2 Vektoren als Pfeile
|
|
- Anton Schulz
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 2 Vektoren als Pfeile 2.1 Verschiebungen und Pfeile Bei einer Verschiebung werden alle Punkte der Ebene um eine gewisse Länge in eine gewisse Richtung verschoben. Punkt und Bildpunkt lassen sich mit einem Pfeil verbinden. Die Menge dieser gleich langen und gleich gerichteten Pfeile beschreibt also die Verschiebung. Eigentlich reicht aber ein Pfeil aus, um die Verschiebung zu beschreiben. Der Ansatzpunkt des Pfeils ist dann einfach verschieden für jeden zu verschiebenden Punkt. Das führt zu folgender Definition: Definition 1 (Vektor). Die Menge aller Pfeile mit gleicher Länge und gleicher Richtung heisst Vektor. Die einzelnen Pfeile nennt man Repräsentanten des Vektors. Schreibweise: AB = CD = EF = v Bemerkung: Ein Pfeil ist bestimmt durch Anfangspunkt, Richtung und Länge. Ein Vektor ist schon bestimmt durch Richtung und Länge. Weitere Begriffe Nullvektor: o = AA (zero vector) Gegenvektor von v = AB: v = BA (negative vector) Betrag (Länge) von v = AB: v = AB (magnitude) 2.2 Grundoperationen Addition Die Vektorsumme von a und b wird so definiert: Ist a = P Q und b = QR, dann ist a + b = P R. Bemerkung: Anfangspunkt von b wird an Endpunkt von a angefügt. Oft muss der eine Vektor zuerst ans Ende des anderen verschoben werden, damit die Vektoraddition durchgeführt werden kann. Insbesondere tritt oft die Situation auf, bei der die beiden Vektoren vom gleichen Punkt aus gehen: 5
2 Die beiden Vektoren a und b spannen ein Parallelogramm auf. Die Diagonale dieses Parallelogramms ist die Vektorsumme a + b. Subtraktion Die Vektordifferenz a minus b wird so definiert: a b = a + ( b ) Vektordifferenz: Addition des Gegenvektors. Im Parallelogramm kann die Summe und Differenz dargestellt werden: 6
3 Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl Das Vektorvielfache von λ R mit a wird so definiert: λ a ist ein Vektor mit λ -fachem Betrag wie a gleicher Richtung wie a für positives λ, entgegengesetzter Richtung wie a für negatives λ Bemerkung: Das Multiplizieren eines Vektors mit einer Zahl nennt man auch das Multiplizieren mit einem Skalar. Ein Skalar ist im Gegensatz zu einem Vektor eine Grösse, die nur durch eine Zahl beschrieben werden kann. Aufgaben 1. Gegeben sind die Vektoren a, b, c und d. Zeichne die folgenden Vektoren (a) a + 2 b (b) a + 2 b c (c) b 2 a (d) 2 a b 0.5 c (e) a ( b + d ) (f) 2 c ( a d ) (g) a ( b 2 d ) (h) 2 c + ( a b ) 7
4 2. Verwende die Vektoren b und c aus der vorherigen Aufgabe. Zeichne einen Vektor r, so dass gilt (a) b + r = c (b) b r = c 3. Übertrage den Würfel vergrössert ins Heft und zeichne die folgenden Vektoren so in den Würfel ein, dass Anfangs- und Endpunkt klar definiert sind. (a) a + b + c (b) 1 2 a b + c (c) a b c (d) a b + c (e) a + b c (f) a 1 2 ( b + c ) 4. Übertrage den Würfel vergrössert ins Heft und zeichne die folgenden Vektoren so in den Würfel ein. ( a endet und c beginnt in einer Kantenmitte.) (a) a + b + c (b) 1 2 a + b c (c) a b c (d) a b c (e) a + b c (f) c 1 2 ( a + b ) 8
5 2.3 Rechnen mit Vektoren Für das Rechnen mit Vektoren gelten viele Gesetze, die formal gleich aussehen, wie die schon vom Zahlenrechnen her bekannten Gesetze. Kommutativgesetz der Addition a + b = b + a Die Vektoraddition ist kommutativ (the vector addition is commutative). Dies zeigt die folgende Figur: Assoziativgesetz der Addtion ( a + b ) + c = a + ( b + c ) Die Vektoraddition ist auch assoziativ (associative), wie die folgende Figur zeigt: Distributivgesetz λ( a + b ) = λ a + λ b Die Vektoraddition mit der Multiplikation mit einem Skalar ist distributiv: 9
6 Hurra! Mit Vektoren darf man rechnen wie mit Zahlen! Allerdings: Es gibt keine Division von Vektoren! Und das Produkt von Vektoren muss noch definiert werden: Dies wird etwas später auf das Skalarprodukt und das Vektorprodukt führen. 2.4 Kollineare und komplanare Vektoren Definition 2 (kollinear). Vektoren heissen kollinear (collinear), wenn ihre Repräsentanten parallel zu einer Geraden sind. Kollineare Vektoren sind also parallel zu einander. Dieses Konzept gilt in 2 und 3 Dimensionen. Definition 3 (komplanar). Vektoren heissen komplanar (coplanar), wenn ihre Repräsentanten parallel zu einer Ebene sind. Bemerkung: Zwei Vektoren sind stets komplanar, jedoch sind sie im Allgemeinen nicht kollinear. Drei Vektoren sind nur komplanar, wenn sie in der gleichen Ebene (oder parallel dazu) liegen. Aufgaben 5. In den Würfeln sind jeweils drei Vektoren eingezeichnet. Entscheide, ob sie komplanar sind. Alle Pfeile starten und enden jeweils in Eckpunkten, Diagonalenschnittpunkten oder Kantenmitten des Würfels. 10
7 6. Zeichne in den Würfel einen dritten Vektor, der zu den gegebenen beiden komplanar, aber zu keinem der gegebenen Vektoren kollinear ist. 2.5 Linearkombination Definition 4 (Linearkombination). Gegeben sind drei nicht komplanare Vektoren a, b und c. v = x a + y b + z c ist eine Linearkombination. Räumliche Darstellung: Drei nicht-komplanare Vektoren spannen ein Spat (dreidimensionale Verallgemeinerung des Parallelogramms) auf. Jeder andere Vektor v lässt sich als Linearkombination dieser drei Vektoren darstellen. 11
