KOMPETENZHEFT ZU KOMPLEXEN ZAHLEN N Z Q R C

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1 KOMPETENZHEFT ZU KOMPLEXEN ZAHLEN 1. Aufgabenstellungen Aufgabe 1.1. Kreuze alle Zahlenbereiche an, in denen die gegebene Zahl bestimmt enthalten ist ,2 2, 5 4 i i 21/4 9/ ,014 = 5, , N Z Q R C Aufgabe 1.2. Gegeben sind die beiden komplexen Zahlen z 1 = 2 4 i und z 2 = 3 5 i. Berechne z 1 + z 2, z 1 z 2, z 1 z 2 und z 1 z 2. Datum: 31. März

2 Aufgabe 1.3. Stelle die angegebenen komplexen Zahlen als Zeiger in der Zahlenebene dar und wandle sie in Polarform um. z 1 = i z 2 = i z 3 = 1 5 i z 4 = 2 2 i Aufgabe 1.4. Gegeben sind die komplexen Zahlen z 1 = i und z 2 = 1 3 i. Berechne z 1 + z 2 bzw. z 1 z 2 und veranschauliche die Rechnungen in der Zahlenebene. Aufgabe 1.5. Gegeben sind die komplexen Zahlen z 1 = i und z 2 = i. 1) Berechne das Produkt z 1 z 2 in Komponentenform. 2) Berechne die Polarform von z 1 = (r 1 ; ϕ 1 ), z 2 = (r 2 ; ϕ 2 ) und z 1 z 2 = (r 3 ; ϕ 3 ). 3) Überprüfe, dass r 3 = r 1 r 2 gilt und vergleiche ϕ 3 mit ϕ 1 + ϕ 2. Aufgabe 1.6. Gegeben sind die komplexen Zahlen z 1 = 12 5 i und z 2 = 3 4 i. 2

3 1) Berechne den Quotienten z 1 z 2 in Komponentenform. 2) Berechne die Polarform von z 1 = (r 1 ; ϕ 1 ), z 2 = (r 2 ; ϕ 2 ) und z 1 z 2 = (r 3 ; ϕ 3 ). 3) Überprüfe, dass r 3 = r 1 r 2 gilt und vergleiche ϕ 3 mit ϕ 1 ϕ 2. Aufgabe 1.7. Berechne (3 4 i) 10 und gib das Ergebnis in Polarform und in Komponentenform an. Aufgabe 1.8. Gib alle Lösungen von z 5 = i in Polarform an. 4 i N Z Q R C ,2 2, i 21/4 9/ ,014 = 5, , z 1 + z2 = 1 9 i z1 z2 = 5 + i z1 z2 = i z1/z2 = 0, ,647 i 1.3 z 1 = (5; 53,13... ), z 2 = (4,472...; 153,43... ), z 3 = (5,099...; 258,69... ), z 4 = (2,828...; 315 ) 1.4 z 1 + z2 = 2 i, z1 z2 = i 1.5 1) z 1 z2 = i 2) z1 = (5; 36,86... ), z 2 = (17; 118,07... ), z 1 z2 = (85; 154,94... ) 3) 5 17 = 85 ϕ 3 und ϕ1 + ϕ2 sind gleich groß ) z 1/z2 = 16/ /25 i 2) z1 = (13; 337,38... ), z 2 = (5; 233,13... ), z 1/z2 = (2,6; 104,25... ) 3) 13/5 = 2,6 ϕ 3 und ϕ1 ϕ2 sind gleich groß. 1.7 z 10 = ( ; 188,69... ) = i 1.8 z 1 = (1,349...; 23,31... ), z 2 = (1,349...; 95,31... ), z 3 = (1,349...; 167,31... ), z 4 = (1,349...; 239,31... ), z 5 = (1,349...; 311,31... ) 3

