KOMPETENZHEFT ZUR VEKTORRECHNUNG IM RAUM. = 1 eingeschlossenen Winkel.

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1 Mathematik macht Freunde KOMPETENZHEFT ZUR VEKTORRECHNUNG IM RAUM 1. Aufgabenstellungen Aufgabe 1.1. Eine Flugdrohne fliegt vom Punkt A = 4 0 geradlinig zum Punkt B = 1 8. Berechne ihre Position P, nachdem sie 60% der Flugstrecke zurückgelegt hat. Aufgabe 1.. Berechne den von v = 5 und w = 1 eingeschlossenen Winkel. 1 7 Aufgabe 1.. Gegeben sind die Vektoren v = 1 und w 5 =. 4 Berechne das Vektorprodukt v w und überprüfe, dass es normal auf v und w steht. Aufgabe 1.4. Bestimme eine Gleichung a x + b y + c z = d jener Ebene, die von den Vektoren v = und w 6 = 8 aufgespannt wird und den Punkt 0 7 P = 0 4 enthält. Aufgabe 1.5. Gibt es eine Zahl x, sodass die Punkte A = x 1, B = 1 4 und C = 7 4 auf einer Gerade liegen? Begründe deine Antwort. Aufgabe 1.6. Die dargestellte Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit Eckpunkten A = 1 1, B = 1 1, C = und D. Einheiten in cm Die Höhe der Pyramide beträgt h = 7 cm. a Berechne die Koordinaten des Eckpunkts D. b Die Pyramide besteht aus Kupfer mit der Dichte ρ = 890 kg/m. Berechne die Masse der Pyramide in g. Datum: 5. Juli

2 Mathematik macht Freunde Aufgabe 1.7. Zwei Flugzeuge fliegen mit konstanter Geschwindigkeit auf geradlinigem Kurs. Das erste Flugzeug befindet sich zum Zeitpunkt t 0 = 0 s im Ursprung des gewählten Koordinatensystems, zum Zeitpunkt t 1 = s ist es in P = Das zweite Flugzeug befindet sich zum Zeitpunkt t 0 = 0 s in Q = und zum Zeitpunkt t 1 = s in R = 4 1. Für alle Koordinatenangaben gilt: 1 Einheit entspricht 10 m. a Stellen Sie die beiden Geradengleichungen auf, die die jeweiligen Positionen der Flugzeuge in Abhängigkeit von der Zeit t beschreiben. Zeigen Sie, dass sich die beiden Flugzeuge nicht auf Kollisionskurs befinden. b Berechnen Sie, mit welcher Geschwindigkeit in km/h das erste Flugzeug fliegt. Erklären Sie, was man über die Modellierung der Geschwindigkeit und der Richtung eines Flugzeugs sagen kann, wenn der Geschwindigkeitsvektor v des Flugzeugs mit einer reellen Zahl k 0, k < 1 multipliziert wird. Aufgabe 1.8. Die Spitze eines Roboterarms bewegt sich geradlinig vom Punkt C = 1 zum Punkt D = 5. Dort ändert sich die Bewegungsrichtung geringfügig und die Spitze bewegt sich geradlinig zum Punkt E = Berechnen Sie den Winkel, um den die Bewegungsrichtung geändert wurde. Aufgabe 1.9. In der US-amerikanischen Weltraumstation Skylab wurde in den 1970er- Jahren eine Reihe von naturwissenschaftlichen Experimenten durchgeführt. Für Experimente zur Lagebestimmung von Raumflugkörpern im Weltraum wurde ein Gyroskop Kreisel, siehe Abbildung verwendet. Wird durch eine äußere Kraft F die Drehachse des Kreisels um den Vektor r vom Drehpunkt zum Angriffspunkt der Kraft gekippt, resultiert daraus ein Drehmoment M. Berechnen Sie den Betrag des Drehmoments M = r F, wenn F = 5,5 N und 4 r = 8 m ist. 5 0 Zeigen Sie, dass folgender Zusammenhang nicht gilt: r F = F r. Erklären Sie, warum man bei der Berechnung des Betrags des Drehmoments auch mit F r das richtige Ergebnis erhält. Aufgabe Ein Betrieb produziert und verkauft die Produkte P 1,..., P 5. In der vorangegangenen Woche wurden x i Stück des Produktes P i produziert und y i Stück davon verkauft. Das Produkt P i wird zu einem Stückpreis v i verkauft, k i sind die Herstellungskosten pro Stück P i.

