, b) 1, 3, 6, 10, 15, c) 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, d) 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, e) 1, 1, 1, 1, f) 1, 10, 11, 100, 101, 110, g) 1, 5, 3, 4, 5,3,7, h) 2, 3, 5, 7, 11, 13, Definition: Eine Zahlenfolge (a n ) ist eine Zuordnung, bei der jeder natürlichen Zahl n genau eine reelle Zahl an zugeordnet wird. Folgen sind also eng mit Funktionen verwandt. Die Hauptunterschied besteht darin, dass bei Folgen die Definitionsmenge immer die Menge der natürlichen Zahlen ist. Aufgabe 1.2. Finden Sie die Zuordnungen zu den Beispielen in Aufgabe 1. Hinweis: Nicht für alle ist es möglich, die Zuordung in Form einer Formel anzugeben. 1.2a) a n = n 2 ; b) b n = n(n+1)/2; c) c n = n/(n+1); d) d n = (1/2) n ; e) e n = ( 1) n ; f) f n = 2 n (n im 2er System); g) g n = {n falls n ungerade, 6 n/2 sonst (hier sind auch andere denkbar); e) ---. Seite 1

2 2. Arithmetische Zahlenfolgen Wenn bei einer Zahlenfolge die Differenz d zwischen zwei aufeinander folgenden Zahlen a n und a n+1 konstant ist, so reden wir von einer arithmetischen Zahlenfolge. Beispiel: 7, 11, 15, 19, 23,... a 1 = 7 und d = 11 7 = =... = 4 Die nächsten Zahlen lauten also 23+4 = 27, 27+4 = 31, Bestimmen Sie die ersten sechs Glieder der folgenden arithmetischen Folgen. a) 3, 11,... b) a 1 = 5, d = 4 c) a 2 = 4, d = 1.5 d) a 2 = 7, a 6 = Gegeben sei eine arithmetische Folge durch a 5 = 27.9 und a 12 = 59.4 Berechnen Sie a 1! 2.3. Von einer arithmetischen Folge kennen Sie a 1 und d. Stellen Sie eine Formel auf, mit deren Hilfe Sie ein beliebiges a n direkt berechnen können. 3. Geometrische Zahlenfolgen Wenn bei einer Zahlenfolge der Quotient q von zwei aufeinander folgenden Zahlen a n und a n+1 konstant ist, so reden wir von einer geometrischen Zahlenfolge. Arithmetische und geometrische Folgen sind also miteinander verwandt: Einmal ist die Differenz und einmal der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder konstant. Beispiele: 2, 4, 8, 16, 32, a 1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = = 2 Die nächsten Zahlen lauten also = 64, = 128, 1, 1/2, 1/4, 1/8, a 1 = 1, q = (1/8) / (1/4) = 1/2 Die nächsten Zahlen lauten also 1/8 1/2 = 1/16, 1/16 1/2 = 1/32, 1, 1, 1, 1, 1,... a 1 =1, q = 1/( 1) = ( 1)/1 = Bestimmen Sie die ersten fünf Glieder der folgenden geometrischen Folgen. a) 7, 14, b) a 1 = 6, q = 0.5 c) a 2 = 1.5, q = 2 d) a 2 = 10, a 3 = Gegeben sei eine geometrische Folge durch a 3 = 48 und a 5 = 75. Berechnen Sie a 1! 3.3. Bestimmen Sie die nächsten drei Glieder so, dass eine geometrische Folge entsteht. a) 12, 6, b) 3/4, 1, c) 2, 2, d) a 2, ab, Seite 2

3 3.4. a) Die Seitenlängen der in einander verschachtelten Quadrate bilden eine geometrische Folge. Überprüfen Sie diese Aussage indem Sie q berechnen! Hinweis: Nehmen Sie an, das erste Quadrat habe Seitenlänge 1. b) Auch die Flächeninhalte der ausgefüllten Dreiecke bilden eine geometrische Folge. Warum? 2.1.a) 3, 11, 19, 27, 35, 43; b) 5, 9, 13, 17, 21, 25; c) 5.5, 4, 2.5, 1, 0.5, 2; d) 5.5, 7, 8.5, 10, 11.5, a 1 = 9.9; 2.3. a n = a 1 +(n 1). d. 3.1.a) 7, 14, 28, 56, 112; b) 6, 3, 1.5, 0.75, 0.375; c) 0.75, 1.5, 3, 6, 12; d) 20, 10, 5, 2.5, a 1 = 30.72, q = a) 3, 1.5, 0.75; b) 4/3, 16/9, 64/27; c) 2 2, 4, 4 2; d) b 2, b 3 /a, b 4 /a a) a 1 = 1, q = 2/2; b) a 1 = 1, q = 1/2. Seite 3