4 2. Erweiterung der Zahlenbereiche Erinnere dich an den Aufbau der Zahlenbereiche: Natürliche Zahlen: N = {0, 1, 2, 3,...} Ganze Zahlen: Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} { } a Rationale Zahlen: Q = b a, b Z, b 0 ( Bruchzahlen ) (Das sind Zahlen mit endlich vielen Dezimalstellen oder periodische Zahlen wie 4, ) Irrationale Zahlen: Zahlen mit unendlich vielen Dezimalstellen, die nicht periodisch sind. (Zum Beispiel π = 3, , 2 = 1, ) Reelle Zahlen R: rationale und irrationale Zahlen (Also jede Zahl auf der Zahlengerade.) Erkläre, warum... 1)... jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist, also N Z. 2)... jede ganze Zahl auch eine rationale Zahl ist, also Z Q. N Z Q R 3)... jede rationale Zahl auch eine reelle Zahl ist, also Q R. Erkläre, warum... 1)... die Gleichung 5 + x = 4 keine Lösung in N hat, aber eine Lösung in Z. 2)... die Gleichung 2 x + 3 = 4 keine Lösung in Z hat, aber eine Lösung in Q. 3)... die Gleichung x 2 = 2 keine Lösung in Q hat, aber zwei Lösungen in R. 4)... die Gleichung x 2 = 1 keine Lösung in R hat. Bei Gleichungen wie 5 + x = 4 suchen wir nach einer Zahl, zu der wie 5 dazuzählen können, um 4 zu erhalten. Dazu haben wir eine neue Zahl 1 definiert. 4

5 Um Gleichungen wie 2 x + 3 = 4 lösen zu können, haben wir eine neue Zahl 1 2 definiert. Um Gleichungen wie x 2 = 2 lösen zu können, haben wir neue Zahlen so wie 2 definiert. Die imaginäre Einheit i ist eine Zahl, die die Gleichung x 2 = 1 erfüllt. Es gilt also i i = 1. In manchen Bereichen wird für die imaginäre Einheit auch der Buchstabe j verwendet. (In der Elektrotechnik zum Beispiel zur besseren Unterscheidung von der Bezeichnung für die elektrische Stromstärke.) Die Gleichung x 2 = 1 hat dann die zwei Lösungen x 1 = i und x 2 = i, weil i 2 = 1 und ( i) ( i) = +i 2 = 1 gilt. Diese Definition mag auf den ersten Blick an den Haaren herbeigezogen erscheinen, aber auch bei den negativen und irrationalen Zahlen war die Reaktion kaum anders 1. Tatsächlich führt uns diese neue Zahl i zum Zahlenbereich der komplexen Zahlen C, in dem wir schließlich jede Polynomgleichung lösen können. Jede Zahl der Bauart z = a + b i mit reellen Zahlen a und b heißt komplexe Zahl. Wir nennen a den Realteil von z und b den Imaginärteil von z, kurz: a = Re(z) und b = Im(z). Die Menge der komplexen Zahlen wird mit C abgekürzt. ( Complex Numbers ) Die natürlichen Zahlen haben wir auf dem Zahlenstrahl dargestellt. Um auch negative Zahlen darstellen zu können, haben wir den Zahlenstrahl zu einer Zahlengerade erweitert. Jeder Punkt auf der Zahlengerade entspricht genau einer reellen Zahl. Zur Darstellung von komplexen Zahlen erweitern wir die Zahlengerade zu einer Zahlenebene. Jeder komplexen Zahl entspricht genau ein Punkt in 1 Der griechische Mathematiker Hippasos von Metapont (5. Jhdt. v. Chr.) hat der Legende nach für die Entdeckung, dass nicht jede Zahl als Bruch dargestellt werden kann, für so viel Aufsehen und Ablehnung gesorgt, dass er als göttliche Strafe im Meer ertrunken ist. 5

