Folgen und Reihen. Hinweis: Die Aufgaben sind in 3 Gruppen gegliedert. (G): Grundlagen, Basiswissen einfache Aufgaben

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1 Hinweis: Die Aufgaben sind in 3 Gruppen gegliedert (G): Grundlagen, Basiswissen einfache Aufgaben (F): Fortgeschritten mittelschwere Aufgaben (E): Experten schwere Aufgaben Vorzeigeaufgaben: Block Stunde Aufgabe 1 1 (G) Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 2012, siehe Seite 2 (G) Gmynasium Muttenz, Basel, Maturaprüfung 2011, siehe Seite 3 2 (F) Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 2012, siehe Seite 4 3 (F) Kantonschule Reussbühl, Luzern, Maturaprüfung 2011, siehe Seite 5 4 (G/F) Gymnasium Bäumlihof, Basel, Maturaprüfung 2012, siehe Seite 6 Empfohlene Bearbeitungsreihenfolge für eigenständiges Lösen: Block Stunde Aufgabe 1 1 (G) Kantonsschule am Burggraben, St. Gallen, Maturaprüfung 2008, siehe Seite 7 2 (F) Kantonschule Reussbühl, Luzern, Maturaprüfung 2013, siehe Seite 8 3 (G/F) Gymnasium Bäumlihof, Basel, Maturaprüfung 2010, siehe Seite 9 4 gebrauchte Formeln: Arithmetische Folge und Reihe: a n+1 a n = d a n = a 1 + (n 1) d s n = Geometrische Folge und Reihe: a n+1 = q a n = a 1 q n 1 s n = a n n i=1 n a i = n 2 (a 1 + a n ) i=1 a i = a 1 qn 1 q 1 1

2 Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 2012 Geometrische Folge [(G)] Bei einer viergliedrigen geometrischen Folge ist die Summe der ersten beiden Glieder 24, die Summe der beiden letzten Glieder 384. Berechne das erste Glied. Lösung: 1. Lösung a 1 = 4.8, q = 4 / 2. Lösung a 1 = 8, q = 4 2

3 Gmynasium Muttenz, Basel, Maturaprüfung 2011 Arithmetische Reihe [(G)] Hans zersägt einen Holzstab von 6m Lämge in 15 Teile. Dabei ist jeder Teil 4cm lämger als der zuvor abgesägte. Es bleibt dabei kein Reststück übrig. Berechnen Sie die Länge des kürzesten Stücks. Lösung: a 1 = 12cm 3

4 Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 2012 Geometrische Folge [(F)] In den Einheitskreis werden in einem ersten Schritt drei gleichgrosse Kreise so einbeschrieben, dass sich alle Kreise berühren. In jedem dieser Kreise werden im nächsten Schritt wieder drei Kreise auf dieselbe Art einbeschrieben. Dieser Prozess wird beliebig lange fortgesetzt. a) Wie viele Kreise sind in der Figur F 10 vorhanden? b) Ab welcher Figur hat es mehr als Kreise? c) Zeige, dass r 2 = (2 3 3) r 1 gilt. d) Welchem Wert nähert sich die Summe der Kreisflächen bei wachsender Schrittzahl? Lösung: a) b) 22 c) siehe Musterlösung d) F tot 2.826(πr 2 1 ) 4

5 Kantonschule Reussbühl, Luzern, Maturaprüfung 2011 Geometrische Folge [(F)] In der Figur sind die ersten vier einer unendlichen Folge von Quadraten Q1, Q2, Q3,... eingezeichnet. Berechnen Sie die Summe dieser unendlich vielen Quadratflächen. Lösung: F tot =

6 Gymnasium Bäumlihof, Basel, Maturaprüfung 2012 Geometrische Folge [(G/F)] Im Punkt P (2/1) beginnt eine Dreieckspirale. Sie setzt sich aus unendlich vielen Teilstrecken zusammen und strebt gegen das Spiralzentrum Z. Die erste Teilstrecke a 1 besitzt die Länge 6 und ist parallel zur x-achse. Jede weitere Teilstrecke ist 10% kürzer als die vorangehende. Die Innenwinkel der Dreieckspirale betragen immer 60 o. a) Berechnen Sie die Längen der Teilstrecken a 2, a 3 und a 4. b) Wie lang ist die Teilstrecke a 15? c) Welche Teilstrecke ist als erste kürzer als 10 6? d) Berechnen Sie die Länge des Streckenzugs s = a 4 + a a 15. e) Welche Länge l besitzt die gesamte Spirale? f) Berechnen Sie die x-koordinate des Spiralzentrums Z. Lösung: a) a 2 = 5.4 a 3 = 4.86 a 4 = b) a 15 = = c) a 150 < 10 6 d) e) 10 f) x

