Komplexe Zahlen. Gymnasium Immensee PAM: Basiskurs Mathematik. Bettina Bieri

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1 Komplexe Zahlen Gymnasium Immensee PAM: Basiskurs Mathematik Bettina Bieri 13. Juli 2011

2 Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Abkürzungen Mengen Symbole zu Mengen Symbole für Rechnungsoperationen Das Summenzeichen Das Produktezeichen Die Fakultät Aufbau der Zahlen Natürliche Zahlen Ganze Zahlen Rationale Zahlen Irrationale Zahlen Reelle Zahlen Mengendiagramm für Zahlenmengen Komplexe Zahlen Imaginäre Einheit Beispiele: Komplexe Zahlen Definition: Komplexe Zahl Beispiele Rechnen mit komplexen Zahlen Addition/Subtraktion Multiplikation Division Kommutativität Konjugierte Zahl Die Zahlenebene Graphische Darstellung von Addition und Subtraktion Addition

3 3.5.2 Subtraktion Die Polarform Darstellung komplexer Zahlen in Polarform Umrechnen von einer Darstellung zur anderen Problem Beispiel Gleichungen in den komplexen Zahlen Quadratische Gleichungen Beispiel Fundamentalsatz der Algebra Beispiele Aufgaben zur Polarform und zu Gleichungen

4 Kapitel 1 Mathematische Abkürzungen Oft muss man in der Mathematik komplexe Sachverhalte aufschreiben, welche mit Worten nur sehr umständlich erkärt werden könnten. Um mathematische Texte möglichst einfach zu gestalten, verwendet man in der Mathematik oft Formeln und Abkürzungen. Ein weiterer Vorteil dieser Abkürzungen ist, dass sie auf der ganzen Welt gültig sind. Falls ihr mal die Möglichkeit bekommt, in ein chinesisches oder russisches Mathematikbuch zu schauen, werdet ihr feststellen, dass genau die gleichen Formeln verwendet werden. Das vereinfacht die Zusammenarbeit von Mathematikern aus verschiedenen Ländern sehr. Viele der mathematischen Symbole sind euch schon genau so geläufig wie die normalen Buchstaben (z.b. +, -, :,...). Hier möchte ich noch einige weitere Abkürzungen aufschreiben, denen ihr sicher im späteren Mathematikunterricht (sei das in diesem Kurs, im Obergymi oder an der Uni bzw. ETH) irgendwann begegnen werdet. 1

5 1.1 Mengen Oft braucht man in der Mathematik Mengen. Ihr habt sicher schon Gleichungen gelöst, deren Lösungen in einer bestimmten Menge liegen sollten. Meistens waren das vermutlich bekannte Zahlenmengen (R, Q, Z, N). Nicht immer sind aber die Mengen, welche man braucht, so häufig, dass man dafür spezielle Symbole erfunden hätte. Dann gibt es immer noch die Möglichkeit, eine Zahlenmenge zu beschreiben: A := {x R x ist gerade und 90 x < 91} Symbole zu Mengen Im Zusammenhang mit Mengen werden oft verschiedene Symbole verwendet. Hier einige Beispiele:! \ 1.2 Symbole für Rechnungsoperationen Die wichtigsten Symbole, welche in dieses Kapitel gehören, kennt ihr alle schon sehr gut (z.b. 1, -,...). Hier möchte ich noch drei weiter Symbole aufführen, welche in der Mathematik oft verwendet werden, und welche das Aufschreiben von langen Formeln stark vereinfachen Das Summenzeichen Mit Hilfe des Summenzeichens, können lange Summen einfach aufgeschrieben werden. 2