6 der Zahlenebene. Konkret zeichnen wir die komplexe Zahl z = a + b i an dem Punkt mit Koordinaten (a b) ein: Erkläre, warum jede reelle Zahl auch eine komplexe Zahl ist, also R C. Das Mengendiagramm zu den Zahlenbereichen können wir also wie rechts dargestellt vervollständigen. N Z Q R C Für das Rechnen mit komplexen Zahlen gelten die gleichen Rechenregeln wie für das Rechnen mit reellen Zahlen, zum Beispiel x + y = y + x x y = y x (Kommutativgesetz) x + (y + z) = (x + y) + z x (y z) = (x y) z (Assoziativgesetz) x (y + z) = x y + x z (Distributivgesetz) Wir rechnen also mit komplexen Zahlen genauso wie mit reellen Zahlen. Bei der Multiplikation beachten wir, dass i 2 = 1 gilt. Beispiel 2.1. Gegeben sind die komplexen Zahlen z 1 = i und z 2 = 4 i. Berechne z 1 + z 2, z 1 z 2, z 1 z 2 und z 1 /z 2. 6

7 Lösung. z 1 + z 2 = ( i) + (4 i) = i + 4 i = i z 1 z 2 = ( i) (4 i) = i 4 + i = i z 1 z 2 = ( i) (4 i) = i + 20 i } 5 {{ i 2 } = i = 5 Um z 1 /z 2 wieder in der Form a + b i darzustellen, erweitern wir den Bruch geschickt: z 1 z 2 = ( i) (4 + i) (4 i) (4 + i) = 8 2 i + 20 i + 5 i2 16 i 2 = i 17 = i Erkläre, warum (a + b i) (a b i) stets eine reelle Zahl ist. (a, b R) Die Zahl z = a b i nennen wir auch die komplex konjugierte Zahl von z = a + b i. Die Menge der komplexen Zahlen ist C = {a + b i a, b R}. Die Summe, die Differenz, das Produkt und der Quotient von zwei komplexen Zahlen ist wieder eine komplexe Zahl. (Das Ergebnis kann wieder in der Form a + b i dargestellt werden.) Um einen Punkt in der Zahlenebene (in diesem Zusammenhang also eine komplexe Zahl) eindeutig festzulegen, gibt es mehrere Möglichkeiten: 1) Die beiden Koordinaten des Punkts angeben. In diesem Zusammenhang sind das also der Realteil a und der Imaginärteil b der komplexen Zahl z = a+b i. z = a + b i b r Im(z) 2) Den Abstand r vom Koordinatenursprung angeben und jenen Winkel ϕ, den der Zeiger zum Punkt mit der a ϕ Re(z) positiven, horizontalen Achse einschließt. Erkläre, warum es nicht ausreicht nur den Abstand r oder nur den Winkel ϕ zu kennen. 7

8 Die Darstellung z = a + b i heißt Komponentenform. Die Darstellung z = (r; ϕ) nennen wir Polarform. Erkläre die folgenden Umrechnungen zwischen Komponenten- und Polarform und zeichne die komplexen Zahlen in der Zahlenebene ein. 1) 3 i = (3; 90 ) 2) 4 = (4; 0 ) 3) 4 i = (4; 270 ) 4) 2 = (2; 180 ) 5) 3 3 i = (3 2; 315 ) Als Nächstes besprechen wir wie man allgemein zwischen der Komponentenform und der Polarform umrechnen kann. 8

9 Umrechnung von Polarform z = (r; ϕ) in Komponentenform z = a + b i Erkläre, wie du in der folgenden Skizze aus r und ϕ den Realteil a und den Imaginärteil b berechnen kannst. Tatsächlich gelten diese Zusammenhänge a = r cos(ϕ) bzw. b = r sin(ϕ) auch für komplexe Zahlen, bei denen ϕ größer als 90 ist. Erinnere dich dazu daran, wie wir am Einheitskreis (r = 1) die Winkelfunktionen für beliebige Winkel eingeführt haben. Beispiel 2.2. Die komplexe Zahl z = (4; 120 ) hat den Realteil a = 4 cos(120 ) = 2 und den Imaginärteil b = 4 sin(120 ) = 3,464..., also z = (4; 120 ) = 4 + 3, i Allgemein können wir statt z = a + b i also auch z = r cos(ϕ) + r sin(ϕ)) i = r (cos(ϕ) + i sin(ϕ)) schreiben. Diese Darstellungsform heißt trigonometrische Form und wird uns später wieder begegnen. 9

