2 Geometrie und Vektoren

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1 Geometrie und Vektoren Vorbemerkung: Begriffe wie die folgenden werden hier als bekannt vorausgesetzt: Punkt, Strecke, Strahl, Gerade, Ebene, Kreis, Winkel, rechter Winkel, etc..1 Grundlegende Sätze Satz 1 (Strahlensatz): Zwei von einem Punkt P ausgehende Strahlen s 1 und s schneiden sich mit einem Paar zweier paralleler Geraden a und b in den Punkten A 1 und A bzw. B 1 und B. Dann gilt für die Längen der auftretenden Strecken PA 1 PB 1 = PA PB = A 1A B 1 B. (5) Mit Hilfe des Strahlensatzes kann man die Breite eines Flusses durch Winkelmessung bestimmen, ohne den Fluß überqueren zu müssen. Wie geht das? Im Dreieck ABC bezeichnet α den Innenwinkel bei A, β den bei B und γ den bei C. Dagegen sind a,b bzw. c die den Ecken A,B bzw. C gegenüber liegenden Seiten. Satz (Winkelsumme im Dreieck): Die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks ABC beträgt 180, α+β +γ = 180. (6) Zum Beweis zeichne man durch den Eckpunkt C die Parallele zur Seite c = AB. Satz 3 (Pythagoras): Die Summe der Quadrate der Kathetenlängen a und b eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich dem Quadrat der Hypotenusenlänge, a +b = c. (7) Zum Beweis dieses Satzes zeichne man ein Quadrat mit Seitenlänge c. Jede seiner vier Seiten bildet die Hypotenuse eines außerhalb dieses Quadrats liegenden rechtwinkligen Dreiecks mit Katheten a und b, und zwar so, daß insgesamt ein größeres Quadrat mit Seitenlänge a + b entsteht. Dessen Inhalt, A = (a+b) = a +ab+b, (8) ist andererseits gleich c plus dem vierfachen Inhalt eines der vier Dreiecke, A = c +4 1 ab, q. e. d. (9) 6

2 Satz 4 (Thaleskreis): Der Thaleskreis geht um den Mittelpunkt M einer Strecke und durch deren Endpunkte A und B. Jedes Dreieck ABC, dessen dritter Punkt C auf dem Thaleskreis liegt, hat dort einen rechten Winkel. Zum Beweis beachte man, daß AMC und BMC zwei gleichschenklige Dreiecke sind: Sie haben bei C jeweils die Winkel α bzw. β des großen Dreicks ABC bei A bzw. bei B. ABC hat daher bei C den Winkel γ = α+β, und für seine Winkelsumme gilt woraus die Behauptung folgt, γ (α+β) = = α+β +(α+β), (30). Trigonometrie..1 Geometrische Definition der Winkelfunktionen Nach dem Strahlensatz hängen die drei Längenverhältnisse der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks (γ = 90 ) nicht von dessen absoluter Größe ab, sondern nur von den beiden anderen Winkeln α und β = 90 α. Diese Winkelfunktionen heißen Sinus, Cosinus und Tangens und werden definiert als Gegenkathete (von α) sinα := Hypotenuse cosα := Ankathete Hypotenuse b c, tanα := Gegenkathete Ankathete a c, a b. (31) Diese Definitionen gelten zunächst für 0 α 90. Dabei gilt offenbar cosα = sin(90 α), sin α+cos α = 1, tanα = sinα cosα. (3) Die Zahlenwerte können im allg. nur mit Taschenrechner berechnet werden. Bsp. 1: Ein Dachbalken ist L = 9 m lang, die Dachneigung beträgt α = 58. Welche Höhe H und welche Breite B hat das (symmetrische) Dach? Der Taschenrechner liefert den Wert sin58 = = H L. Daraus folgt cosα = 1 sin α = 0.58 = B/ L, also H = Lsinα = 7.64m, B = Lcosα = 9.50m. (33) Bsp. : Ein Turm erscheint in einer horizontalen Enfernung D = 6 m vom Boden aus unter dem Winkel α = 58. Wie hoch ist der Turm? Antwort: H = Dtan58 = 41.8 m. 7