8 Aufgaben 7. (a) Schreibe c, d und e als Linearkombination von a und b. (b) Lässt sich f als Linearkombination von a und e schreiben? (c) Lässt sich c als Linearkombination von a und e schreiben? 8. Wie in der vorherigen Aufgabe betrachten wir Vektoren in der Zeichenebene. (a) Zeichne drei Vektoren a, b und c so, dass c als Linearkombination von a und b dargestellt werden kann. (b) Zeichne drei Vektoren a, b und c so, dass c nicht als Linearkombination von a und b dargestellt werden kann. (c) Und nun allgemein. Welche Bedingungen musst du an a und b stellen, damit sich jeder Vektor c als Linearkombination von a und b dargestellt lässt? Beantworte diese Frage auch für Vektoren in drei Dimensionen. 9. Stelle d als Linearkombination von a, b und c dar. Die Punkte, die nicht auf den Ecken liegen, halbieren oder vierteln jeweils die Kanten. (a) d = AF (b) d = CA (c) d = AO (d) d = HI (e) d = P A (f) d = DF (d) d = ML (e) d = 0 (f) d = EP (g) d = BL (h) d = KP (i) d = AI 12
9 10. Beschreibe die Vektoren d, e und f als Linearkombination von a, b und c. Der Endpunkt von d liegt in der Mitte der vorderen linken Kante. 2.6 Anwendung: Moleküle 11. Kohlenwasserstoffe: An ein Kohlenstoffatom können sich maximal vier Wasserstoffatome binden. In vier Ecken des Würfels befinden sich die Wasserstoffatome, in der Würfelmitte das Kohlenstoffatom. Die Linien zwischen den Atomen symbolisieren die chemischen Bindungen. (a) Fasse die vier Wasserstoffatome als Ecken eines Körpers auf. Beschreibe diesen Körper: Welche Kanten sind gleich lang? Gibt es Spiegelebenen? Gibt es Drehachsen? (b) Jede Bindung vom Kohlenstoffatom zum Wasserstoffatom kann durch einen Vektor dargestellt werden. So sind vier Bindungsvektoren definiert. Drücke diese Bindungsvektoren durch die Kantenvektoren a, b und c aus. Dabei verlaufe die Richtung der Bindungsvektoren vom Kohlenstoffatom zum Wasserstoffatom. (c) Bestimme mit der obigen Teilaufgabe die Summe der vier Bindungsvektoren. Interpretiere das Resultat physikalisch. 13
10 Lösungen 1. Die Angaben beziehen sich auf die Längeneinheit Häuschen (a) 5 nach links, 6 nach unten (b) 11 nach links, 10 nach unten (c) 10 nach rechts, 8 nach unten (d) 13 nach links, 6 nach oben (e) 6 nach oben (f) 12 nach rechts, 6 nach oben (g) 15 nach links, 6 nach oben (h) 7 nach rechts, 14 nach oben 2. (a) 6 nach rechts, 8 nach oben (b) 6 nach links, 8 nach unten 3. (a) Von D nach F (b) Von C zur Mitte der Kante EH (c) Von F nach D (d) Von C nach E (e) Von H nach B (f) Von G zur Mitte der Fläche ABFE 4. (a) Von A nach F (b) Von der Mitte der Kante EH zum Punkt auf dreiviertel Höhe der Kante BF (c) Von F nach A (d) Von B auf die Verlängerung der Kante AD (1 Kantenlänge hinter D) (e) Von A nach B (f) Von der Mitte der Kante AB zum Punkt P auf der Kante AE, welcher von A ein Viertel der Kantenlänge entfernt ist 5. (a) nicht komplanar, (b) komplanar, (c) nicht komplanar (a) Z.B. die Verbindung des Endpunktes des nach oben zeigenden Vektors mit dem Anfangspunkt des nach unten zeigenden. (b) Einen Vektor parallel verschieben, bis er mit dem anderen zusammenstösst und dann wie in (a) verfahren. (c) Die beiden Pfeile schneiden sich im Mittelpunkt des Würfels. Somit kann z.b. der Vektor von einem Endpunkt zum anderen gewählt werden. (a) c = a + 2 b, d = a + 2 b, e = 0.5 a (b) ja 8. (a) (c) nein (b) 14
11 (c) Sind a und b nicht kollinear, so gibt es genau eine Lösung. Sind a und b kollinear, so gibt es entweder keine Lösung, wenn c nicht kollinear ist mit a und b, oder unendlich viele, wenn c mit a und b kollinear ist. In drei Dimensionen: a, b und c nicht komplanar. 9. (a) d = AF = b + c (b) d = CA = a b (c) d = AO = a + b c (d) d = HI = a b c (e) d = P A = a b 0.25 c (f) d = DF = a + b + c (d) d = ML = a 0.25 b (e) d = 0 = 0 a + 0 b + 0 c (f) d = EP = a + b 0.75 c (g) d = BL = 0.75 b + c (h) d = KP = a + b 0.5 c (i) d = AI = 0.5 b 10. d = 1 2 a c, e = 2 a 2 b + c, f = 2 a + b 11. (a) Alle Kanten sind gleich lang. Die beiden vorderen H-Atome und C liegen z.b. in einer Spiegelebene. Entlang jeder CH-Bindung verläuft z.b. eine 3-zählige Drehachse. (b) 1 2 ( a + b + c ), 1 2 ( a b + c ), 1 2 ( a b c ), 1 2 ( a + b c ) (c) 0. Werden Bindungsvektoren als Kraftvektoren interpretiert, so ist die Resultierende davon 0 : Kräftegleichgewicht am Ort des C-Atoms. 15
Grundlagen der Vektorrechnung
Grundlagen der Vektorrechnung Ein Vektor a ist eine geordnete Liste von n Zahlen Die Anzahl n dieser Zahlen wird als Dimension des Vektors bezeichnet Schreibweise: a a a R n Normale Reelle Zahlen nennt
Mehr3.6 Einführung in die Vektorrechnung
3.6 Einführung in die Vektorrechnung Inhaltsverzeichnis Definition des Vektors 2 2 Skalare Multiplikation und Kehrvektor 4 3 Addition und Subtraktion von Vektoren 5 3. Addition von zwei Vektoren..................................
