Trigonometrie. 3. Kapitel aus meinem Lehrgang Geometrie. Ronald Balestra CH St. Peter

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1 Trigonometrie 3. Kapitel aus meinem Lehrgang Geometrie Ronald Balestra CH St. Peter August 2008

2 Inhaltsverzeichnis 3 Trigonometrie Warum Trigonometrie Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck Trigonometrie am Einheitskreis Das Bogenmass & die Graphen der trigonometrischen Funktionen Astrometrie - ein WebQuest Längen- & Winkelmessgeräte Die alten Griechen Kepler & seine Gesetze Sinus- und Cosinussatz Der Venustransit Radioastronomie Trigonometrie im beliebigen Dreieck Der Cosinussatz Der Sinussatz Eindeutigkeit der Lösungen bei der Anwendung des Sinusund Cosinussatzes Additionstheoreme I

3 3 Trigonometrie 3.1 Warum Trigonometrie In der Trigonometrie (von griechisch trigonon - Dreieck und métron - Mass) werden wir uns mit der Berechnung von Seiten und Winkeln in einem Dreieck befassen. Im Falle eines rechtwinkligen Dreiecks lassen sich mit Hilfe des Satzes von Pythagoras schon einige Aufgaben exakt lösen: Beispiel In einem rechtwinkligen Dreieck ABC sind die Länge der Hypotenuse c = 6 und die Länge einer Kathete b = 3, 7 bekannt. Konstruiere das Dreieck ABC und berechne die Länge der zweiten Kathete und die Höhe des Dreiecks ABC. Doch schon für die Bestimmung der Winkelöffnungen sind wir auf wenig genaue Hilfsmittel angewiesen: 46

4 Durch das Konstruieren mit Zirkel und Lineal und dem Bestimmen der Winkelöffnung mit Hilfe des Geodreiecks schleichen sich Fehler ein, die wir später durch die Anwendung trigonometrischer Berechnungsmethoden werden verhindern können. Zu dem sind wir bei unseren bisherigen Berechnungen, um den Satz des Pythagoras überhaupt anwenden zu können, auf die Existenz eines rechten Winkel angewiesen und auch auf die Angabe der richtigen Dreiecksteile: Beispiel In einem rechtwinkligen Dreieck ABC sind die Länge der Kathete a = 5, 5 und die Öffnung des Winkels α = 63 0 bekannt. Konstruiere das Dreieck ABC und berechne die Längen der übrigen Seiten und die Grösse des fehlenden Winkels. Mit Hilfe der trigonometrischen Beziehungen werden wir später auch diese Aufgabe (und ähnliche) exakt lösen können. 47

5 3.2 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck Wir beginnen mit den trigonometrischen Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck und untersuchen dazu die folgenden Dreiecke auf Gemeinsamkeiten: Was haben die folgenden Dreiecke gemeinsam? 48

6 Wir fassen zusammen: Def.: In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit den üblichen Bezeichnungen werden die trigonometrischen Funktionen wie folgt definiert: sin α := cos α := tan α := Bem.: sin β := cos β := tan β :=... und wir können schon die ersten Beziehungen zwischen sin und cos (in einem rewchtwinkligen Dreieck) formulieren: 49

7 Aufgaben : Bestimme mit dem Taschenrechner die folgenden Werte: 1. den Sinus von 13 0, 76, 5 0, 658, 9 0, 2. den Cosinus von 77 0, 43, 9 0, 54 0, 3. den Tangens von 2 0, 37, 88 0, 4. den Winkel mit dem zugehörigen Sinuswert 0, 8, 0, 2, 0, 6, 5. den Winkel mit dem zugehörigen Cosinuswert 0, 8, 0, 2, 2, 1, 6. den Winkel mit dem zugehörigen Tangenswert 0, 8, 0, 2, 2, 1. Bestimme die folgenden Werte exakt und verifiziere deine Resultate mit dem TR: α sin cos tan

8 Standardaufgaben : Für die folgenden Aufgaben arbeiten wir wieder in einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit den üblichen Bezeichnungen: 1. Geg: c = 56, 4 α = 38, 5 0 Ges.: a, b 2. Geg: a = 148, 2 β = 38, 5 0 Ges.: b, c 3. Geg: a = 10, 74 b = 6, 48 Ges.: α, c, β 51

9 3.3 Trigonometrie am Einheitskreis In diesem Abschnitt werden wir den Einheitskreis einführen und an ihm die trigonometrischen Beziehungen neu definieren. Wir werden ihn als praktisches Hilfsmittel kennenlernen und festellen,... dass die bisherigen Definitionen (im rechtwinkligen Dreieck) weiterhin Gültigkeit haben, dass wir die trigonometrischen Funktionen nicht nur auf Winkel zwischen 0 0 und 90 0 anwenden können und dass es einige interessante Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen gibt. Der Einheitskreis: Def.: cos ϕ := x-koordinate von P sin ϕ := y-koordinate von P tan ϕ := Quotient der y- & der x-koordinate von P Veranschaulichung: 52

10 Verwende zur Lösung der folgenden Aufgaben den Einheitskreis: Aufgaben : 1. Bestimme die folgenden Werte: ϕ sin cos tan Beweise: sin 2 ϕ + cos 2 ϕ = 1 3. Beweise: sin ϕ = cos(90 0 ϕ) 4. Beweise: cos ϕ = sin(90 0 ϕ) Als einen weiteren Zusammenhang wollen wir festhalten: tan ϕ = sin ϕ cos ϕ 53

11 Mit Hilfe des Einheitskreises lassen sich viele Beziehungen und Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen erkennen: Für welche Winkel ist der sin-wert negativ? Für welche Winkel ist der cos-wert > 0, 5? Für welche Winkel ist der tan-wert positiv? 54