10 Umrechnung von Komponentenform z = a + b i in Polarform z = (r; ϕ) Erkläre, wie du in der folgenden Skizze aus a und b den Radius r berechnen kannst: Beispiel 2.3. Berechne den Abstand der komplexen Zahl z = 3 4i vom Koordinatenursprung. Lösung. Zeichnet man wie zuvor ein rechtwinkliges Dreieck haben die Katheten die Länge 3 und 4. Der Abstand vom Ursprung ist die Länge der Hypotenuse r: r = = 5. Wegen ( 3) 2 + ( 4) 2 = = ist es für den Radius in Wirklichkeit nicht notwendig darauf zu achten, in welchem Quadranten die komplexe Zahl liegt. Es gilt stets der Zusammenhang r = a 2 + b 2. Im Gegensatz zum Radius r hängt die Berechnung des Winkels ϕ davon ab, in welchem Quadranten die komplexe Zahl liegt. Beachte, dass a und b die Koordinaten angeben und daher nur im ersten Quadranten mit der Länge der Katheten übereinstimmen. Damit die Koordinaten mit der Länge übereinstimmen, nehmen wir den Betrag der Koordinaten. Erinnere dich, dass der Betrag einer Zahl deren Abstand vom Koordinatenursprung angibt, also 5 = 5 und 4 = 4. 10

11 i) Zeichne den Winkel ψ = arctan ( ) b a in den folgenden Skizzen ein: ii) Erkläre, warum du den Winkel ϕ abhängig vom Quadranten folgendermaßen berechnen kannst: arctan ( ) b 1.Quadrant a 180 arctan ( ) b 2.Quadrant a ϕ = arctan ( ) b 3.Quadrant a 360 arctan ( ) b 4.Quadrant a Wir wollen diese Formeln natürlich nicht auswendig lernen, sondern anhand der vier Skizzen im Gedächtnis behalten. 11

12 Beispiel 2.4. Gegeben sind die komplexen Zahlen z 1 = 3 + i und z 2 = 4 2 i. Berechne z 1 + z 2 bzw. z 1 z 2 und veranschauliche die Rechnungen in der Zahlenebene. Lösung. z 1 + z 2 = (2 + 3i) + (2 i) = 4 + 2i z 1 z 2 = (2 + 3i) (2 i) = 0 + 4i Sind die beiden komplexen Zahlen in Polarform gegeben, gibt es keine einfache Rechenregel wie immer Summe und Differenz berechnet werden können. Bei speziellen Beispielen hilft die geometrische Veranschaulichung: Erkläre, warum gelten. (3; 90 ) + (5; 270 ) = (2; 270 ) und (3; 0 ) (5; 180 ) = (8; 0 ) Ansonsten wandeln wir die beiden komplexen Zahlen in Komponentenform um. Beispiel 2.5. Berechne die Summe der beiden komplexen Zahlen z 1 = (4; 72 ) und z 2 = (3; 305 ). Lösung. z 1 = 1, , i z 2 = 1, , i = z 1 + z 2 = 2, , i = (3,249...; 24,48... ) Wir haben schon gesehen, wie man komplexe Zahlen in Komponentenform multiplizieren und dividieren kann. In der Polarform sind diese Rechnungen sogar einfacher: 12