7 Kantonsschule am Burggraben, St. Gallen, Maturaprüfung 2008 Geometrische Reihe [(G)] Gegeben ist die Gleichung x 2 8x + 15 = 0. Die Lösungen x 1 und x 2 dieser Gleichung bilden die ersten zwei Glieder einer wachsenden geometrischen Folge x n. a) Bestimme die explizite Darstellung für das n-te Folgeglied x n. b) Berechne 50 k=1 x k. c) Wie viele Glieder muss man mindestens addieren, damit ihre Summe grösser als 450 wird? Lösung: a) x 1 = 3 q = 5 3 und x n = x 1q n 1 b) s c) 10 7

8 Kantonschule Reussbühl, Luzern, Maturaprüfung 2013 Arithmetische und Geometrische Reihe [(G)] Eine endliche Zahlenfolge besteht aus drei Gliedern a 1 = 2x + 2, a 2 = 3x und a 3 = 4x 8. Bestimmen Sie x so, dass a) eine Arithmetische Folge entsteht. b) eine Geometrische Folge entsteht Geben Sie bei beiden Teilaufgaben auch die Zahlenfolge an und bestimmen Sie bei Teilaufgabe a) die Differenz d der arithmetischen Zahlenfolge und bei Teilaufgabe b) den Quotienten q der geometrischen Zahlenfolge. Lösung: a) x = 1 2 b) x = 4 8

9 Gymnasium Bäumlihof, Basel, Maturaprüfung 2010 Geometrische Folge [(G/F)] Ein Architekt und eine Mathematikerin heiraten. Über das Aussehen der Hochzeitstorte haben sie unterschiedliche Vorstellungen. Der Architekt schlägt eine vierstöckige Torte vor (jedes Stockwerk hat die geometrische Form eines geraden Kreiszylinders). Das erste (unterste) Stockwerk hat einen Radius von 25 cm und eine Höhe von 10 cm. Jedes weitere Stockwerk ist ebenfalls 10 cm hoch, hat jedoch einen jeweils 20% kleineren Radius als das Stockwerk darunter. a) Berechnen Sie den Radius r 4 des vierten Stockwerks, das Volumen V 4 des vierten Stockwerks und das Volumen T 4 der gesamten vierstöckigen Torte. b) Geben Sie eine explizite Formel an, wie Sie den Radius r n und das Volumen V n des n-ten Stockwerks einer Torte berechnen können. c) Die Mathematikerin hingegen möchte, dass sich nicht nur der Radius, sondern auch die Höhe von Stockwerk zu Stockwerk um 20% verringert. Das erste Stockwerk hat die gleichen Abmessungen wie bisher. Welche Gesamthöhe H kann eine solche Mathematikerinnen-Torte aus beliebig vielen Stockwerken höchstens haben? d) Der Konditor kann nur Stockwerke herstellen, welche mindestens 3mm dick sind. Aus wie vielen Stockwerken kann die Mathematikerinnen-Torte unter dieser Bedingung höchstens bestehen? e) Schliesslich stellt der Konditor eine fünfstöckige Torte her. Sie ist 41cm hoch. Das erste Stockwerk besitzt die gewünschten Abmessungen. Danach verringert sich die Höhe von Stockwerk zu Stockwerk immer um gleich viel Prozent. Um wie viel Prozent verringert sich nun die Höhe von Stockwerk zu Stockwerk? Lösung: a) r 4 = 12.8cm, V 4 = cm 3. T 4 = cm 3 b) r n = r 1 q n 1, V n = πr 2 n h = πr2 1 h q2(n 1) c) H = 50cm d) 17 e) 10% 9