3 Für gewisse Winkel α lassen sich die Werte der Winkelfunktionen aus geometrischen Überlegungen auf elementarem Wege berechnen. Trivialerweise gilt Weiter findet man etwa sin0 = tan0 = 0 = cos90, sin90 = 1 = cos0. (34) sin30 = cos60 = 1, sin45 = cos45 =, sin60 = cos30 = 3, (35) tan30 = 1 3, tan45 = 1, tan60 = 3. (36) Neben 30, 45 und 60 gibt es noch andere solche besonderen Winkel. In den Übungen wird als Beispiel gezeigt: sin18 = 1 4 ( 5 1)... Negative Werte der Winkelfunktionen UmsinφundcosφüberdasIntervall0 φ 90 (ihresargumentsφ)hinauszuverallgemeinern, führen wir in der Zeichenebene kartesische Koordinaten x und y ein und denken unseinenzeigerder Länge1, der sichumdenursprung x = y = 0dreht. φseider Winkel, um den dieser Zeiger im mathematisch positiven Sinn (also im Gegenuhrzeigersinn) gegen die positive x-achse gedreht ist, 0 φ < 360. Wir definieren dann cosφ := x, sinφ := y (0 φ < 360 ), (37) wobei x und y die kartesischen Koordinaten der Zeigerspitze sind, die auf dem Einheitskreis um den Ursprung läuft. Im Intervall 0 φ 90 stimmt diese neue Definition mit der alten überein, erweitert letztere also auf das Intervall 0 φ < 360. Damit können cosφ und sinφ auch negativ werden. Es folgen zwei Sätze für beliebige (also nicht unbedingt rechtwinklige) Dreiecke ABC. Nun kann einer der drei Winkel größer als 90 werden, 0 < α,β,γ < 180. Der Sinus bleibt also in jedem Fall positiv, doch cosφ wird für 90 < φ < 180 negativ. Satz 5 (Cosinussatz): c = a +b abcosγ. Dieser Satz verallgemeinert den Pythagoräischen Satz (γ = 90 ). In den Grenzfällen γ = 0 bzw. γ = 180 (also cosγ = ±1, c = a±b) enthält er die binomischen Formeln (a±b) = a ±ab+b. (38) Satz 6 (Sinussatz): Der Umkreisradius R des Dreiecks ABC ist gegeben durch 1 R = sinα a = sinβ b 8 = sinγ. (39) c

4 ..3 Eigenschaften der Winkelfunktionen Wir wollen Winkel von jetzt an meist nicht im Grad-, sondern im Bogenmaß angeben, φ Bog = φ Grad π, (40) 180 dies aber in der Notation nicht kennzeichnen, sin π = 1, sin π 4 = 1, sin π 6 = 1, etc. Statt sinφ schreibt man dann häufig sinx. Satz 7 (Additionstheoreme): cos(x±y) = cosxcosy sinxsiny, sin(x±y) = sinxcosy ±cosxsiny. (41) Es gibt auch Formelnfür sinx+siny, sin(x), sin(x/), sin x := (sinx), die entsprechenden Formeln für cos, und viele andere mehr. 9

5 .3 Analytische Geometrie.3.1 Die Mengen R und R 3 R = R R bezeichnet die Menge aller -Tupel ( ) x1 x x aus je zwei beliebigen reellen Zahlen x 1 und x. Entsprechend sind die Elemente von R 3 = R R R die 3-Tupel x 1 x x. (43) x 3 Dies läßt sich natürlich als R n für beliebiges n N + verallgemeinern. Wir beschränken uns auf die wichtigen Fälle n = und n = 3. Die Elemente von R n heißen n-tupel oder auch n-dimensionale (Spalten-) Vektoren. (4).3. Rechenoperationen in R n In R n wird eine Vektoraddition erklärt durch a 1 b 1 a 1 +b 1 a+b + :=. a n +b n. a n. b n Zwei Beispiele mögen dies illustrieren, ( 9 ) + ( 6 ) = ( 7 8 ), (n =,3). (44) 3 6 = 7 4. (45) Die skalare Multiplikation eines Vektors a R n mit einer Zahl λ R wird erklärt durch a 1 λa 1 λa λ. :=.. (46) a n λa n Zwei Beispiele mögen dies illustrieren, ) ) =, ( 9 5 ( = (47) 10