Mehr(0, 3, 4) (3, 3, 4) (3, 3, 0)
Übungsmaterial 1 2 Vektoren im Raum 2.1 Das räumliche Koordinatensystem Abbildung 1 zeigt das Koordinatensystem im R 3, dem dreidimensionalen Raum, mit eingefügtem Quader. Die Koordinaten einiger Eckpunkte
MehrVektorgeometrie Layout: Tibor Stolz
Hanspeter Horlacher Vektorgeometrie Layout: Tibor Stolz 1. Einführung Eine Grösse, zu deren Festlegung ausser einer Zahl auch noch die Angabe einer Richtung nötig ist, heisst VEKTOR. P 2 P 1 P 1 P 2 P
Mehr& sind die Vektorkomponenten von und sind die Vektorkoordinaten von. A x. a) Der Betrag eines Vektors
Einführu hnung Was ist ein Vektor? In Bereichen der Naturwissenschaften treten Größen auf, die nicht nur durch eine Zahlenangabe dargestellt werden können, wie Kraft oder Geschwindigkeit. Zur vollständigen
MehrVektorrechnung. Beispiele: (4 8) 2-Tupel (Zahlenpaar) (4 8 9) 3-Tupel (Zahlentrippel)
Vektorrechnung Oftmals möchte man in der Mathematik mit mehreren Zahlen auf einmal rechnen. Dafür werde geordnete Listen verwendet. Eine Liste besteht aus n reellen Zahlen und wird n-tupel genannt. Beispiele:
MehrRechnen mit Vektoren. 1. Vektoren im Koordinatensystem Freie Vektoren in der Ebene
Rechnen mit 1. im Koordinatensystem 1.1. Freie in der Ebene 1) Definition Ein Vektor... Zwei sind gleich, wenn... 2) Das ebene Koordinatensystem Wir legen den Koordinatenursprung fest, ferner zwei zueinander
MehrArbeitsblatt 1 Einführung in die Vektorrechnung
Arbeitsblatt Einführung in die Vektorrechnung Allgemein Vektoren sind physikalische Größen und durch ihre Richtung und ihren Betrag festgelegt. Geometrisch wird ein Vektor durch einen Pfeil dargestellt,
MehrDefinition, Grundbegriffe, Grundoperationen
Aufgaben 1 Vektoren Definition, Grundbegriffe, Grundoperationen Lernziele - einen Vektor korrekt kennzeichnen bzw. schreiben können. - wissen, was ein Gegenvektor ist. - wissen, wie die Addition zweier
MehrLernunterlagen Vektoren in R 2
Die Menge aller reellen Zahlen wird mit R bezeichnet, die Menge aller Paare a 1 a 2 reeller Zahlen wird mit R 2 bezeichnet. Definition der Menge R 2 : R 2 { a 1 a 2 a 1, a 2 R} Ein Zahlenpaar a 1 a 2 bezeichnet
Mehr1 Vorlesungen: und Vektor Rechnung: 1.Teil
1 Vorlesungen: 4.10.005 und 31.10.005 Vektor Rechnung: 1.Teil Einige in der Physik auftretende Messgrößen sind durch eine einzige Zahl bestimmt: Temperatur T K Dichte kg/m 3 Leistung P Watt = J/s = kg
MehrEinführung. 1 Vektoren
Einführung Die Vektorgeometrie beschreibt geometrische Sachverhalte in einer algebraischen Sprache. Sie gibt uns ein mathematisches Hilfsmittel in die Hand, mit welchem wir Geometrie nicht nur konstruktiv
MehrVektorgeometrie - Teil 1
Vektorgeometrie - Teil 1 MNprofil - Mittelstufe KZN Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 14. März 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung & die analytische Darstellung der
MehrZusammenfassung Mathe III. Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren
Zusammenfassung Mathe III Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren Definition: (1) anschaulich: Ein Vektor ist eine direkt gerichtete Verbindung zweier
MehrLineare Algebra: Theorie und Anwendungen
Lineare Algebra: Theorie und Anwendungen Sommersemester 2012 Bernhard Burgeth Universität des Saarlandes c 2010 2012, Bernhard Burgeth 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 2 1 Vektoren in der Ebene und
MehrVerlauf Material LEK Glossar Lösungen. Die Addition von Vektoren einführen. Walter Czech, Krumbach VORANSICHT
Reihe 11 S 1 Verlauf Material Die Addition von Vektoren einführen Walter Czech, Krumbach Schlittenhunde Um die Gesamtkraft, mit der die Hunde am Schlitten ziehen, zu ermitteln, bedient man sich zweckmäßigerweise
MehrKapitel I: Vektorrechnung 2: Vektoren im Raum
WS 1/14 - Prof Dr Manfred Leitz 2 Vektoren im Raum A Grundbegriffe B Rechnen mit Vektoren C Der euklidische Betrag D Das euklidische Skalarprodukt E Vektorprodukt und Spatprodukt F Geraden und Ebenen im
