Einführung Seite 28. Zahlenebene C. Vorlesung bzw. 24. Oktober 2013

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1 Einführung Seite 8 Vorlesung 1 3. bzw. 4. Oktober 013 Komplexe Zahlen Seite 9 Lösung von x + 1 = 0, pq-formel liefert x 1/ = ± 1 ; }{{} verboten Definition Imaginäre Einheit i := 1 Dann x 1/ = ±i; i = 1. Allgemein z = x + i y; x, y R x 6 x + 11 = 0? x 1/ = 3 ± }{{} verboten x 1/ = 3 ± i Seite 30 Komplexe Zahl. Mackens Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 / 4 Mackens Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 3 / 4 Zahlenebene C C : = {z = x + i y x, y R} Komplexe Addition & Multiplikation Mit : = x 1 + i y 1, z : = x + i y b C z = a + ib definiere + z = x 1 + x ) + iy 1 + y ) z z = x 1 x y 1 y ) + ix 1 y + x y 1 ) Aus reellen Rechenregeln unter Beachtung von i = 1 : z a x 1 +i y 1 )x +i y ) = x 1 x +i x 1 y +i y 1 x +i y 1 y = x 1 x y 1 y )+ix 1 y +y 1 x ). b z = a ib Mackens Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 4 / 4 Mackens Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 5 / 4

2 Bezeichnungen Rea + i b) = a Ima + i b) = b Realteil Imaginärteil Imz) C z Seite 31 z Division Seite 31 a + i b = a i b konjugiert Komplexes a + i b : = a + b Betrag R Rez) z z = z = z z z z z z = x 1 x + y 1 y ) + iy 1 x x 1 y ) Konsequenzen z + z = Re z z z = i Im z z = z Also z = x1 x + y 1 y x + y ) + i ) y1 x x 1 y x + y z z = z + z = + z z = z Nachrechnen!!!) Mackens Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 6 / 4 Mackens Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 7 / 4 Achtung: C nicht ordenbar. Aber: z = z + z + z. + z Geometrie komplexer Operationen Seite 31 z Mackens Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 8 / 4 Mackens Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 9 / 4

3 1. Addition wie Vektoraddition in der Ebene C b 1 Seite 3. Multiplikation und Division mit Polardarstellung komplexer Zahlen Seite 33 z Seite 3 a a 1 a 1 + a b 1 + b + z b z Mackens Technische Universität + Hamburg-Harburg) z = a 1 + ib 1 + a Lineare + ibalgebra = I a 1 + a ) + ib 1 + b ) WiSe 13/14 10 / 4 Mackens Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 11 / 4 Sinus und Cosinus am Einheitskreis zu gehörige Bogenlänge 1 sin) y sin ) + cos ) = 1 r = 1 3 cos sin x sin0) = 0 cos0) = 1 sin ) = 1 cos ) = 0 sin ) = sin) cos ) = cos) sin + ) = sin) cos + ) = cos) Vollkreis hat 360 oder eine Bogenlänge von -1 3 cos) Additionstheoreme für sin und cos sin + ψ) = sin) cosψ) + sinψ) cos) cos + ψ) = cos) cosψ) sin) sinψ) Mackens Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 1 / 4 Mackens Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 13 / 4

4 Seite 33 Jetzt Polardarstellung von z C Geometrischer Beweis Skript. Analytischer Beweis nächstes Semester. Einfache Merkregel: kommt gleich. Benötigt werden etwas später noch: tan) = sin n+1 cos, nicht definiert bei =, n N cot) = cos sin, nicht definiert bei = n, n N. Seite 34 y z r sin r cos r = z x z = rcos) + i sin)) Kürze ab: e i := cos) + i sin) Abkürzung gut? JA: e i+ψ) = cos + ψ) + i sin + ψ) = cos cos ψ sin sin ψ + icos sin ψ + cos ψ sin ) = cos +i sin )cos ψ+i sin ψ) = e i e iψ Dann z = re i Mackens Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 14 / 4 Mackens Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 15 / 4 y Eulers Formel e i = cos) + i sin) Ist ungeheuer praktisch! Anwendungsbeispiel: Additionstheoreme vergessen? Euler liefert: cos + ψ) + i sin + ψ) = e i+ψ) = e i e iψ = cos + i sin )cos ψ + i sin ψ) = cos cos ψ sin sin ψ) + icos sinψ + cos ψ sin ) Imz) r = z Rez) z x z = Rez) + i Imz) = r e i, = arg z. arg z nur bis auf Vielfache von bestimmt. Praktische Bestimmung von aus tan = Imz) Rez) = arc tan Imz) Rez) )) Vergleiche Real- und Imaginärteile beider Seiten. Fertig! Mackens Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 16 / 4 Mackens Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 17 / 4

5 Aber Achtung! tan y 1 x 1 = y x x 1 y y x 1 Mackens Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 18 / 4 Mackens Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 19 / 4 Wozu der Aufstand? Seite 34 De Moivre rückwärts: Seite 45 Antwort: Multiplikation und Division werden sehr einfach! r 1 e i 1 )r e i ) = r1 r }{{} multipliziere Beträge e i 1+ ) }{{} addiere Argumente. r 1 e i 1 ) /r e i ) = r1 r )e i 1 ). Gesucht n-te Wurzel aus z = r e i Eine Antwort n z = r 1/n e i /n Aber auch n z = r 1/n e i/n+ n k) k = 1,, n 1 Speziell Formel von de Moivre) r e i ) n = r n e i n [rcos + i sin )] n = r n cos n + i sin n ) weitere Additionstheoreme da n n k = k Allgemein: n z = r 1/n e i n + n k), k = 0, 1,, n 1 Mackens Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 0 / 4 Mackens Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 1 / 4

6 ζ ζ 3 ζ 1 ζ 4 ζ 0 Sind komplexe Zahlen wirklich? ζ 5 ζ 7 ζ 6 Die 8 achten Wurzeln aus 1. Die 8 achten Einheitswurzeln. Mackens Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 / 4 Mackens Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 3 / 4 Ende der 1. Vorlesung Mackens Technische Universität Hamburg-Harburg) Lineare Algebra I WiSe 13/14 4 / 4