3 Mathematik macht Freunde Die Vektoren X, Y, V und K sind folgendermaßen festgelegt: X = x 1 x x x 4 x 5, Y = y 1 y y y 4 y 5, V = v 1 v v v 4 v 5, K = Interpretieren Sie, welche Bedeutung der Ausdruck Y V für den Betrieb hat. k 1 k k k 4 k P = 8,8 0,4 4,8 1. ϕ = 98, v w = , = 0, = x 14 y + z = Ja, für x = 4 liegen die Punkte auf einer Gerade: #» AB = #» 8 = BC a D = b m = 50,... g 1.7 a g 1 : X = t g : X = t 9 9 Das folgende lineare Gleichungssystem hat keine Lösung: b 144,99... km/h I : 7 t = 1 + t = t = 1/4 II : 4 t = 1 9 t = t = 1/5 III : 9 t = t Wenn 0 < k < 1 ist, dann wird die Geschwindigkeit mit dem Faktor k reduziert. Die Richtung und Orientierung bleiben unverändert. Wenn 1 < k < 0 ist, dann wird die Geschwindigkeit mit dem Faktor k reduziert. Das Flugzeug fliegt in die entgegengesetzte Richtung genauer: die Orientierung wird umgedreht. 1.8 a Zum Beispiel: b a n = a x ay + ay ax = 0. Da das Skalarprodukt 0 ist, muss n ein Normalvektor von a sein. c Die Bewegungsrichtung wurde um 8,05... verändert. 1.9 M = r F =, M = 57,41... Nm 6 F r = = r F Die Vektoren F r und r F unterscheiden sich allgemein nur durch ihre Orientierung Vorzeichen umgekehrt. Die Länge der Betrag ist aber gleich Der Term Y V = y 1 v1 + y v + + y5 v5 beschreibt die Einnahmen durch den Verkauf der vorangegangenen Woche.

4 Mathematik macht Freunde. R Mit Vektoren in der Ebene kannst du die Bewegung eines ferngesteuerten Autos beschreiben. Eine Flugdrohne soll aber zum Beispiel auch den Boden verlassen können. Zur Beschreibung solcher Bewegungen im Raum erweitern wir Vektoren um eine dritte Komponente. Höherdimensionale Vektoren Ein dreidimensionaler Vektor ist ein Zahlentripel v = v 1 v v. Wie wohl ein fünfdimensionaler Vektor aussieht? Vektorrechnen Mit höherdimensionalen Vektoren rechnen wir genauso wie mit Vektoren in der Ebene: Addition zweier Vektoren: v + w v1 w1 v1 +w 1 = v v + w w = v +w v +w Vielfaches eines Vektors: r v = r v 1 r v1 v v = r v Gegenvektor eines Vektors: v = v 1 v v r v Subtraktion zweier Vektoren: v w = v + w v1 w 1 = v w v w Nullvektor Der Vektor 0 00 heißt auch Nullvektor. Erkläre, warum das Ergebnis von v v der Nullvektor ist. Rechenregeln für Vektoren Für alle Vektoren u, v, w und reelle Zahlen r, s gilt: Klammern- vor Punkt- vor Strichrechnung. 1 u + v + w = u + v + w u + v = v + u v = v 4 r s u = r s u 5 r + s u = r u + s u 6 r u + v = r u + r v 7 1 v = v 8 0 v = 0 00 Aufgabe.1. Such dir selbst Vektoren u, v, w und r, s reelle Zahlen aus und überprüfe diese Rechenregeln. Mach es dir nicht zu einfach. 4

5 Mathematik macht Freunde Beispiel.. Du erkennst sicher einige der Rechenregeln vom Rechnen mit Zahlen wieder. Tatsächlich können wir mit den Rechenregeln für Zahlen auch die entsprechenden Regeln für Vektoren erklären. Zum Beispiel stimmt für Vektoren das Kommutativgesetz der Addition, weil u + u1 v1 u1 +v 1 v1 +u 1 v1 u1 v = u u + v v = u +v = v +u = v u +v v +u v + u u = v + u. Beschreibe die oben genannten Rechenregeln in eigenen Worten. Die erste Rechenregel u + v + w = u + v + w könnte man so beschreiben: Es werden drei Vektoren u, v und w addiert. Links rechne ich zuerst u + v. Zum Ergebnis addiere ich dann den Vektor w. Rechts rechne ich zuerst v + w. Das Ergebnis addiere ich dann zum Vektor u. Es kommt immer dasselbe heraus. Wir können dreidimensionale Vektoren als Verschiebungspfeil im Raum darstellen. Beispiel.. Gib jenen Vektor an, der eine Flugdrohne vom Punkt A = 5 0 zum Punkt B = 4 4 bringt. Lösung. Um von A nach B zu kommen, müssen wir 1 die x-koordinate um verkleinern, die y-koordinate um 1 vergrößern und die z-koordinate um 4 vergrößern. Der gesuchte Vektor ist also AB #» =. 1 4 Spitze minus Schaft Regel Den Verschiebungsvektor mit Anfangspunkt A = a 1 a a und Endpunkt B = b 1 b b können wir wie in der Ebene mit der Spitze minus Schaft Regel berechnen: #» b1 a 1 AB = b a. b a 5