MehrGeometrie. Bei der Addition von Vektoren erhält man einen Repräsentanten des Summenvektors +, indem man die Repräsentanten von aneinanderfügt:
Geometrie 1. Vektoren Die Menge aller zueinander parallelen, gleich langen und gleich gerichteten Pfeile werden als Vektor bezeichnet. Jeder einzelne Pfeil heißt Repräsentant des Vektors. Bei Ortsvektoren:
MehrVektoren, Vektorräume
Vektoren, Vektorräume Roman Wienands Sommersemester 2010 Mathematisches Institut der Universität zu Köln Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester 2010
MehrVektoren. Jörn Loviscach. Versionsstand: 11. April 2009, 23:42
Vektoren Jörn Loviscach Versionsstand:. April 29, 23:42 Rechnen mit Pfeilen Bei den komplexen Zahlen haben wir das Rechnen mit Pfeilen schon kennen gelernt. Addition und Subtraktion klappen in drei wie
MehrBADEN-WÜRTTEMBERG Vektoren Geraden im Raum Lösungen Herausgegeben von Heinz Griesel Helmut Postel Friedrich Suhr Schroedel
ELEMENTE DER MATHEMATIK BADEN-WÜRTTEMBERG Vektoren Geraden im Raum Lösungen Herausgegeben von Heinz Griesel Helmut Postel Friedrich Suhr Schroedel Vektoren Geraden im Raum. Kartesisches Koordinatensystem
MehrLineare Algebra 1. Roger Burkhardt
Lineare Algebra 1 Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Fachhochschule Nordwestschweiz Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft HS 2008/09 4 Einführung Vektoren und Translationen
MehrGrundwissen Abitur Geometrie 15. Juli 2012
Grundwissen Abitur Geometrie 5. Juli 202. Erkläre die Begriffe (a) parallelgleiche Pfeile (b) Vektor (c) Repräsentant eines Vektors (d) Gegenvektor eines Vektors (e) Welcher geometrische Zusammenhang besteht
Mehr3 Vektoren. 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum. Höhere Mathematik 60
Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum 3 Vektoren 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum In der Ebene (mathematisch ist dies die Menge R 2 ) ist ein kartesisches Koordinatensystem festgelegt
MehrVektorrechnung. 10. August Inhaltsverzeichnis. 1 Vektoren 2. 2 Grundlegende Rechenoperationen mit Vektoren 3. 3 Geometrie der Vektoren 5
Vektorrechnung 0. August 07 Inhaltsverzeichnis Vektoren Grundlegende Rechenoperationen mit Vektoren 3 3 Geometrie der Vektoren 5 4 Das Kreuzprodukt 9 Vektoren Die reellen Zahlen R können wir uns als eine
MehrVektoren und Matrizen
Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Vektoren und Matrizen Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Vektoren (a) Einführung (b) Linearkombinationen (c) Länge eines Vektors (d) Skalarprodukt (e) Geraden
MehrVorkurs Mathematik B
Vorkurs Mathematik B Dr. Thorsten Camps Fakultät für Mathematik TU Dortmund 20. September 2011 Definition (R n ) Wir definieren: 1 Der R 2 sei die Menge aller Punkte in der Ebene. Jeder Punkt wird in ein
MehrRechnen mit Klammern
Rechnen mit Klammern W. Kippels 28. Juli 2012 Inhaltsverzeichnis 1 Gesetze und Formeln zum Rechnen mit Klammern 3 1.1 Kommutativgesetze.............................. 3 1.2 Assoziativgesetze...............................
Mehr1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat.
1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat. übliche Beispiele: Ort r = r( x; y; z; t ) Kraft F Geschwindigkeit
MehrLineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya
Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit -E Ma Lubov Vassilevskaya Eindimensionaler Raum Abb. -: Zwei nicht gleiche Vektoren auf der gleichen Gerade Jeden Vektor, der auf einer Geraden liegt, kann man durch
MehrAnalytische Geometrie
Analytische Geometrie 1 Punkte und Vektoren im Raum G 1.1 Gegeben sind die Vektoren in nebenstehender Abbildung. Drücke die Vektoren AC durch a und b AB durch z und w BC durch c und d DB durch b und u
MehrVektoren. Jörn Loviscach. Versionsstand: 30. März 2010, 18:06 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen in der Vorlesung.