6 Beispiel 4 i=1 (2i i) = (2 1 1) + (2 2 2) + (2 3 3) + (2 4 4) = Natürlich kann man bei diesem Beispiel die Summe auch ausschreiben. Wenn wir uns nun aber vorstellen, dass wir alle ungeraden Zahlen bis 99 summieren möchten, würde dies sehr mühsam. Mit dem Summenzeichen geht auch das sehr einfach: 50 i=1 (2i 1). Allgemeine Definition Seien a 1,..., a n reelle Zahlen und n 1 eine natürliche Zahl. Die Summe der Zahlen a 1,..., a n wird bezeichnet mit: n i=1 a i = a 1 + a 2 + a a n. Erklärung Das ist ein grosser, griechischer Buchstabe und heisst Sigma. Wenn wir ihn aber wie oben beschrieben verwenden, nennen wir ihn Summenzeichen. i=1 bedeutet, dass wir beim Summieren mit 1 beginnen. Danach wird das i bei jedem Summanden um eins erhöht, bis wir bei derjenigen Zahl angelangt sind, welche oberhalb des Summenzeichens steht. Dort hören wir mit dem Summieren auf. Die Summenzeichendarstellung besteht aus folgenden Elementen: 1. Bildungsgesetz der Summanden (im Beispiel: 2 i i) 2. Summationsvariable oder Laufindex mit Werten aus N (im Beispiel: i) 3. Summationsanfang oder untere Summationsgrenze (im Beispiel: i = 1) 4. Summationsende oder obere Summationsgrenze (im Beispiel: 4) 3

7 Aufgaben Aufgabe 1 Rechne die folgenden Ausdrücke aus: a) 3 i=1 4i b) 6 i=2 i c) 500 i=1 2i d) 2 i=1 log 2(i) e) 7 i=1 ( 1 i 1 i+1 ) f) n i=1 i g) n i=0 i Aufgabe 2 Schreibe die folgenden Summen mithilfe des Summenzeichens: a) b) c) d)

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9 1.2.2 Das Produktezeichen Das Produktezeichen hilft, lange Multiplikationen einfach darzustellen. Die Darstellung ist derjenigen des Summenzeichens sehr ähnlich. Der einzige Unterschied ist, dass wir anstelle des grossen Sigma ein grosses Pi verwenden. Statt einer Summe erhalten wir dann ein Produkt. Hier sind einige Beispiele dazu: Beispiele Π n k=2 (k 1) = Π 100 k=0 k = Π 5 k=4 ak = Die Fakultät Als letztes Zeichen möchte ich hier noch die Fakultät aufschreiben. Die Fakultät wird oft in der Kombinatorik (Wahrscheinlichkeitstheorie) verwendet und ist folgendermassen definiert: n! = Π n k=1 k = n Beispiele Berechne folgende Ausdrücke möglichst einfach und ohne Taschenrechner: a) 5! 5 b) 199! 200! c) 400! 399! 9! 10! d) 100! 2! 2! 98! 6

10 Kapitel 2 Aufbau der Zahlen In der Mathematik befassen wir uns in jeder Stunde mit Zahlen. Da ist es wichtig, dass wir einen Überblick bekommen, was für verschiedene Zahlen es gibt, und welche Eigenschaften sie haben. Bemerkung Eine Menge heisst abgeschlossen bezüglich einer Operation (+, -,, :), wenn das Resultat der Operation auch wieder ein Element der Menge ist. 2.1 Natürliche Zahlen Die Menge der Natürlichen Zahlen ist gegeben durch: Die Natürlichen Zahlen sind abgeschlossen bezüglich + und. Schreibe zu jeder der beiden Operationen zwei Rechnungen mit Zahlen aus der Menge der Natürlichen Zahlen auf und kontrolliere, ob das Resultat auch wirklich wieder eine Natürliche Zahl ist. 7

11 Aber die Lösung von zum Beispiel 6-23 liegt nicht mehr in den Natürlichen Zahlen. 2.2 Ganze Zahlen Um diesem Problem abzuhelfen, definieren wir die Menge der Ganzen Zahlen. Sie ist gegeben durch: Die Ganzen Zahlen sind abgeschlossen bezüglich +, und -. Schreibe zu +, und - je zwei Rechnungen auf und überprüfe, ob auch hier das Resultat wieder in der Menge der Ganzen Zahlen liegt. Aber auch hier gibt es Grenzen. So liegt zum Beispiel die Lösung von 3:4 nicht mehr in den Ganzen Zahlen. 2.3 Rationale Zahlen Wir brauchen also wieder eine neue Menge von Zahlen, welche auch bezüglich dem : abgeschlossen ist. Dazu brauchen wir die Menge der Rationalen Zahlen. Sie wird definiert durch: Die Rationalen Zahlen sind bezüglich +, -, und : abgeschlossen. 8