6 .3.3 Geometrische Deutung Man kann die -Tupel a, b,... des R als kartesische Koordinaten von Punkten A, B,... in der Ebene deuten. Dazu zeichnet man einen beliebigen Punkt O in der Ebene als Ursprung aus und wählt zwei von O ausgehende, zueinander senkrecht stehende Strahlen x und y als Koordinatenachsen. Entsprechendes gilt für die 3-Tupel des R 3 mit einem räumlichen Ursprung O und drei paarweise senkrechten Koordinatenachsen x, y und z. In einer alternativen Interpretation ist a der Ortsvektor des Punkts A, der durch den Verbindungspfeil von O nach A repräsentiert wird. (Derselbe Vektor wird durch jeden anderen Pfeil gleicher Länge und gleicher Richtung repräsentiert.) Mit a a 1. a n (48) ist die Länge dieses Vektors nach Pythagoras gegeben durch a := a 1 +a (n = ), a := a 1 +a +a 3 (n = 3). (49) Im Fall n = 3 haben wir hier den Pythagoras zweimal nacheinander angewandt. Die Vektoraddition a + b = c läßt sich so illustrieren: Man verschiebe das Hinterende des Ortspfeils b von B (ohne seine Richtung zu ändern) an die Spitze des Ortspfeils a von A. Dann kommt die Spitze von b an einem Punkt C zu liegen, dessen Ortsvektor gerade durch c = a + b gegeben ist. Man kann auch, mit demselben Resultat, den Ortspfeil a von A an die Spitze von b verschieben ( Vektorparallelogramm ). Bei der skalaren Multiplikation des Vektors a mit der positiven Zahl λ R + verlängert sich der Vektor um den Faktor λ. Im Fall λ < 1 handelt es sich um eine Verkürzung. Ist dagegen λ R, so wird zusätzlich die Richtung des Vektors umgekehrt. Bsp.: Wir können geometrische Fragen nun durch Rechnung beantworten ( analytische Geometrie ). Als Beispiel sei ein Dreieck ABC gegeben. M sei der Mittelpunkt der Strecke AB. Gesucht ist die Länge l der Strecke CM. Sei m der Ortsvektor von M, m = 1 (a+b). (50) Dann gilt für den Vektor x, der durch den Pfeil von M nach C repräsentiert wird, m+x = c x = c m = c 1 (a+b). (51) Die gesuchte Länge ist dann l = x. 11

7 .3.4 Vektorräume Die Menge R n, zusammen mit der Vektoraddition + und der skalaren Multiplikation mit einer reellen Zahl, bildet einen Vektorraum über dem Körper (R, +, ), denn: (V1) (R n,+), mit der Vektoraddition +, ist eine abelsche Gruppe und (V) (R n,+, ), mit der skalaren Multiplikation, genügt den Axiomen λ (a+b) = λa+λb, (λ+µ) a = λ a+µ a, (λµ) a = λ(µ a), 1 a = a. (5) Man beachte, daß die Symbole + und hier mit jeweils zwei verschiedenen Bedeutungen verwendet werden!.3.5 Lineare Unabhängigkeit Ein Satz von k Vektoren a 1,...,a k heißt linear unabhängig, wenn diese den Nullvektor nur auf triviale Weise als Linearkombination darstellen können, d.h.: wenn aus λ 1 a λ k a k = 0 (53) folgt, daß die rellen Zahlen λ 1,...,λ k allesamt gleich null sein müssen, λ 1 = 0,...,λ k = 0. (54) Bsp.: In R ist der Satz S 1 linear unabhängig, S dagegen nicht, {( ) ( )} {( ) ( )} S 1 =,, S 1 =,. (55) 6 Bem.: Ein linear unabhängiger Satz B = {a 1,...,a n } aus n Vektoren a k R n bildet eine Basis des R n. D.h.: Jeder Vektor x R n besitzt eine eindeutige Darstellung als Linearkombination der a k, x = λ 1 a λ k a k, (56) mit durch x eindeutig festgelegten Koeffizienten λ 1,...,λ n. Im Fall des Nullvektors x = 0 sind diese natürlich λ 1 =... = λ n = 0. Bsp.: Wir stellen einen beliebig vorgegebenen Vektor x R durch die Basis S 1 dar, ( ) ( ) ( ) ( ) 5 1 λ1 +λ x = λ 6 1 +λ. (57) λ 1 +λ Dieses Gleichungssystem hat die eindeutige Lösung λ 1 = 1, λ =. 1