Vektoren Jörn Loviscach Versionsstand: 30. März 2010, 18:06 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen in der Vorlesung. 1 Rechnen mit Pfeilen Bei den komplexen Zahlen haben wir das Rechnen
Mehr2.2 Kollineare und koplanare Vektoren
. Kollineare und koplanare Vektoren Wie wir schon gelernt haben, können wir einen Vektor durch Multiplikation mit einem Skalar verlängern oder verkürzen. In Abbildung 9 haben u und v die gleiche Richtung,
MehrKapitel im Fokus. Ich kann / kenne. 5. Klasse Stand Juni **Anzahl der KA: 6 pro Schuljahr** Daten und Zufall. Größen messen
Daten und Zufall Sammeln und Auswerten von Daten Strichliste Absolute Häufigkeit Säulendiagramm Daten erfassen (Strichlisten, Tabellen). gesammelte Daten auswerten. Daten mithilfe von Diagrammen darstellen.
MehrH. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für den Pflichtteil Baden-Württemberg mit Tipps und Lösungen
H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Übungsbuch für den Pflichtteil Baden-Württemberg mit Tipps und Lösungen Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Themen des Pflichtteils... Analysis Von der Gleichung
MehrL2. Vektorräume. Physikalische Größen lassen sich einteilen in: 1) Skalare: vollständig bestimmt durch Angabe einer. Beispiele:
L2. Vektorräume Physikalische Größen lassen sich einteilen in: 1) Skalare: vollständig bestimmt durch Angabe einer Beispiele: 2) Vektoren: vollständig bestimmt durch Angabe einer und einer Beispiele: Übliche
MehrEinführung in das mathematische Arbeiten im SS 2007. Vektoren. Evelina Erlacher 1 9. März 2007. 8 Winkel 5. 11 Ausblick 6
Workshops zur VO Einführung in das mathematische Arbeiten im SS 007 Inhaltsverzeichnis Vektoren Evelina Erlacher 9. März 007 1 Pfeile und Vektoren im R und R 3 1 Der Betrag eines Vektors 3 Die Vektoraddition
Mehrb) richtig, da und c) falsch, da d) Westermann Seite 52 Aufgabe 4
Westermann Seite 52 Aufgabe 2 b) richtig, da und c) falsch, da d) Westermann Seite 52 Aufgabe 4 Nach dem Einzeichnen des Urdreiecks und des Punktes A erkennt man: Der Vektor verschiebt den Punkt A um 3
MehrGrundsätzliches Produkte Anwendungen in der Geometrie. Vektorrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015
Vektorrechnung Fakultät Grundlagen Juli 205 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Übersicht Grundsätzliches Grundsätzliches Vektorbegriff Algebraisierung der Vektorrechnung Betrag 2 Skalarprodukt Vektorprodukt
MehrLernmaterialblatt Mathematik. Vektorrechnung eine Einführung. Anwendung Mathematik I. Einleitung:
Vektorrechnung eine Einführung Einleitung: Um beispielsweise das Dreieck ABC in der Abbildung an die Position A'B'C' zu verschieben, muss jeder Punkt um sieben Einheiten nach rechts und drei nach oben
MehrArbeitsblatt 1. ORTSVEKTOREN. "Ortsvektoren.ggb" Zahlenpaar (seine "Koordinaten") beschrieben werden.
Schule Bundesgymnasium für Berufstätige Salzburg Thema Personen Mathematik Modul 5 Einführung in VEKTOREN 5f und Alfred Dominik Arbeitsblatt Einführung in "Vektoren" mit GeoGebra Unterlagen von www.geogebra.org
MehrVEKTOREN. Allgemeines. Vektoren in der Ebene (2D)
VEKTOREN Allgemeines Man unterscheidet im Schulgebrauch zwischen zweidimensionalen und dreidimensionalen Vektoren (es kann aber auch Vektoren geben, die mehr als 3 Komponenten haben). Während zweidimensionale
MehrVektorrechnung Einführung
Vektorrechnung Einführung In der Phsik treten häufig Größen wie Kraft und Geschwindigkeit auf, die sich nicht nur durch eine Zahl erfassen lassen. Sie besiten neben einem bestimmten etrag noch eine Richtung
Mehr3 Vektoren im Koordinatensystem
Stiftsschule Engelberg PAM Schuljahr 7/8 Vektoren im Koordinatensystem. Vektoren in Dimensionen Wir verwenden ein orthonormiertes System: Ursprung (Nullpunkt O x- und y-achse stehen senkrecht (orthogonal
MehrBestimme ferner die Koordinaten des Bildpunktes von B bei der Spiegelung
Vektoren - Skalar- und Vektorprodukt ================================================================== 1. Gegeben sind die Punkte A 1 2 3 und B 3 4 1 bzgl. eines kartesischen Koordina- tensystems mit
MehrVektorrechnung Einführung
Vektorrechnung Einführung In der Phsik treten häufig Größen wie Kraft und Geschwindigkeit auf, die sich nicht nur durch eine Zahl erfassen lassen. Sie besiten neben einem bestimmten etrag noch eine Richtung
Mehr1 Vektorrechnung als Teil der Linearen Algebra - Einleitung
Vektorrechnung als Teil der Linearen Algebra - Einleitung www.mathebaustelle.de. Einführungsbeispiel Archäologen untersuchen eine neu entdeckte Grabanlage aus der ägyptischen Frühgeschichte. Damit jeder
MehrArbeitsblatt Mathematik 2 (Vektoren)
Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW Hochschule für Technik Institut für Mathematik und Naturwissenschaften Arbeitsblatt Mathematik (Vektoren Dozent: - Brückenkurs Mathematik / Physik 6. Aufgabe Gegeben
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Informatiker I (Wintersemester 3/4) Aufgabenblatt (9. Januar
Mehrein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dann ist jeder dazu parallele (kollinear) Veka tor d ein Vielfaches von a. + λ 2 a 2
II. Basis und Dimension ================================================================= 2.1 Linearkombination und Basis -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
MehrLänge, Skalarprodukt, Vektorprodukt
Länge, Skalarprodukt, Vektorprodukt Jörn Loviscach Versionsstand: 20. April 2009, 19:39 1 Überblick Ein Vektorraum muss nur eine Minimalausstattung an Rechenoperationen besitzen: die Addition zweier Vektoren
MehrEinführung Vektoralgebra VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen. October 6, 2007
Hochschule Esslingen October 6, 2007 Overview Einführung 1 Einführung 2 Was sind Vektoren? Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen: Strecken mit gleichem Betrag, gleicher Richtung und Orientierung.
