Multiplikation und Division in Polarform

Transkript

1 Multiplikation und Division in Polarform 1-E1

2 1-E

3 Multiplikation und Division in Polarform: Mathematisches Rüstzeug n m b b = b n+m bn bm = bn m ( b n )m = b n m Additionstheoreme: cos 1 = cos 1 cos sin 1 sin sin 1 = sin 1 cos cos 1 sin 1-E3

4 Trigonometrische Form: Multiplikation Bei der Multiplikation und Division komplexer Zahlen erweist sich die trigonometrische bzw. exponentielle Darstellungsweise als besonders vorteilhaft. z1 = r 1 cos 1 i sin 1 z = r cos i sin z1 z = r1 r [ cos 1 cos sin 1 sin i sin 1 cos cos 1 sin ] Additionstheoreme: cos 1 = cos 1 cos sin 1 sin sin 1 = sin 1 cos cos 1 sin z1 z = r 1 r [ cos 1 i sin 1 ] 1-1

5 Polarform: Multiplikation z1 = r1 e i 1 z = r e i Definition 1: Zwei komplexe Zahlen werden multipliziert indem man ihre Beträge multipliziert und ihre Argumente (Winkel) addiert. z 1 z = r 1 e i φ1 r e i φ = r1 r e i (φ1 + φ ) = = r 1 r [ cos 1 i sin 1 ] 1-

6 Multiplikation und Division in Polarform: Aufgabe 1 Geben Sie eine geometrische Interpretation der Multiplikation einer komplexen Zahl mit i - i und A

7 Multiplikation und Division in Polarform: Lösung 1 Abb. 1-1: Graphische Darstellung der Aufgabe am Beispiel einer komplexen Zahl 3 + i und ihrer Multiplikation mit i -i und a

8 Multiplikation und Division in Polarform: Lösung 1 Abb. 1-: Die Multiplikation einer komplexen Zahl z mit i entspricht einer Drehung des Zeigers z um den Winkel π/ 1-3b

9 Multiplikation und Division in Polarform: Lösung 1 Abb. 1-3: Die Multiplikation einer komplexen Zahl z mit - i entspricht einer Drehung des Zeigers z um den Winkel - π/ 1-3c

10 Multiplikation und Division in Polarform: Lösung 1 Abb. 1-4: Die Multiplikation einer komplexen Zahl z mit - 1 entspricht einer Drehung des Zeigers z um den Winkel π 1-3d

11 Multiplikation und Division in Polarform: Lösung 1 z = 3 + i = e iπ i=e iπ i z = i ( 3 + i) = 1 + i 3 = e i = e iπ i z = i ( 3 + i) = 1 i 3 = e z = ( 3 + i ) = e 1-3e iπ = e iπ e iπ = e e 1 = e + = e e iπ = e iπ iπ +iπ

12 Multiplikation in Polarform: Geometrische Deutung Aufgabe : Bestimmen Sie den Betrag und den Argument der komplexen Zahl z 3 z3 = z1 z a ) z1 = r1 e b ) z1 = r1 e c ) z1 = r1 e -A i φ1 i φ1 i φ1 z = z = 1 z = 1

13 Multiplikation: Geometrische Deutung Abb. -1: Multiplikation einer komplexen Zahl mit einer positiven reellen Zahl Die Multiplikation einer komplexen Zahl z mit einer positiven reellen Zahl a bedeutet eine Streckung des Zeigers z um das a-fache wobei der Winkel erhalten bleibt. z1 = r1 e i φ1 z = = ei 0 z 3 = r 1-1 z3 = z1 z = z 1 = r1 e i φ1+ i 0 arg ( z 3 ) = φ1

14 Multiplikation: Geometrische Deutung Abb. -: Multiplikation einer komplexen Zahl mit der reellen Zahl -1 -a

15 Multiplikation: Geometrische Deutung Die Multiplikation einer komplexen Zahl z mit -1 bedeutet eine Drehung des Zeigers z um 180. z1 = r1 e i φ1 z = 1 = e z 3 = z1 z = r 1 e z3 = r1 -b i φ1 = r1 e i φ1 e = r1 e i ( φ1+ π ) arg ( z 3 ) = φ1 + π

16 Multiplikation: Geometrische Deutung Abb. -3: Multiplikation einer komplexen Zahl mit der reellen Zahl -1/ -3a

17 Multiplikation: Geometrische Deutung Die Multiplikation der komplexen Zahl z mit der negativen reellen Zahl a (a < 0) bedeutet eine Streckung des Zeigers z um das a -fache eine Drehung des Zeigers a z um 180 z. B. a = z1 = r1 e -3b i 1 1 : z1 i 1 i z = = r e = r e 1 1

18 Multiplikation: Geometrische Deutung Abb. -4: Zur Multiplikation der komplexen Zahlen. Darstellung von zwei komplexen Zahlen wobei eine den Betrag 1 hat. -4a z1 = r e i φ1 z = e i φ z = 1

19 Multiplikation: Geometrische Deutung Abb. -5: Multiplikation der komplexen Zahl z mit der komplexen Zahl mit Betrag 1-4b

20 Multiplikation: Geometrische Deutung Die Multiplikation der komplexen Zahl z mit der komplexen Zahl exp (i α) entspricht der Drehung des Zeigers um den Winkel α. z1 = r e i φ1 z = e i φ z 3 = z 1 z = r e z = 1-4c i φ3 φ3 = φ1 + φ z1 = z3