13 Zum Multiplizieren zweier komplexer Zahlen z 1 = (r 1 ; ϕ 1 ) und z 2 = (r 2 ; ϕ 2 ) werden die Radien multipliziert und die Winkel addiert: z 1 z 2 = (r 1 r 2 ; ϕ 1 + ϕ 2 ) Zum Dividieren zweier komplexer Zahlen z 1 = (r 1 ; ϕ 1 ) und z 2 = (r 2 ; ϕ 2 ) werden die Radien dividiert und die Winkel subtrahiert: ( ) z 1 r1 = ; ϕ 1 ϕ 2 z 2 r 2 Grundlage dieser beiden Rechenregeln sind die trigonometrischen Summensätze. Wenn du die Hintergründe besser verstehen möchtest, schau dir Aufgabe 3.1 auf Seite 18 an. Beispiel 2.6. z 1 = (2; 30 ), z 2 = (3; 80 ) = z 1 z 2 = (2 3; ) = (6; 110 ) z 1 z 2 = (6; ( ) 110 ) 6 z 2 (3; 80 ) = 3 ; = (2; 30 ) = z 1 Spätestens beim Potenzieren von komplexen Zahlen lernen wir die Multiplikationsregel für komplexe Zahlen in Polarform richtig zu schätzen. Potenzieren komplexer Zahlen Gegeben ist eine komplexe Zahl z = (r; ϕ) in Polarform. 1) Erkläre, warum z 2 = (r 2 ; 2 ϕ) gilt. 2) Erkläre, warum z n = (r n ; n ϕ) gilt. Beispiel 2.7. Berechne ( i) 4. 13

14 Lösung. Anstatt ( i) ( i) ( i) ( i) auszumultiplizieren, wandeln wir die komplexe Zahl z = i besser in Polarform um: ( 4 r = ( 3) = 5, ϕ = 180 arctan = 126, ) = z = (5; 126,86... ) Also ist ( i) 4 = (5 4 ; 4 126,86... ) = (625; 507,47... ) = (625; 147,47... ) = i (Warum sollte es uns nicht überraschen, dass der Real- und Imaginärteil vom Ergebnis ganze Zahlen sind?) Beispiel 2.8. Gegeben sind die komplexen Zahlen z 1 = (2; 30 ), z 2 = (2; 150 ) und z 3 = (2; 270 ). Berechne z 3 1, z 3 2 und z 3 3. Lösung. z 3 1 = (2 3 ; 3 30 ) = (8; 90 ) = 8 i z 3 2 = (2 3 ; ) = (8; 450 ) = (8; 90 ) = 8 i (Das gleiche Ergebnis!?) z 3 3 = (2 3 ; ) = (8; 810 ) = (8; 90 ) = 8 i (Und schon wieder... ) Im vorigen Beispiel haben wir drei verschiedene Lösungen der Gleichung z 3 = 8 i gefunden. Sie haben alle drei den gleichen Radius r = 2 und unterscheiden sich nur um den Winkel = 120. Das ist kein Zufall... Wurzelziehen Die Gleichung z n = (r; ϕ) hat genau n Lösungen. (n = 1, 2, 3,...) ( 1) Erkläre, warum z 1 = ( 2) Erkläre, warum z 2 = ( 3) Erkläre, warum z 3 = ) n ϕ r; eine Lösung der Gleichung ist. n ) n ϕ r; n n n ϕ r; n n eine Lösung der Gleichung ist. ) eine Lösung der Gleichung ist. 4) Erkläre, warum man immer wieder eine Lösung erhält, wenn man den Winkel um 360 n vergrößert. 5) Erkläre, warum wir dadurch n verschiedene Lösungen erhalten. Beispiel 2.9. Berechne alle Lösungen der Gleichung z 5 = (32; 150 ). Lösung. Der Radius jeder Lösung beträgt r = 5 32 = 2. Der Winkel zwischen zwei benachbarten Lösungen beträgt = 72. Die fünf Lösungen der Gleichung sind daher 14