MehrGrundwissen 5. Klasse
Grundwissen 5. Klasse 1/5 1. Zahlenmengen Grundwissen 5. Klasse Natürliche Zahlen ohne Null: N 1;2;3;4;5;... mit der Null: N 0 0;1;2;3;4;... Ganze Zahlen: Z... 3; 2; 1;0;1;2;3;.... 2. Die Rechenarten a)
MehrKapitel II. Vektoren und Matrizen
Kapitel II. Vektoren und Matrizen Vektorräume A Körper Auf der Menge R der reellen Zahlen hat man zwei Verknüpfungen: Addition: R R R(a, b) a + b Multiplikation: R R R(a, b) a b (Der Malpunkt wird oft
MehrRepetitionskurs Vektoren
ETH Eidgenössische Technische Hochschule Zürich Swiss Federal Institute of Technology Zurich ARCH Repetitionskurs Vektoren zur Vorlesung Mathematisches Denken Studiengang Architektur 009/00 von Dr. M.
MehrVorkurs: Mathematik für Informatiker
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 4 Wintersemester 2017/18 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil
MehrVektorräume. 1. v + w = w + v (Kommutativität der Vektoraddition)
Vektorräume In vielen physikalischen Betrachtungen treten Größen auf, die nicht nur durch ihren Zahlenwert charakterisiert werden, sondern auch durch ihre Richtung Man nennt sie vektorielle Größen im Gegensatz
MehrRechnen mit Klammern
Rechnen mit Klammern W. Kippels 22. August 2015 Inhaltsverzeichnis 1 Gesetze und Formeln zum Rechnen mit Klammern 3 1.1 Kommutativgesetze.............................. 3 1.2 Assoziativgesetze...............................
Mehr1.Weiterentwicklung der Zahlvorstellung 1.1Die natürlichen Zahlen Mengenschreibweise: N = {1,2,3,...} N 0 = {0,1,2,3,...}
1 Grundwissen Mathematik 5.Klasse Gymnasium SOB 1.Weiterentwicklung der Zahlvorstellung 1.1Die natürlichen Zahlen Mengenschreibweise: N = {1,2,3,...} N 0 = {0,1,2,3,...} Darstellung am Zahlenstrahl: Darstellung
Mehr5.4 Vektorgeometrie. 1 Repetition der Vektorgeometrie I Freie Vektoren, Ortsvektoren Die skalare Multiplikation eines Vektors...
5.4 Vektorgeometrie Inhaltsverzeichnis Repetition der Vektorgeometrie I. Freie Vektoren, Ortsvektoren................................... Die skalare Multiplikation eines Vektors.............................3
MehrSkalarprodukt. Anwendung auf die Berechnung von einfachen Abständen und Winkeln sowie Normalenvektor. Ganz einfache Erklärung der Grundlagen:
Vektorgeometrie ganz einfach Teil 5 Skalarprodukt Anwendung auf die Berechnung von einfachen Abständen und Winkeln sowie Normalenvektor Ganz einfache Erklärung der Grundlagen: Die wichtigsten Aufgabenstellungen
MehrRechnen mit Vektoren
() Der Ortsvektor Definition: Der Ortsvektor beginnt im Koordinatenursprung und endet in einem beliebigen Punkt P. Die Koordinaten des Punktes stimmen mit den Koordinaten des Ortsvektors überein. Schreibweise:
MehrMathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen
Signalverarbeitung und Musikalische Akustik - MuWi UHH WS 06/07 Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen Universität Hamburg Vektoren entstanden aus dem Wunsch, u.a. Bewegungen, Verschiebungen
MehrDie Nummerierung des Buches wurde für die leichtere Orientierung beibehalten. 1. VEKTOREN UND IHRE GEOMETRISCHE BEDEUTUNG
1 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken aus Einführung in die mathematische Behandlung der Naturwissenschaften I von Hans Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie das Buch auch
MehrVektoralgebra Anwendungen der Vektorrechnung VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen 1/64
1/64 VEKTORRECHNUNG Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Hochschule Esslingen März 2011 2/64 Overview Vektoralgebra 1 Vektoralgebra 2 Was sind Vektoren? 3/64 Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen:
MehrLineare Algebra. 1 Lineare Abbildungen
Lineare Algebra Die lineare Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik, welches u. A. zur Beschreibung geometrischer Abbildungen und diverser Prozesse und zum Lösen linearer Gleichungssysteme mit Hilfe
MehrVektoren. Kapitel 3. 3.1 Skalare, Vektoren, Tensoren. 3.2 Vektoren
Kapitel 3 Vektoren 31 Skalare, Vektoren, Tensoren Viele physikalische Größen lassen sich bei bekannter Maßeinheit durch Angabe ihres Betrages als reelle Zahl vollständig angeben Solche Größen nennt man
Mehr6. Analytische Geometrie : Geraden in der Ebene
M 6. Analtische Geometrie : Geraden in der Ebene 6.. Vektorielle Geradengleichung Eine Gerade ist durch einen Punkt A und einen Richtungsvektor r eindeutig bestimmt. Durch die Einführung eines Parameters