4 4. Rekursiv definierte Zahlenfolgen Eine Möglickeit eine Zahlenfolge zu definieren besteht darin, dass wir eine Berechnungsvorschrift für das n te Folgeglied a n angeben: Beispiel: a n = 2n 1 (Folge der ungeraden Zahlen, arithmetische Folge) a 1 = 1, a 2 = 3, a 3 = 5, Diese Art eine Folge anzugeben, heisst explizite Definition. Eine andere Möglichkeit eine Zahlenfolge zu definieren, ist die rekursive Definition. Dabei wird das erste Zahlenglied a 1 und eine Vorschrift, wie man von einem Zahlenglied a n zum nächsten a n+1 kommt, vorgegeben. Beispiel: a 1 = 1, a n+1 = a n +2 (Folge der ungeraden Zahlen, rekursiv definiert!) a 1 = 1, a = a = 3, a = a = 5, a = a = 7, Weiteres Beispiel: a 1 = 1, a n+1 = a n +n a 1 = 1, a = a = 2, a = a = 4, a 4 = a 3 +3 = 7, a 5 = a 4 +4 = 11, Während die rekursive Darstellung einer Folge in der Regel einfacher ist als die explizite (manchmal gar die einzig mögliche), ist sie für die Berechnung viel mühsamer. Für die Bestimmung von a 100 müssen bei einer rekursiven Definition alle hundert Folgeglieder bekannt sein! 4.1. Bestimmen Sie die ersten fünf Glieder der Folge. a) a 1 = 20, a n+1 = a n 4 b) a 1 = 1, a n+1 = 3 a n c) a 1 = 1, a n+1 = 2a n +3 d) a 1 = 0, a n+1 = a n + 2/((n+2)(n+3)) e) a 1 = 1, a 2 = 1, a n+2 = a n +a n Geben Sie die explizite und die rekursive Definition von arithmetischen und geometrischen Folgen an Die Türme von Hanoi Sie haben drei Stäbe A, B, C vor sich. Auf Stab A steht ein Turm aus z.b. 5 Holzscheiben. Zu unterst liegt die grösste Scheibe, zu oberst die kleinste. Sie sollen nun den Turm von Stab A auf Stab B verschieben, wobei Sie nur eine Scheibe pro Zug bewegen und nur kleinere Scheiben auf grössere legen dürfen. Stab C kann als Hilfsstab verwendet werden. a) Testen Sie das Spiel. Beginnen Sie mit 3 Scheiben. b) Wie viele Züge benötigen Sie im Idealfall für 1, 2, 3, 4, 5 Scheiben? c) Finden Sie eine rekursive Formel für die Anzahl Züge. d) Versuchen Sie zum Schluss auch eine explizite Formel für die Zahl der Züge zu finden! 4.1.a) 20, 16, 12, 8, 4; b) 1, 3, 9, 27, 81; c) 1, 5, 13, 29, 61; d) 0, 1/6, 4/15, 1/3, 8/21; e) 1, 1, 2, 3, 5. Seite 4

5 5. Reihen Vom Mathematiker Carl Friedrich Gauss wird oft eine Anekdote aus seiner Kindheit erzählt. Schon in jungen Jahren soll Carl Friedrich sehr schnell im Rechnen gewesen sein, so dass sein Mathematiklehrer sich genötigt sah, den keinen Sprössling zusätzlich zu beschäftigen. Er gab ihm den Auftrag, die ersten 60 natürlichen Zahlen zusammenzuzählen. Der Lehrer dachte sich, Carl Friedrich sei damit wohl eine Zeitlang beschäftigt. Aber bereits nach kurzer Zeit hatte dieser das Resultat gefunden. s 60 = = (1+60)+(2+59)+(3+58)+ +(29+32)+(30+31) = = 1'830 (a n ). Definition: Sei (a n ) eine Zahlenfolge. Dann ist die Reihe (s n ) definiert als die Folge der Teilsummen von s 1 = a 1 s 2 = a 1 +a 2 = a i = s 1 +a 2 2 i=1 3 s n = a 1 +a 2 +a 3 + +a n = a i n i=1 = s n 1 +a n s 3 = a 1 +a 2 +a 3 = a i = s 2 +a 3 i=1 Beispiele: a n = n s n = n = 1/2 n (n+1) Verallgemeinerung des Beispiels von Gauss. b n = 1/n s n = 1+1/2+1/3+1/4+ +1/n c n = 1/2 n d n = n 2 Dies ist die sog. Harmonische Reihe. Es gibt keine explizite Formel für s n. s n = 1/2+1/4+1/8+ 1/2 n = 1 1/2 n s n = n 2 = 1/6 n (n+1) (n+2) Seite 5