15 z 1 = (2; 150 /5) = (2; 30 ) z 2 = (2; ) = (2; 102 ) z 3 = (2; 174 ) z 4 = (2; 246 ) z 5 = (2; 318 ) Das Wurzelsymbol sollten wir bei komplexen Zahlen besser vermeiden. Wir können zwar sagen, dass es fünf verschiedene fünfte Wurzeln von (32; 150 ) gibt, aber die Schreibweise 5 (32; 150 ) ist irreführend. Es gibt ja 5 verschiedene Lösungen... Noch dazu wären unsere bekannten Rechenregeln für Wurzeln dann nicht mehr gültig, z.b.: 1 = 1 1 = ( 1) ( 1) = 1 = 1 Wir sollten die fünften Wurzeln also besser als Lösungen der Gleichung z 5 = (32; 150 ) betrachten. Das Problem mit der Quadratwurzel tritt auch im folgenden Beispiel auf. Beispiel Wir suchen nach den Lösungen der quadratischen Gleichung x 2 4 x + 13 = 0. Zumindest auf den ersten Blick ist das ein alter Hut. Wir setzen p = 4 und q = 13 in die kleine Lösungsformel ein und erhalten x 1,2 = 2 ± 4 13 = 2 ± 9. Fordern wir nun von einem geerdeten Taschenrechner uns bitte 9 auszurechnen, dann mault er DOMAIN Error und zwar ganz zurecht. Seien wir unbequem. Wie sind wir in diese Situation gekommen? Erinnere dich, dass die Lösungsformeln uns das quadratische Ergänzen abnimmt. Tatsächlich gilt für jede Zahl x (nicht nur die reellen), dass x 2 4 x + 13 = (x 2) = (x 2) Damit ist x 2 4 x + 13 = 0 (x 2) = 0 (x 2) 2 = 9. 15

16 Wir sind also eigentlich auf der Suche nach Zahlen, die mit sich selbst multipliziert 9 ergeben. Wir wissen, dass es davon zwei gibt: 3 i oder 3 i. Also (x 2) 2 = 9 x 2 = 3 i oder x 2 = 3 i x = i oder x = 2 3 i. Etwas knapper schreiben wir das als x 1,2 = 2 ± 3 i. Nochmal der Vergleich mit dem Ergebnis nach Einsetzen in die kleine Lösungsformel: x 1,2 = 2 ± 9. Denken wir uns ± 9 als Platzhalter für die Lösungen der Gleichung z 2 = 9 passt dann eigentlich alles. Um Verwirrungen zu vermeiden, empfehlen wir, dass du dir Folgendes gut einprägst: Die Quadratwurzel a ist nur für reelle Zahlen a 0 erklärt. Sie ist dann die eindeutige Lösung x der Gleichung sodass x 0. x 2 = a, Wovon hängt es also ab, ob die quadratische Gleichung a x 2 + b x + c = 0 reelle oder komplexe Lösungen hat? Anhand der großen Lösungsformel x 1,2 = b ± b 2 4 a c 2 a siehst du, dass es auf das Vorzeichen von D = b 2 4 a c ankommt. Die Abkürzung D steht für Diskriminante (lat. discriminare unterscheiden). Anhand der Diskriminante kannst du nämlich unterscheiden, ob es zwei, eine oder keine reelle Lösungen gibt: 16

17 1) Wenn D > 0 ist, dann hat die quadratische Gleichung zwei reelle Lösungen: x 1 = b + D, x 2 = b D 2 a 2 a 2) Wenn D = 0 ist, dann hat die quadratische Gleichung genau eine reelle Lösung: x 1 = b 2 a 3) Wenn D < 0 ist, dann hat die quadratische Gleichung keine reelle, aber zwei komplexe Lösungen: x 1 = b + i D 2 a, x 2 = b i D 2 a Beispiel Für welche Zahlen c hat die quadratische Gleichung zwei / genau eine / keine reelle Lösungen? 2 x x + c = 0 Lösung. Wir setzen a = 2 und b = 4 in die große Lösungsformel ein: Es gibt genau eine Lösung, wenn x 1,2 = 4 ± 16 8 c c = 0 c = 2. Die Lösung von 2 x x + 2 = 0 ist dann x = 1. Es gibt zwei reelle Lösungen, wenn 16 8 c > 0 c < 2. Bei c = 0 hat die quadratische Gleichung zum Beispiel die reellen Lösungen x 1,2 = 4 ± 16 x 1 = 0, x 2 = 2. 4 Es gibt keine reelle Lösung, aber zwei komplexe Lösungen, wenn 16 8 c < 0 c > 2.. Bei c = 4 hat die quadratische Gleichung zum Beispiel die komplexen Lösungen x 1,2 = 4 ± 16 4 = 4 ± 4 i 4 x 1 = 1 + i, x 2 = 1 i. 17