MehrMathematik Analytische Geometrie
Mathematik Analytische Geometrie Grundlagen:. Das -Dimensionale kartesische Koordinatensystem: x x x. Vektoren und Ortsvektoren: a x = x x ist ein Vektor, der eine Verschiebung um x -Einheiten in x-richtung,
MehrMathematische Probleme, SS 2016 Freitag $Id: convex.tex,v /05/13 14:42:55 hk Exp $
$Id: convex.tex,v.28 206/05/3 4:42:55 hk Exp $ 3 Konvexgeometrie 3. Konvexe Polyeder In der letzten Sitzung haben wir begonnen uns mit konvexen Polyedern zu befassen, diese sind die Verallgemeinerung der
MehrÜbersicht Kapitel 9. Vektorräume
Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Übersicht Kapitel 9 Vektorräume 9.1 Definition und Geometrie von Vektoren 9.2 Teilräume 9.3 Linearkombinationen und Erzeugendensysteme 9.4 Lineare Abhängigkeiten
MehrSchulmathematik Geometrie und Vektorrechnung Blatt 1
Hans HUMENBERGER WS 05/6 Blatt Aufg.. a) Finden Sie eine Aufgabe aus einem Schulbuch der 5. Klasse, in der es um das Aufstellen, Interpretieren, Berechnen von Vektortermen (Addition, Subtraktion, Multiplikation
MehrTutorium: Diskrete Mathematik. Vektoren
Tutorium: Diskrete Mathematik Vektoren Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 Definition I Im allgemeinen Sinn versteht man in der linearen Algebra unter einem Vektor ein Element
MehrKurzskript zur Vorlesung Mathematik I für MB, WI/MB und andere Prof. Dr. Ulrich Reif
14 Oktober 2008 1 Kurzskript zur Vorlesung Mathematik I für MB, WI/MB und andere Prof Dr Ulrich Reif Inhalt: 1 Vektorrechnung 2 Lineare Gleichungssysteme 3 Matrizenrechnung 4 Lineare Abbildungen 5 Eigenwerte
MehrGundlagen Klasse 5/6 Geometrie. nach oben. Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis Grundbegriffe der Geometrie Geometrische Abbildungen Das Koordinatensystem Schnittpunkt von Geraden Symmetrien Orthogonale Geraden Abstände Parallele Geraden Vierecke Diagonalen in Vielecken
MehrTutorium: Diskrete Mathematik
Tutorium: Diskrete Mathematik Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 Definition I Im allgemeinen Sinn versteht man in der linearen Algebra unter einem Vektor ein Element eines Vektorraums,
MehrKOMPLEXE ZAHLEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
KOMPLEXE ZHLEN UND LINERE GLEICHUNGSSYSTEME Vektoren Definition: Parallelverschiebung, Pfeil(e) mit Länge und Richtung. Darstellung Eigenschaften Komponenten Graphisch Länge, Betrag Zwischenwinkel Vektorarten
MehrBilde die Quersumme! Wie heißen die Nachbarzehner? Wie heißen Nachbarhunderter? Wie heißen Nachbartausender?
Arbeit mit der gelegten Zahl Bilde die Quersumme! Wie heißen die Nachbarzehner? Wie heißen Nachbarhunderter? Wie heißen Nachbartausender? Wie heißen Nachbarzehntausender? Wie heißen die Nachbarzahlen?
MehrGW Mathematik 5. Klasse
Begriffe zur Gliederung von Termen Term Rechenart a heißt b heißt a + b (Summe) Addition 1. Summand 2. Summand a b (Differenz) Subtraktion Minuend Subtrahend a b ( Produkt) Multiplikation 1. Faktor 2.
MehrMathematik für Chemische Technologie 2
Mathematik für Chemische Technologie 2 Themenüberblick: Funktionen mehrerer unabhängigen Veränderlichen Vektoralgebra Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Fehlerrechnung Schwerpunkt des Sommersemesters
Mehr2.2. Skalarprodukt. Geschwindigkeitsvektoren ergeben sich bei allen Bewegungen. Sie zeigen jeweils in Richtung der Bahnkurve.
.. Skalarprodukt Kraftvektoren treten bei vielen physikalisch-technischen Problemen auf; sie greifen an einem Punkt in verschiedenen Richtungen an. Die bekannte Formel Arbeit = Kraft mal Weg muß man dann
MehrZusammenfassung der Analytischen Geometrie
Zusammenfassung der Analytischen Geometrie 1. Rechnen mit Vektoren (Addition, Subtraktion, S-Multiplikation, Linearkombinationen) 1. Gegeben sind die Punkte A(2-6 ) und B(-1 14-4), 4 4 sowie die Vektoren
MehrVektoralgebra: Grundbegriffe
Vektoralgebra: Grundbegriffe 1-E1 1-E2 Inhalt Skalar: Definition, Beispiele. Richtung. Vektoren als gerichtete Größen. Physikalische Vektorgrößen, Beispiele. 1-E3 Skalare Ein Skalar ist eine mathematische
MehrWiederholung und Zusammenfassung: Vektoranalysis
Wiederholung und Zusammenfassung: Vektoranalysis Wenn wir z.b. ein Objekt in unserer Umgebung (Raum eigentlich Raumzeit) beschreiben wollen, können wir mehrere Informationen zusammenfassen. Ein Freund
MehrKOMPETENZHEFT ZUR VEKTORRECHNUNG IM RAUM. = 1 eingeschlossenen Winkel.