8 .3.6 Skalarprodukt und Vektorprodukt Def.: Das Skalarprodukt zweier Vektoren a,b R n ist die reelle Zahl wobei γ der von beiden Vektoren eingeschlossene Winkel ist. a b := a b cosγ, (58) Man beachte, daß dies mittlerweile eine dritte Bedeutung des Symbols ist! Bem.: Falls a 0 b, so gilt genau dann a b = 0, wenn a und b zueinander orthogonal sind, a b (γ = 90 ). Ferner gilt a b > 0, wenn γ < 90, und a b < 0, wenn γ > 90. Satz: In kartesischen Koordinaten berechnet sich das Skalarprodukt gemäß a b a 1. a n b 1. b n = a 1 b a n b n. (59) Bsp.: Wir berechnen den Winkel γ zwischen zwei Vektoren a,b R, ( ) ( ) 3 8 a b = 4+4 = 48 a b cosγ. (60) 4 6 Mit a = 3 +4 = 5 und b = 8 +6 = 10 folgt also cosγ a b a b = = 0.96 γ = (61) Mit Gl. (59) sieht man direkt, daß allgemein gilt a b = b a, (λa) b = λ(a b) = a (λb), a (b+c) = a b+a c. (6) Wenn wir schreiben a a a =: a, so folgen hieraus die binomischen Formeln (a±b) = a ±a b+b a + b ± a b cosγ. (63) Dies ist nichts anderes als der Cosinussatz. Warum? 13

9 Def.: Das Vektorprodukt zweier Vektoren a,b R 3 ist der Vektor a b := a b sinγe. (64) Hier ist γ wider der von beiden Vektoren eingeschlossene Winkel, und e ist jener Einheitsvektor, der auf der von a und b aufgespannten Ebene senkrecht steht, und zwar so, daß a, b und e in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden. Bem.: Fallsa 0 b, sogiltgenaudanna b = 0, wennaundbzueinander palallel sind, a b (γ = 0,180 ). Der Betrag a b ist gleich dem Inhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms. Satz: In kartesischen Koordinaten berechnet sich das Vektorprodukt gemäß a 1 a b a = a 3 b 1 b b 3 a b 3 a 3 b a 3 b 1 a 1 b 3 a 1 b a b 1. (65) 14

10 .3.7 Gleichungen von Geraden und Ebenen Seien a,b R n. Dann durchläuft der Punkt mit dem Ortsvektor x = a+λb x(λ) (66) eine Gerade im Raum, wenn der Parameter λ die Menge R durchläuft. Dabei ist a der Ortsvektor eines Punktes auf der Gerade, die parallel zum Vektor b verläuft. Seien a,b,c R 3 und b und c nicht parallel. Dann durchläuft der Punkt x = a+λb+µc x(λ,µ) (67) eine Ebene im Raum, wenn die Parameter λ und µ unabhängig voneinander jeweils die Menge R aller reellen Zahlen durchlaufen. Dabei ist a der Ortsvektor eines Punktes in der Ebene, die parallel zu der von b und c aufgespannten Ebene ist. Gln. (66) bzw. (67) heißen die Parameterdarstellungen von Gerade bzw. Ebene. Alternativen dazu sind die (Normalen-) Gleichungen von Gerade bzw. Ebene: Eine Gerade g im R ist festgelegt durch einen Punkt a auf ihr und durch einen Normalenvektor n orthogonal zu ihr. Ist nämlich x ein beliebiger Punkt auf g, so gilt ( ) ( ) x1 n1 (x a) n = 0 x n+c +c = 0, (68) mit c = a n. Ausmultiplizieren des Skalarprodukts liefert die Geradengleichung x n 1 x 1 +n x +c = 0. (69) n Eine Ebene E im R 3 ist festgelegt durch einen Punkt a auf ihr und durch einen Normalenvektor n orthogonal zu ihr. Ist nämlich x ein beliebiger Punkt auf E, so gilt x 1 n 1 (x a) n = 0 x n+c x n +c = 0, (70) x 3 n 3 mit c = a n. Ausmultiplizieren des Skalarprodukts liefert die Ebenengleichung n 1 x 1 +n x +n 3 x 3 +c = 0. (71) 15