6 Mathematik macht Freunde Raumdiagonale eines Quaders Erkläre, weshalb die Eckpunkte A und B des Quaders = 14 Einheiten voneinander entfernt sind. Die Länge Betrag des dreidimensionalen Vektors v = v 1 v v beträgt v = v1 + v + v. Betrag eines Vektors Das Skalarprodukt zweier Vektoren v = v 1 v v und w w1 = w w ist v w = v 1 w1 v v w w = v1 w 1 + v w + v w. Skalarprodukt Rechenregeln des Skalarprodukts Für alle Vektoren a, b, c und jede reelle Zahl r gilt: 1 a = a a a b = b a r a b = r a b 4 a r b = r a b Klammern- vor Punkt- vor Strichrechnung. 5 a b + c = a b + a c 6 a + b c = a c + b c 7 a b c = a b a c 8 a b c = a c b c 6

7 Mathematik macht Freunde Cosinussatz Erkläre bei jedem der Umformungsschritte, welche der Rechenregeln verwendet wird: v w = v w v w = v w v v w w = v v w v v w + w w = v + w v w. Vom Cosinussatz wissen wir aber auch, dass v w = v + w v w cosϕ. Der von zwei Vektoren v und w eingeschlossene Winkel ϕ erfüllt daher v w cosϕ = v w. Was weißt du also über den Winkel ϕ, wenn v w = 0 ist? Welche Aussage kannst du machen, wenn v w > 0 bzw. Winkel zwischen zwei Vektoren v w < 0 ist? Beispiel.4. Berechne den von v = 1 und w = 4 eingeschlossenen Winkel. 4 Lösung. cosϕ = = = ϕ = arccos = 6,

8 Mathematik macht Freunde Normalprojektion Wir suchen jene Zahl r R, sodass die Vektoren r v, w r v und ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Für diese Zahl r gilt also v w r v = 0. w Rechne nach, dass v w r = v. Der Vektor r v ist dann genau die Normalprojektion von w auf v, abgekürzt: nor v w. Erkläre damit die Formel nor v w = v w v wobei v 0 = 1 v v der Einheitsvektor von v ist. Gleiche Richtung und Orientierung wie v, aber Länge 1. Du siehst, dass die Formeln für Winkel und Normalprojektion aus der Ebene genauso auch im Raum gelten. #» v 0, Wie auch in der Ebene können wir auch im Raum jede Gerade eindeutig durch einen Punkt und einen Richtungsvektor festlegen. Parameterdarstellung einer Gerade Der Punkt A = 0 und der Richtungsvektor v = 1 1 legen zum Beispiel die dargestellte Gerade fest: Ein Punkt X liegt genau dann auf der Gerade g, wenn es eine Zahl t R gibt, sodass 1 X = A + t v. Die Zahl t wird dann auch Parameter genannt, und 1 eine Parameterdarstellung der Gerade. Der Punkt P = 0 liegt zum Beispiel auf der dargestellten Gerade, weil A + v = = 0. 8