Mathematik macht Freunde KOMPETENZHEFT ZUR VEKTORRECHNUNG IM RAUM 1. Aufgabenstellungen Aufgabe 1.1. Eine Flugdrohne fliegt vom Punkt A = 4 0 geradlinig zum Punkt B = 1 8. Berechne ihre Position P, nachdem
MehrÜbungsblatt
Übungsblatt 6..7 ) Zeigen Sie die Gültigkeit der folgenden Sätze durch Verwendung abstrakter Vektoren (ohne Bezug auf konkrete Komponenten), deren Addition bzw. Subtraktion und Multiplikation mit Skalaren:
MehrGrundrechnungsarten mit Dezimalzahlen
Grundrechnungsarten mit Dezimalzahlen Vorrangregeln Die Rechnungsarten zweiter Stufe haben Vorrang vor den Rechnungsarten erster Stufe. Man sagt: "Punktrechnung geht vor Strichrechnung" Treten in einer
MehrNatürliche Zahlen und. Zahlenstrahl
M 5.1 Natürliche Zahlen und Zahlenstrahl Die Zahlen 1, 2, 3, 4, nennt man natürliche Zahlen: 1; 2; 3; 4; Nimmt man auch die 0 hinzu, schreibt man: 0; 1; 2; 3; 4; Zahlenstrahl Je weiter rechts eine Zahl
MehrAlgebraische Eigenschaften des Skalarprodukts
Voyage TM 00/ TI-89 Titanium Analytische Geometrie Vektorrechnung Name des KB: Algebraische Eigenschaften des Skalarprodukts Wir wissen: Das Rechnen mit Zahlen beruht auf bestimmten Rechengesetzen. Gesetze
Mehr4 Vektoren. 4.0 Wiederholung und Vorschau. 4.1 Vektoren und Koordinaten. 70 4Vektoren
70 4Vektoren 4 Vektoren 4.0 Wiederholung und Vorschau Aus dem vorigen Schuljahr wissen wir, dass wir Pfeile durch geordnete Zahlenpaare darstellen können. Möchten wir die Koordinaten des Pfeils von A(3
Mehr2. Zahlenmenge, Aufbau des Zahlensystems 2.1 Natürliche Zahlen N Die natürlichen Zahlen bilden eine Menge: N = {1, 2, 3, 4,... }. N ist abgeschlossen
2. Zahlenmenge, Aufbau des Zahlensystems 2.1 Natürliche Zahlen N Die natürlichen Zahlen bilden eine Menge: N = {1, 2, 3, 4,... }. N ist abgeschlossen bezüglich der Addition und Multiplikation: a, b N mit
MehrGeometrie. 1 Vektorielle analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte
Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 206. Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes, Anwendungen in der Geometrie,
MehrBC 1.2 Mathematik WS 2016/17. BC 1.2 Mathematik Zusammenfassung Kapitel II: Vektoralgebra und lineare Algebra. b 2
Zusammenfassung Kapitel II: Vektoralgebra und lineare Algebra 1 Vektoralgebra 1 Der dreidimensionale Vektorraum R 3 ist die Gesamtheit aller geordneten Tripel (x 1, x 2, x 3 ) reeller Zahlen Jedes geordnete
MehrLänge eines Vektors und Abstand von zwei Punkten 2. 4 = 6. Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren
Länge eines Vektors und Abstand von zwei Punkten Aufgabe Bestimme die Länge des Vektors x. Die Länge beträgt: x ( ) =. Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren Aufgabe Es sind die Eckpunkte A(; ), B(
Mehrmentor Lernhilfe: Mathematik 7. Klasse Baumann
mentor Lernhilfen mentor Lernhilfe: Mathematik 7. Klasse Geometrie: Achsen- und Punktspiegelung, Drehung, Verschiebung, Winkelgesetze von Rolf Baumann 1. Auflage mentor Lernhilfe: Mathematik 7. Klasse
MehrNatürliche Zahlen, besondere Zahlenmengen
Natürliche Zahlen, besondere Zahlenmengen A5_01 Menge der natürlichen Zahlen N = {1, 2, 3,...} Menge der natürlichen Zahlen mit der Null N 0 = {0, 1, 2,...} Primzahlen: Eine Primzahl hat genau zwei Teiler,
MehrGleiche Vorgehensweise wie beim Einheitsvektor in der Ebene (also wie bei 2D).Beispiel:
VEKTOREN Vektoren im Raum (3D) Länge/Betrag eines räumlichen Vektors Um die Länge eines räumlichen Vektors zu bestimmen, berechnen wir dessen Betrag. Auch hier rechnet man genauso wie bei einem zweidimensionalen
MehrNatürliche Zahlen und. Zahlenstrahl
M 5.1 Die Zahlen Nimmt man auch die Natürliche Zahlen und Zahlenstrahl nennt man natürliche Zahlen: hinzu, schreibt man: Zahlenstrahl Je weiter rechts eine Zahl auf dem Zahlenstrahl liegt, desto größer
MehrVektoren. Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen. Vektoren. Stefan Keppeler. 21. November 2007.
Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen Vektoren 21. November 2007 Vektoren Vektoren werden zur Darstellung gerichteter Größen verwendet. Man stelle sich also einen Pfeil in eine
MehrH. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für die optimale Vorbereitung in Analysis, Geometrie und Stochastik mit verständlichen Lösungen
H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Übungsbuch für die optimale Vorbereitung in Analysis, Geometrie und Stochastik mit verständlichen Lösungen Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Analysis Von der
Mehr