Rechnen mit Vektoren. 1. Vektoren im Koordinatensystem Freie Vektoren in der Ebene

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1 Rechnen mit 1. im Koordinatensystem 1.1. Freie in der Ebene 1) Definition Ein Vektor... Zwei sind gleich, wenn... 2) Das ebene Koordinatensystem Wir legen den Koordinatenursprung fest, ferner zwei zueinander senkrechte Achsen und darauf je einen Einheitsvektor. 3) Freie im Koordinatensystem Der Anfangspunkt eines freien Vektors ist beliebig. a 1 a = bedeutet... a 2 a 1 heisst..., a 2 heisst.... Die Darstellung heisst... 4) einzeichnen Zeichne in der Figur oben die folgenden ein: a 3 =, b 3 =, c = ) Komponenten ablesen Bestimme die Komponentendarstellung der eingezeichneten Hinweis: Alle Komponenten sind ganzzahlig. 1

2 6) addieren Gegeben sind a 3 = und b =. Berechne den Vektor a + b = ) Satz werden addiert, indem man... werden subtrahiert, indem man... 8) Illustration Gegeben sind die a 3 =, b 3 = und c = Bestimme (konstruktiv) die a + b, a + b + c und a b. a + b konstruieren bedeutet... a b konstruieren bedeutet ) mit einer reellen Zahl multiplizieren Gegeben ist der Vektor a =. Berechne 2a = und 2 a = ) Satz Einen Vektor multipliziert man mit einer reellen Zahl t, indem man... Wenn t < 0 ist, dann... Wenn t = 1 ist, dann... 11) Grundaufgaben Gegeben sind die a 2 =, b 3 = und c = a) Zeichne und berechne 3 a 2 b b) Zeichne und berechne a + 2 b c 12) Definition Der Vektor... heisst.... 2

3 13) Einen Vektor zerlegen 7 Zerlege den Vektor a 2 = nach den b 3 = und c = Zerlegen heisst:... 14) Definition Es sei der Vektor a a = a 1 2 gegeben. Die Länge oder Norm dieses Vektors bezeichnet man mit... Ein Vektor mit Länge 1 heisst... 15) Grundaufgaben 7 a) Berechne die Länge des Vektors v = 8 b) Berechne die Längen der in der nebenstehenden Figur. 16) Grundaufgabe 7 Berechne die fehlende Komponente y des Vektors a = so, dass a = 10 wird. y 17) Einen Vektor auf vorgegebene Länge strecken 7 Berechne die Komponenten der mit Länge 8, die zu a = parallel sind ) Einen Vektor auf Länge 1 bringen 3 Gesucht sind die Einheitsvektoren parallel zu c =. Bestimme beide Lösungen. 5 3

4 1.2. Freie im Raum 1) Definition Das räumliche Koordinatensystem wird festgelegt durch: Die drei Achsen bilden... a1 Die Komponentendarstellung eines räumlichen Vektors lautet a = a 2. a 3 Dabei nennt man a 1 die x-komponente, a 2 die y-komponente und a 3 die z-komponente des Vektors a. 2) Ablesen von Lies die Komponenten der dargestellten aus der Figur ab. Hinweis: Alle Anfangs- und Endpunkte haben ganzzahlige Koordinaten. 3) addieren, mit reellen Zahlen multiplizieren Die Sätze aus der zweidimensionalen Betrachtung gelten auch in 3 Dimensionen. 3 Gegeben sind die a 4 = 1, b 2 = 0 und c = 3. Berechne a + 2 b c ) Zerlegen eines Vektors Im Raum müssen drei vorgegeben sein. 10 Zerlege den Vektor d 3 = 7 nach den a 4 = 1, b 2 = 0 und c = ) Die Norm eines Vektors Die Länge von im Raum berechnet man mit der Formel: Begründung:... 4

5 6) Grundaufgaben Gegeben sind die a) Berechne a. 1 a = 4 und 8 7 b = 1+ t. 6 b) Berechne die Komponenten der zu a parallelen mit Länge 5. c) Berechne die fehlende Zahl t so, dass b = 10 wird. 7) Kollineare und komplanare Zwei heissen kollinear, wenn... d.h. wenn... Drei im Raum heissen komplanar, wenn... Technische Formulierung:... 8) Lineare Abhängigkeit Zwei (oder mehr) heissen linear abhängig, wenn... Drei im Raum sind linear abhängig, wenn sie... Vier im Raum sind... 5