12 Schreibe auch hier zu jeder der vier Operationen zwei Rechnungen auf und überlege, ob auch hier das Resultat tatsächlich wieder eine Rationale Zahl ist. 2.4 Irrationale Zahlen Zahlen, welche nicht zu den Rationalen Zahlen gehören, werden als Irrationale Zahlen bezeichnet. Tatsächlich existieren Irrationale Zahlen. Zum Beispiel sind folgende Zahlen irrational: 2.5 Reelle Zahlen Die Menge der Zahlen, in welcher sowohl die Rationalen, als auch die Irrationalen Zahlen enthalten sind, heisst Menge der Reellen Zahlen. 9

13 2.6 Mengendiagramm für Zahlenmengen Die Zahlenmengen, welche wir bis jetzt kennen gelernt haben, können wir folgendermassen in einem Mengendiagramm darstellen: Bemerkung Vielleicht ist euch aufgefallen, dass auch die Menge der Reellen Zahlen bezüglich der Wurzelfunktion nicht abgeschlossen ist, da die Reellen Zahlen auch negativ sein können. Tatsächlich hat man dazu noch einmal eine neue Zahlenmenge definiert, nämlich die Komplexen Zahlen. Mit dieser Zahlenmenge werden wir uns in den folgenden Kapiteln beschäftigen. 10

14 Kapitel 3 Komplexe Zahlen Bisher habt ihr gelernt, dass die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0 genau dann lösbar ist, wenn b 2 4ac positiv ist. Falls dieser Ausdruck negativ war, standet ihr vor dem Problem, nicht in der Lage zu sein, Wurzeln aus negativen Zahlen zu ziehen und daher die Lösungsformel nicht anwenden zu können. Dieses Problem wollen wir nun mit der Einführung der komplexen Zahlen lösen. Gegen Ende des 18. Jahrhunderts argumentierte Leonhard Euler: Weil alle Zahlen, die man sich vorstellen kann, entweder grösser oder kleiner als Null oder Null selbst sind, so ist klar, dass Elemente, deren Quadrate Negativzahlen sind, nicht einmal zu den möglichen Zahlen gerechnet werden können. Folglich müssen wir sagen, dass dies unmögliche Zahlen sind. Solche Zahlen werden als eingebildete oder imaginäre Zahlen bezeichnet, weil sie bloss in der Einbildung vorhanden sind. 3.1 Imaginäre Einheit Die imaginäre Einheit (oder imaginäre Zahl) wird mit i bezeichnet. Definiert ist i durch: i 2 = 1 Mit Hilfe der Imaginären Zahl, können wir nun Wurzeln aus beliebigen, negativen Zahlen ziehen. 11

15 3.1.1 Beispiele: 4 = 4 = 3 = 3.2 Komplexe Zahlen Als wir uns die Zahlenmengen N, Z, Q und R angeschaut haben, sahen wir, dass für diese Zahlenmengen gilt: N Z Q R. Das soll nun auch für die Menge der komplexen Zahlen gelten. Weiter soll die Menge der komplexen Zahlen bezüglich der uns bekannten Opterationen +,,, : abgeschlossen sein. Unter dieser Bedingung ist es nicht möglich, die komplexen Zahlen einfach so zu definieren, dass man zu den reellen Zahlen noch i dazu nimmt, weil dann x + i für x R nicht mehr in der Menge wäre. So kommen wir nun zu der gebräuchlichen Schreibweise der komplexen Zahlen: Definition: Komplexe Zahl Jede komplexe Zahl z lässt sich in der Form z = a + ib (Normalform) schreiben. Die reelle Zahl a bezeichnet man als Realteil von z, die reelle Zahl b bezeichnet man als Imaginärteil von z, und man schreibt: a b = Re(z) = Im(z) Eine komplexe Zahl z = a mit b = 0 ist reell, eine komplexe Zahl z = ib mit a = 0 heisst rein imaginär. 12