9 Mathematik macht Freunde Diesmal starten wir vom Punkt A = 0 0 und erlauben beliebige Bewegungen in Richtung der Vektoren u = 1 10 und v = 0. Parameterdarstellung einer Ebene Folgen wir zum Beispiel zweimal dem Vektor u, dann landen wir im Punkt A + u = 0 0. Bewegen wir uns stattdessen einmal in Richtung v, dann landen wir im Punkt A + 1 v = 0 0. Führen wir vom Punkt A ausgehend beide Bewegungen hintereinander durch, dann landen wir im Punkt A + u + 1 v =. Tatsächlich liegen alle Punkte, die du so erreichen kannst, auf einer gemeinsamen Ebene. Kannst du sie dir vorstellen? Zeichne oben ein, wie du den Punkt Q auf der Ebene erreichen kannst. Ein Punkt X liegt genau dann auf der Ebene, wenn es zwei Zahlen s, t R gibt, sodass X = A + s u + t v. Wie bei der Gerade nennen wir die Zahlen s und t Parameter, und eine Parameterdarstellung der Ebene. Normalvektoren Erinnere dich, dass in der Ebene die Vektoren v L = v v 1 und #» v R = v v 1 normal auf den Vektor v = v 1 v stehen. Es ist v v #» L = 0 und v v #» R = 0. Welche Vektoren stehen im Raum normal auf den Vektor v = v 1 v v? Nimm dir zwei Stifte. Mach aus einem Stift den Vektor v und zeige in eine bestimmte Richtung. Beschreibe, wie du den anderen Stift dazuhalten kannst, damit die Stifte einen rechten Winkel einschließen. 9

10 Mathematik macht Freunde Normalebene Der Punkt P = 4 0 und der Vektor n = sind gegeben. Wir suchen alle Punkte X = x y z, für die n normal auf den Verbindungsvektor #» P X = x 4 y steht. Nimm wieder zwei Stifte. z Alle Punkte X mit dieser Eigenschaft liegen auf der dargestellten Ebene. Die Gleichung der Ebene ist n #» P X = 0, also x 4 y z = 0 x 4 y + z = 0 x y + z = 6 Komponenten des Normalvektors n Die Ebene verläuft also zum Beispiel auch durch die Punkte 0 0, 0 0 und 0 0. Normalvektorform einer Ebene Die Lösungen X = x y z der Gleichung n P # X» = 0 n 0 0 sind genau die Punkte in jener Ebene, die durch den Punkt P verläuft, und die normal auf den Vektor n steht. Diese Darstellung der Ebene nennen wir daher auch Normalvektorform. Die Lösungen X = x y z der Gleichung a x + b y + c z = d sind genau die Punkte in jener Ebene, die normal auf den Vektor n = a bc steht und den Abstand d n vom Koordinatenursprung hat. Diese Darstellung der Ebene nennen wir auch Koordinatenform. Koordinatenform einer Ebene 10

11 Mathematik macht Freunde Vektorprodukt Das Vektorprodukt zweier Vektoren v und w ist der Vektor v w = v 1 w1 v w w v v v w w = v 1 w w 1 v. v 1 w w 1 v Sprechweise: v kreuz w, auch: Kreuzprodukt Beispiel.5. Gegeben sind die Vektoren v = 5 und w =. 1 Berechne das Vektorprodukt v w und überprüfe, dass es normal auf v und w steht. Lösung. v w 5 11 = = v w v = = = 0 19 v w w = = = 0 Linkssystem und Rechtssystem In der Grafik rechts sind die positive x, y und z-achse dargestellt. Welche ist die x-achse und welche ist die y-achse? Du umgreifst die z-achse mit der linken Hand und schraubst im Uhrzeigersinn. Damit drehst du die x-achse auf kürzestmöglichem Weg auf die vorherige Position der y-achse: Du umgreifst die z-achse mit der rechten Hand und schraubst gegen den Uhrzeigersinn. Damit drehst du die x-achse auf kürzestmöglichem Weg auf die vorherige Position der y-achse: Die positive x-, y- und z-achse bilden dann ein sogenanntes Linkssystem. Die positive x-, y- und z-achse bilden dann ein sogenanntes Rechtssystem. 11

12 Mathematik macht Freunde 1 Das Vektorprodukt v w steht normal auf die Vektoren v und w. Eigenschaften des Vektorprodukts Die Vektoren v, w und v w bilden ein Rechtssystem. Strecke den rechten Daumen in Richtung v w und schraube gegen den Uhrzeigersinn. Die Vektoren v und w spannen ein Parallelogramm mit Flächeninhalt v w auf. Diese Eigenschaften legen den Vektor v w eindeutig fest. Weitere Eigenschaften des Vektorprodukts Erkläre, warum diese drei Eigenschaften den Vektor v w eindeutig festlegen. Rechne nach, dass v w normal auf v steht, also v w v = v w w v v1 v 1 w w 1 v v v = 0. Rechne nach, dass v 1 w w 1 v v w = w v. Erkläre unter Verwendung von Eigenschaft, weshalb v w = v w sinϕ, wobei ϕ der von v und w eingeschlossene Winkel ist. Rechne nach, dass v v = 000 und r v w = r v w. Drei verschiedene Multiplikationen Wir müssen Vektorprodukt, Skalarprodukt, und Multiplikation mit einem Skalar gewissenhaft unterscheiden. Beim Skalarprodukt v w werden zwei Vektoren multipliziert. Das Ergebnis v 1 w 1 + v w + v w ist ein Skalar. Bei r v werden ein Skalar und ein Vektor multipliziert. Das Ergebnis r v 1 r v r v ist ein Vektor. Beim Vektorprodukt v w werden zwei Vektoren multipliziert. Das Ergebnis v w w v v 1 w w 1 v ist ein Vektor. v 1 w w 1 v 1