18 3. Weitere Aufgabenstellungen Aufgabe 3.1. Die beiden komplexen Zahlen z 1 = (r 1 ; ϕ 1 ) und z 2 = (r 2 ; ϕ 2 ) sollen multipliziert werden. a) Erkläre, warum z 1 = r 1 (cos(ϕ 1 ) + i sin(ϕ 1 )) und z 2 = r 2 (cos(ϕ 1 ) + i sin(ϕ 2 )) gilt. b) Rechne nach, dass z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos(ϕ 1 ) cos(ϕ 2 ) sin(ϕ 1 ) sin(ϕ 2 ) + i (cos(ϕ 1 ) sin(ϕ 2 ) + sin(ϕ 1 ) cos(ϕ 2 ))]. c) Zwei der trigonometrischen Summensätze sind sin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β) und cos(α + β) = cos(α) cos(β) sin(α) sin(β). Verwende die Summensätze um zu erklären, warum z 1 z 2 = (r 1 r 2 ; ϕ 1 + ϕ 2 ) gilt. Die Rechenregel für die Division kannst du dir mit den gleichen Schritten überlegen unter Verwendung der trigonometrischen Zusammenhänge: sin 2 (α) + cos 2 (α) = 1, sin(α β) = sin(α) cos(β) cos(α) sin(β) und cos(α β) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β). Aufgabe 3.2. Die Mandelbrotmenge enthält alle komplexen Zahlen c, für die die Folge z 1 = c, z n+1 = zn 2 + c beschränkt bleibt. Die Zahl c = 1 ist zum Beispiel in der Mandelbrotmenge enthalten: Mandelbrotmenge Die Zahl c = 1 ist zum Beispiel nicht in der enthalten: z 1 = 1 z 2 = ( 1) 2 + ( 1) = 0 z 3 = ( 1) = 1 z 4 = ( 1) 2 + ( 1) = 0 Die Zahlenfolge springt also immer zwischen 1 und 0 hin und her, und bleibt somit beschränkt. z 1 = 1 z 2 = = 2 z 3 = = 5 z 4 = = 26 Die Zahlenfolge wächst unbeschränkt. (Mögliche genaue Begründung: Multipliziert man eine Zahl 2 mit sich selbst und addiert 1 ist die neue Zahl mehr als doppelt so groß.) 18

19 Alle komplexen Zahlen in der Mandelbrotmenge sind im folgenden Bild schwarz dargestellt: Wir wollen uns überlegen, dass alle reellen Zahlen im Intervall [ 2; 0,25] in der Mandelbrotmenge enthalten sind: a) Erkläre, warum für 0 c 0,25 alle Folgenglieder im Intervall [0; 0,5] liegen. b) Erkläre, warum für 1 c 0 alle Folgenglieder im Intervall [c; 0] liegen. c) Erkläre, warum für 2 c 1 alle Folgenglieder im Intervall [c; c] liegen. 3.1 a) Umwandlung von Polarform in trigonometrische Form b) Ausmultiplizieren und i 2 = 1 verwenden. c) z 1 z2 = r1 r2 (cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)) = (r1 r2; ϕ1 + ϕ2) 3.2 a) z 1 = c [0; 0,5], zn+1 = z 2 n + c = 0, z n+1 = z 2 n + c 0,25 + 0,25 = 0,5 = z n+1 [0; 0,5] b) z 1 = c [c; 0], zn+1 = z 2 n + c 0 + c = c, z n+1 = z 2 n + c c 2 + c = c }{{} 0 (c + 1) }{{} 0 0 = z n+1 [c; 0] c) z 1 = c [c; c], zn+1 = z 2 n + c 0 + c = c, z n+1 = z 2 n + c c 2 + c c, weil c c = c }{{} 0 = z n+1 [c; c] (c + 2) }{{} 0 0. Dieses Werk von Mathematik macht Freu(n)de unterliegt einer CC BY-NC-ND 4.0 Lizenz.