16 3.2.2 Beispiele Unterstreiche alle rein imaginären Zahlen rot und alle reellen Zahlen grün: 4, 4i, 1 3 i, 1 46, 5i + 3i, i2, 2 + 4i, i + 22i, 5i 3.3 Rechnen mit komplexen Zahlen Man rechnet mit komplexen Zahlen, indem man i wie eine Variable behandelt und immer i 2 durch 1 ersetzt Addition/Subtraktion (a 1 + ib 1 ) ± (a 2 + ib 2 ) = a 1 ± a 2 + ib 1 ± ib 2 = (a 1 ± a 2 ) + i(b 1 ± b 2 ) Beispiele Sei z 1 = 2 + 4i und z 2 = 1 + i. z 1 + z 2 = z 2 + z 1 = z 1 z 2 = z 2 z 1 = Multiplikation (a 1 + ib 1 ) (a 2 + ib 2 ) = a 1 a 2 + ib 1 a 2 + a 1 ib 2 + ib 1 ib 2 = a 1 a 2 + ia 1 b 2 + ia 2 b 2 + i 2 b 1 b 2 = a 1 a 2 + ia 1 b 2 + ia 2 b 2 b 1 b 2 = (a 1 a 2 b 1 b 2 ) + i(a 1 b 2 + a 2 b 1 ) 13

17 Beispiele Sei z 1 = 2 + 4i und z 2 = 1 + i. z 1 z 2 = z 2 z 1 = Division Die Division einer komplexen Zahl ist etwas komplizierter: (a 1 + ib 1 ) (a 2 + ib 2 ) = (a 1 + ib 1 )(a 2 ib 2 ) (a 2 + ib 2 )(a 2 ib 2 ) = (a 1a 2 + b 1 b 2 ) + i( a 1 b 2 + a 2 b 1 ) (a 2 a 2 + b 2 b 2 ) + i( a 2 b 2 + a 2 b 2 ) = (a 1a 2 + b 1 b 2 ) + i(a 2 b 1 a 1 b 2 ) a b 2 2 = (a 1a 2 + b 1 b 2 ) a b i (a 2b 1 a 1 b 2 ) a b 2 2 Beispiele Sei z 1 = 2 + 4i und z 2 = 1 + i. z 1 : z 2 = z 2 : z 1 = 14

18 3.3.4 Kommutativität An den Beispielen erkennen wir, dass in der Menge C der komplexen Zahlen, die gleichen Operationen kommutativ sind, wie in den anderen Zahlenmengen. Es gilt nämlich: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 z 1 z 2 z 2 z 1 z 1 z 2 = z 2 z 1 z 1 : z 2 z 2 : z 1 Da wir ja wissen, dass Beispiele keine Beweise sind, werden wir die obige Behauptung hier noch beweisen: Beweis 15

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20 3.3.5 Konjugierte Zahl Sei z = a + ib, dann ist die zugehörige konjugierte Zahl z gegeben durch z = a ib. Um die konjugierte Zahl zu bekommen, wechseln wir also einfach das Vorzeichen des Imaginärteils. 3.4 Die Zahlenebene Reelle Zahlen können auf einem Zahlenstrahl dargestellt werden. Für komplexe Zahlen reicht der Zahlenstrahl nicht. Da brauchen wir eine ganze Ebene. Um diese Darstellung zu verstehen, ist wichtig zu wissen: Jeder komplexen Zahl z = a + ib entspricht 1. ein reelles Zahlenpaar (a,b), 2. ein Punkt in der Zahlenebene, 3. ein Vektor, der durch den Pfeil bestimmt ist, der den Nullpunkt mit diesem Punkt verbindet. Alle reellen Zahlen liegen auf der reellen Zahlenachse, die rein imaginären Zahlen liegen auf der imaginären Zahlenachse. Zeichne eine solche Zahlenebene: 17