12 Für welche Winkel erhalten wir den selben sin-wert? und aus dem Verhalten der x-koordinaten können wir schliessen: Für welche Winkel erhalten wir denselben cos-wert? und aus dem Verhalten der x-koordinaten können wir schliessen: Was für Beziehungen zwischen sin und cos lassen sich mit Hilfe des 3. Quadranten bestimmen? Aufgabe : Formuliere eigene Beziehungen zwischen sin und cos. 55

13 Wir wollen uns abschliessend noch mit dem Tangens beschäftigen: Nach Definition gilt für den Tangens: tan ψ := sin ψ cos ψ im 2. Quadranten: tan ψ = im 3. Quadranten: tan ψ = im 4. Quadranten: tan ψ = 56

14 3.4 Das Bogenmass & die Graphen der trigonometrischen Funktionen Neben der Darstellung der Argumente der trigonometrischen Funktionen im Gradmass ist auch die Darstellung im sog. Bogenmass üblich. Wir verwenden als Grundlage den Zusammenhang zwischen dem Umfang des Einheitskreises und der zugehörigen Winkelöffnung:... und definieren: Aufgaben : 1. Stelle die Aufgabe im Bogenmass dar und berechne den Funktionswert: (a) sin 30 0 (b) cos (c) tan Stelle die Aufgabe im Gradmass dar und bestimme den Funktionswert: (a) sin π 2 (b) cos π 6 (c) tan 2π 3 57

15 Die graphischen Darstellungen von sin, cos & tan: für den Sinus: für den Cosinus: 58

16 für den Tangens: 59

17 3.5 Astrometrie - ein WebQuest Die Astrometrie beschäftigt sich mit den geometrischen Methoden der Distanzbestimmung in der Astronomie. In diesem WebQuest werdet ihr euch dazu in Gruppen mit den folgenden Themen auseinandersetzen: Längen- & Winkelmessgeräte Die Entwicklung und Anwendung verschiedener Messgeräte Die alten Griechen Das Wissen über die Entfernungen in unserem Sonnensystem vor der Zeit Keplers Kepler & seine Gesetze Seine Gestze und die Anwendung auf die Entfernungsbestimmungen Sinus- und Cosinussatz Die Verallgemeinerung der trigonometrischen Bezieheung auf beliebige Dreiecke Der Venustransit Die Bestimmung der Distanz Erde-Sonne Radioastronomie Moderne Methoden der Entfernungsbestimmung 60

18 3.6 Trigonometrie im beliebigen Dreieck Wir werden im letzten Kapitel der Trigonometrie mit einer kurzen Repetition des Sinus- und Cosinussatzes und zwei Standardaufgaben beginnen und uns abschliessend mit der Eindeutigkeit der Lösungen bei der Anwendung von Sinusund Cosinussatz beschäftigen Der Cosinussatz Der Cosinussatz: In einem beliebigen Dreieck ABC gilt: (Für Herleitung & Beweis: siehe die Vortragsreihe!) Aufgaben : In einem beliebigen Dreieck ABC sind folgende Grössen gegeben: a = 8, b = 5, γ = 75 0 KOnstruiere das Dreieck ABC c, α &β. und bestimme 61

19 3.6.2 Der Sinussatz Der Sinussatz: In einem beliebigen Dreieck ABC gilt: (Für Herleitung & Beweis: siehe die Vortragsreihe!) Aufgaben : In einem beliebigen Dreieck ABC sind folgende Grössen gegeben: α = 25 0, a = 4, b = 6 Konstruiere das Dreiech ABC und bestimme c, β &γ. 62

20 3.6.3 Eindeutigkeit der Lösungen bei der Anwendung des Sinus- und Cosinussatzes Wir wollen nun der Frage nachgehen, unter welchen Bedingungen eine oder mehrere Lösungen existieren und wir wie viele Lösungen gebrauchen. Grundsätzlich gilt, das bei Dreiecksaufgaben die Lösungen eindeutig bestimmt sind, wenn die Kongruenzsätze erfüllt sind: Bei der Umkehrung der Sinus- und Cosinusfunktion (sin 1 und cos 1 ) entstehen aber mehrere Lösungen: Ist der Cosinuswert bekannt, so liefert uns der TR einen zugehörigen Winkel, während die Anwendung des Einheitskreises und die Periodizität unendlich viele Lösungen liefert: Bsp.: cos ϕ = 0, 7 der TR liefert: ϕ 0 =... der Einheitskreis liefert : ϕ 0 =... ψ 0 =... die Periodizität des Cosinus liefert: ϕ 1 =... ϕ 2 =.... ϕ k =... ψ 1 =... ψ 2 =.... ψ k =... 63

21 Ist der Sinuswert bekannt, so liefert uns der TR einen zugehörigen Winkel, während die Anwendung des Einheitskreises und die Periodizität unendlich viele Lösungen liefert: Bsp.: sin ϕ = 0, 4 der TR liefert: ϕ 0 =... der Einheitskreis liefert : ϕ 0 =... ψ 0 =... die Periodizität des Cosinus liefert: ϕ 1 =... ϕ 2 =.... ϕ k =... ψ 1 =... ψ 2 =.... ψ k =... Welche Lösung/ Lösungen sind nun zu verwenden und unter welchen Bedingungen ist es überhaupt notwendig, eine zweite Lösung zubestimmen? Im Fall Cosinus: die zweite Lösung ist immer Im Fall Sinus: die zweite Lösung ist immer Überprüfung geometrischer Eigenschaften:... 64

22 3.7 Additionstheoreme 65