21 Multiplikation: Beispiel 1 Abb. 3-1: Zur Multiplikation der komplexen Zahlen z1 = r 1 e i 3-1 z = r ei r3 = r 1 r z3 = z 1 z = r 3 ei =

22 Multiplikation: Beispiel 1 Zur Abbildung 3-1: z1 = r 1 e i z = r ei r3 = r 1 r z1 = r 1 e i z = r e i z 3 = z1 z = r3 e 3- = = i =.4 e = 1. i = 1. e i z3 = z 1 z = r 3 ei i.57 i 90 =.8 e r 1 =.4 r = 1. =.57 = 90 i 11.57

23 Multiplikation: Beispiel Abb. 3-: Zur Multiplikation der komplexen Zahlen z1 = 1 i = 3-3 e i 45 z = i = e i 90 z3 = i = e i 135

24 Multiplikation: Beispiel 3 Abb. 3-3: Zur Multiplikation der komplexen Zahlen 3-4 z1 = 1 i = ei 45 z = 1 i = e i 5 z 3 = i = e i 70

25 Polarform: Division Definition : Zwei komplexe Zahlen werden dividiert indem man ihre Beträge dividiert und ihre Argumente (Winkel) subtrahiert. z1 z = = 4-1 r1 r r1 r e i 1 = [ cos 1 i sin 1 ]

26 Division: Beispiel 4 Abb. B4: Division zweier komplexen Zahlen 4-a

27 Division: Beispiel 4 z1 = r 1 e i z = r e r3 = r1 r i z3 = z1 z = r3 ei = Zur Abbildung B4: z1 = i =.4 e z3 = z1 z = i.57 z = 1. i = 1. e.4 i e = 1.8 e i 3.43 = 1. = 1.8 e 4-b i 90 i 9.57

28 Division: Beispiel 5 Abb. B5: Division zweier komplexen Zahlen 5-1

29 Division: Beispiel 5 Zur Abbildung B5: z1 = 1 i = z3 = 5- z1 z e i 45 1 i 1 i 135 z = = e = i = e i 90 = e i 70

30 Multiplikation und Division in Polarform: Aufgaben 3 4 z Berechnen Sie das Produkt z 1 z und den Quotienten 1 mit z den folgenden Zahlen: Aufgabe 3: z = cos 40 i sin 40 a ) z 1 = cos 0 i sin 0 b ) z 1 = 3 cos 5 i sin 5 c ) z 1 = cos 50 i sin 50 z = 5 cos 10 i sin 10 z = cos 300 i sin 300 d ) z 1 = 3 cos 190 i sin 190 z = 4 cos 00 i sin 00 Aufgabe 4: a ) z1 = e b ) z1 = 4 e i 70 i 0 c ) z 1 = 15 e -1a i 3 z = 4 e z = 4 e i 40 i 50 i 1 z = e

31 Multiplikation und Division in Polarform: Lösungen 3 4 Lösung 3: a ) z 1 z = cos 0 i sin 0 b ) z 1 z = 15 cos 345 i sin 345 c ) z 1 z = cos 190 i sin 190 z1 1 = z cos 340 i z1 3 = z 5 cos 5 i sin 340 sin 5 z1 = cos 310 i sin 310 z d ) z 1 z = 1 cos 30 i sin 30 z1 z = 3 cos 350 i sin Lösung 4: z1 z : z1 z -1b : a) a) 8e i i 30 e b) b) 1 e e i 330 i 70 c) c) 30 e 7.5 e i 351 i 15

32 Multiplikation und Division in Polarform: Aufgabe 5 Berechnen Sie den Betrag und das Argument folgender Zahlen: z1 z 3 = z1 z z4 = z a ) z 1 = 4 e b ) z1 = 3 e c ) z1 = e -A 3 z = e z = e 3 z = 4 e

33 Multiplikation und Division in Polarform: Lösung 5a a ) z1 = 4 e 3 z = e z 3 = z 1 z = ( 4) e z4 = z1 z = z 3 = 8 4 e e 3 3 e = e arg ( z3 ) = 3π = 8 e π 3 ( +π 3 ( ) = e z 4 = ) = 8 e =e =8 e +π arg ( z 4) = ( +π ( )= e i )=8 e i 3π 7π 7π 1 = e -a

34 Multiplikation und Division in Polarform: Lösung 5b b ) z1 = 3 e z = e z 3 = z 1 z = 3 e =3 e z4 = z1 z i = z 3 = 3 -b 11 π 3 =3e 3e e 3 e 3 = 3 e +π 3 ( ) = 3 e i 5π i =3 e ( 5π +π )= = 3 e π 3 ( arg ( z 3 ) = π ) = 3 e z 4 = 3 =3 e +π ( arg ( z 4 ) = )=3 e i 7π 7π

35 Multiplikation und Division in Polarform: Lösung 5c c ) z1 = e z = 4 e z 3 = z 1 z = ( ) ( 4) e z4 = z1 z = z 3 = 8 -c e 4 e i π+π + π =8 e ( )= 1 π 3 z4 = 1 = e arg ( z 3 ) = e e ( )=8 e i π arg ( z 4 ) = π 3

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