6 1.3. Freie ohne Koordinatensystem 1) Basisvektoren Wenn wir zwei nicht kollineare vorgeben, dann können wir jeden anderen Vektor der Ebene als Linearkombination dieser beiden Basisvektoren ausdrücken. Im dreidimensionalen Raum benötigt man drei linear unabhängige dazu. 2) addieren, subtrahieren Zeichne zwei a und b. Konstruiere die c = a + 2 b und d = 3 a 1 2 b 3) zerlegen Zeichne drei a, b und c. Zerlege konstruktiv c nach a und b. 4) Dreieck Zeichne ein Dreieck ABC und darin die a = BC sowie b = CA M bezeichnet den Mittelpunkt der Strecke AB. P ist der Punkt, der entsteht, wenn man M an C spiegelt. Drücke die CM und PB durch a und b aus. H 5) Quader E Im skizzierten Quader kennt man die AB = a, AE = b und AH = c G. M ist Mittelpunkt der Strecke CD. A D F M C Drücke den Vektor FM durch a, b und c aus. B 6) Beweis mit Hilfe von Wir weisen nach, dass in jedem Dreieck der Schwerpunkt die Schwerelinie im Verhältnis 2:1 teilt. 7) Anwendung Im Parallelogramm ABCD verbindet man A mit den Mittelpunkten der beiden nicht anliegenden Seiten. Die Diagonale BD wird dadurch in drei Teilstrecken unterteilt. Weise nach, dass diese drei Teilstrecken alle gleich lang sind. 6

7 1.4. Ortsvektoren 1) Punkte im Koordinatensystem Einen Punkt in der Ebene oder im Raum beschreibt man durch seine zwei resp. drei Koordinaten. Beispiele: A(4 3), B( 2 3), C(1 5), D( 4 4) Bezeichnung der Quadranten im R 2 : I. Quadrant:... II. Quadrant:... III. Quadrant:... IV. Quadrant:... 2) Definition Der Ortsvektor zum Punkt P... 3) Differenzvektor zwischen zwei Punkten a) Gegeben sind die Punkte A(4 3) und B( 2 3). Berechne den Vektor AB Regel: b) Dasselbe im Raum: Berechne den Vektor vom Punkt P(3 2 7) zum Punkt Q( ). 4) Einen freien Vektor in einem Punkt anhängen Gegeben ist der Punkt P(3 1 5) und der Vektor 4 PQ = 5. Wo liegt Q? 1 5) Anwendung Gegeben sind drei Ecken A(5 3 1), B(2 0 1), C(8 6 3) eines Parallelogramms ABCD. Bestimme die vierte Ecke D dieses Parallelogramms. 6) Mittelpunkt einer Strecke Bestimme den Mittelpunkt der Strecke P(2 1 7) Q(8 5 9). 1. Lösungsvariante: Lösungsvariante:... 7) Anwendung Eine Strecke dritteln: Welche Punkte teilen die Strecke ( 4 7) (5 4) in drei gleiche Teile? Bestimme die Koordinaten der Teilungspunkte A und B. 7

8 8) Schwerpunkt Berechne den Schwerpunkt des Dreiecks A( 4 7) B(5 4) C(2 1). 9) Umfang Berechne den Umfang des Dreiecks A( 4 7 2) B(4 3 1) C(2 1 2). 10) Rhombus Zeige, dass die 4 Punkte (2 1 1), (5 7 5), ( 6 0 3) und ( 3 6 9) Ecken eines Rhombus sind. (Achtung: Die Ecken sind nicht mit A, B, C, D angeschrieben.) 11) Trapez Zeige, dass 4 Punkte A( 4 4), B(5 1), C(0 4) und D( 3 3) Eckpunkte eines gleichschenkligen Trapezes sind. 12) Anwendung Die Punkte A(4 1 0) B(9 y 2) sollen Abstand 10 haben. Wie gross ist y? 13) Anwendung Bestimme y so, dass A(2 7), B(4 6) und C(11 y) auf einer Geraden liegen. 14) Anwendung Welche Punkte der x-achse liegen vom Punkt P(4 4 2) doppelt so weit entfernt wie vom Punkt Q(5 2 1)? 8