6 6. Arithmetische Reihen Arithmetische Reihen sind diejenigen Zahlenfolgen, die wir aus den Teilsummen der arithmetischen Folgen gewinnen können. Beispiel: Summe der ungeraden Zahlen Alle ungeraden Zahlen bilden eine arithmetische Folge mit a 1 = 1, d = 2 a 1 = 1 s 1 = a 1 = 1 a 2 = 3 s 2 = s 1 +a 2 = 4 a 3 = 5 s 3 = s 2 +a 3 = 9 a 4 = 7 s 4 = s 3 +a 4 = 16 Die Reihe lautet also 1, 4, 9, 16,.... Gilt womöglich s n = n 2? Wir wollen gerade allgemein die Glieder s n einer arithmetischen Reihen berechnen: I s n = a 1 + (a 1 +d) + (a 1 +2d) + (a 1 +3d) [a 1 +(n 2). d] + [a 1 +(n 1). d] II s n = a n + (a n d) + (a n 2d) + (a n 3d) [a n (n 2). d] + [a n (n 1). d] I+II 2s n = (a 1 +a n ) + (a 1 +a n ) + (a 1 +a n ) + (a 1 +a n ) (a 1 +a n ) + (a 1 +a n ) 2s n = n (a 1 +a n ) s n = n/2 (a 1 +a n ) 6.1. Beweisen Sie jetzt mit Hilfe der allgemeinen Summenformel: Die Summe aller n ungeraden Zahlen von 1 bis 2n 1 ist gleich n 2 für jede beliebige natürliche Zahl n Formen Sie die allgemeine Formel für s n derart um, dass wir s n mit Hilfe von a 1 und d statt mit a 1 und a n berechnen können Berechnen Sie die Summe der dreistelligen Zahlen, die durch 7 teilbar sind Bei einer arithmetischen Reihe ist s 5 = 165 und s 15 = 120. Wie lautet das erste Glied der zugehörigen Folge? 6.5. Wie viele Schläge macht eine Uhr in 24 Stunden, wenn Sie nur die vollen Stunden schlägt? 6.2. s n = n a 1 +d/2 n (n 1) ' a1 = 43, d = Seite 6

7 7. Geometrische Reihen Geometrische Reihen sind diejenigen Zahlenfolgen, die wir aus den Teilsummen der geometrischen Folgen gewinnen können. Beispiel: Ein Kind spielt mit verschieden grossen Holzwürfeln. Die Kantenlängen der Würfel betragen 10 cm, 5 cm, 2.5 cm, 1.25 cm etc. Wie hoch wird ein Turm mit 5, 10, n Würfeln? Die Würfelkantenlängen bilden eine geometrische Reihe mit a 1 = 10, q = 1/2. a 1 = 10 s 1 = a 1 = 10 a 2 = 5 s 2 = s 1 +a 2 = 15 a 3 = 2.5 s 3 = s 2 +a 3 = 17.5 a 4 = 1.25 s 4 = s 3 +a 4 = a n = n 1 s n =? Berechnen wir das n te Glied s n einer geometrischen Reihe analog zum letzten Kapitel allgemein: I s n = a 1 + a 1 + a a 1 n 2 + a 1 n 1 II q. s n = a 1 + a a 1 n 2 + a 1 n 1 + a 1 n II I q. s n s n = a 1 n a 1 s n (q 1) = a 1 (q n 1) s n = a 1 qn 1 q 1 = a 1 qn 1 1 q 7.1. Berechnen Sie die Höhen der Türme aus der Beispiel Aufgabe Gegeben seien geometrische Reihen. Berechnen Sie die fehlenden Grössen. a) q = 5, s 8 = 195'312, a 1 =? b) a 1 = 7, a 10 = 3'584, s 15 =? c) a 1 = 2, q = 3, s n = 177'146, n =?, a n =? 7.3. Vier Zahlen bilden eine geometrische Folge. Die Summe der ersten beiden Glieder ist 48, die Summe der nächsten zwei Glieder 12. Wie heissen die Zahlen? 7.4. Diese Aufgabe bezieht sich auf die Abbildungen im Kapitel über geometrische Zahlenfolgen: Berechnen Sie den Flächeninhalt der schwarzen Spirale für 5, 10, n Dreiecke , (gerundet). 7.2.a) 2; b) 229'369; c) 11, 118' : 32, 16, 8, 4 oder 96, 48, 24, , , s n = 1/4 (1 (1/2) n ). Seite 7