13 Mathematik macht Freunde Beispiel.6. Bestimme eine Gleichung a x + b y + c z = d jener Ebene, die von den Vektoren v = und w = 7 4 aufgespannt wird und den Punkt P = 0 1 enthält. Lösung. Wir suchen einen Normalvektor n = a bc der Ebene, also einen Vektor der auf v und w normal steht: n = v w = = Lösungsweg:. Lösungsweg: 14 x + 9 y 0 z = d. #» n P X = x P einsetzen: y = 0 0 z = d = d = 14 x y 0 z + 0 = 0 Eine Gleichung der Ebene ist somit 14 x + 9 y 0 z =. Drehmoment Du ziehst mit einem Schraubenschlüssel eine Schraubenmutter an. Die Drehwirkung hängt dann ab von 1 der ausgeübten Kraft F und M der Länge des Vektors r vom Bezugspunkt des Drehmoments zum Angriffspunkt der Kraft. Der Vektor des Drehmoments M #» steht normal auf r und F. Die Vektoren r, F und M bilden ein Rechtssystem. r Allgemein gilt dann #» M = r F. Das Drehmoment M #» gibt ein Maß für die Drehwirkung der Kraft an. F 1

14 Mathematik macht Freunde Der Betrag der von dir ausgeübten Kraft also F ist in allen drei Bildern gleich groß. Auf welche der drei Arten würdest du intuitiv die Schraube anziehen, um die größte Drehwirkung zu erreichen? Erkläre mathematisch, dass das Drehmoment #» M dann am größten ist, wenn ϕ = 90 ist. Hinweis: Wie groß ist der Flächeninhalt des Parallelogramms, das von r und F aufgespannt wird? Beispiel.7. Berechne den Betrag des Drehmoments in N m für F = 4 kn und 6 r = cm. Lösung. M = r F = 6 8 #» M = 4 = 6 kn cm = 7,4... kn cm = 74,... N m 14

15 Mathematik macht Freunde. Weitere Aufgabenstellungen Aufgabe.1. Drei zueinander nicht parallele Vektoren u, Parallelepiped auf. v und w spannen ein sogenanntes a Erkläre folgende Formel für das Volumen des Parallelepipeds: V = u v w b Berechne das Volumen des von u = 4, v = und w = 0 4 aufgespannten Parallelepipeds. Aufgabe.. Wir sehen uns die Länge des Vektorprodukts zweier Vektoren v = v 1 v v und w v1 = v genauer an: G v w u u v h v a Kontrolliere, indem du beide Seiten ausmultiplizierst und miteinander vergleichst, dass v w = v w v w. b Die beiden Vektoren v und w schließen den Winkel ϕ ein. Rechne nach, dass v w = v w sinϕ 0 < ϕ < 180 gilt. Die Länge des Vektorprodukts ist also tatsächlich gleich groß wie der Flächeninhalt des von v und w aufgespannten Parallelogramms. b V = 4.1 a V = G h = u v nor u v w = u v w Geometrische Interpretation des Skalarprodukts. a v w = v w w v v1 w w1 v v1 w w1 v = = v w v v w w + v w + v w 1 v 1 v w1 w + v 1 w + v 1 w v 1 v w1 w + v w 1 v w v w = v 1 + v + v w 1 + w + w v 1 w1 + v w + v w = = v 1 w + v 1 w + v w 1 + v w + v w 1 + v w v 1 v w1 w v1 v w1 w v v w w b v w = v w v w = v w 1 v w v w = v w 1 cos ϕ = v w sinϕ. Dieses Werk von Mathematik macht Freunde unterliegt einer CC BY-NC-ND 4.0 Lizenz.