21 3.5 Graphische Darstellung von Addition und Subtraktion In der Zahlenebene kann man mit Hilfe von Vektoren komplexe Zahlen addieren oder subtrahieren Addition Subtraktion In der Physik werden oft Kräfte mit Vektoren dargestellt. Auf die gleiche Weise, wie wir das bei den komplexen Zahlen gemacht haben, können auch solche Kraftvektoren addiert oder subtrahiert werden. 18

22 Kapitel 4 Die Polarform Bisher haben wir die komplexen Zahlen in ihrer Normalform z = a + ib kennen gelernt. 4.1 Darstellung komplexer Zahlen in Polarform Es gibt aber noch eine weitere Möglichkeit, komplexe Zahlen darzustellen. Machen wir dazu zunächst eine Skizze einer komplexen Zahl in der Zahlenebene: 19

23 Bisher haben wir für die Darstellung einer Zahl immer den Real- und den Imaginärteil gebraucht. Es wäre aber auch möglich, eine solche Zahl durch andere Werte zu beschreiben. Dazu müssten wir den vom Nullpunkt zum Punkt, welcher die komplexe Zahl darstellt, sowie den zwischen der und der Linie, welche vom Nullpunkt zum Zahlenpunkt geht, kennen. Mit diesen Überlegungen kommen wir zur Polardarstellung einer komplexen Zahl: z= 4.2 Umrechnen von einer Darstellung zur anderen Von der Polardarstellung zur Normalform zu kommen, ist einfach. Es gilt einfach: a = b = Um aus der Normalform die Polardarstellung zu berechnen, muss man schon einige Überlegungen mehr machen: 20

24 4.2.1 Problem Unsere Überlegungen klappen, wenn die komplexe Zahl positive Real- und Imaginärteile hat. Sobald eine dieser beiden Zahlen negativ ist, geht die Umrechnung nicht mehr ganz so einfach. Wir kriegen mit der oben erklärten Rechnungsmethode immer den spitzen Winkel zwischen der x-achse und dem Zahlenvektor. Der gesuchte Winkel ϕ ist aber immer derjenige Winkel zwischen dem positiven Teil der x-achse und dem Zahlenvektor. Unter Umständen müssen wir den bei der Berechnung erhaltenen Winkel noch umrechnen Beispiel Winkel Wie lautet der Winkel der Polardarstellung der Zahl z = 2 2i? Berechnen wir zunächst das ϕ, wie wir es oben für den allgemeinen Fall gemacht haben: Machen wir nun eine Skizze der Zahlenebene und von unserer Zahl z. Wir erkennen dabei, dass der Winkel ϕ, den wir berechnet haben, nicht der Winkel der Polardarstellung ist. Wir müssen den berechneten Winkel also noch umrechnen: Der Betrag Ihr kennt bereits den Betrag einer reellen Zahl. Dort wird durch den Betrag bei einer negativen Zahl einfach das Vorzeichen gewechselt. Bei einer positiven, reellen Zahl, bewirkt der Betrag nichts. 21

25 Trage in die folgende Zahlenebene den Betrag einer positiven, reellen Zahl und einer negativen, reellen Zahl ein. Der Betrag einer reellen Zahl ist genau die Vektors, der dieser reellen Zahl entspricht. des Oben haben wir genau diese Länge (einer komplexen Zahl) mit r bezeichnet. Meistens wird dieses r als z geschrieben und der Betrag von z genannt. Zeichne in der obigen Zahlenebene eine allgemeine, komplexe Zahl ein. Man erkennt dann sofort, dass das der Betrag von z, z (der dem r aus der Polardarstellung entspricht) auf eine einfache Weise aus a und b (aus der Normalform) berechnet werden kann. Wegen gilt nämlich: z = 22

26 Kapitel 5 Gleichungen in den komplexen Zahlen 5.1 Quadratische Gleichungen Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen ax 2 + bx + c = 0 lautet: x 1/2 = b± b 2 4ac 2a. Dabei wird b 2 4ac die Diskriminante genannt. Bisher konntet ihr quadratische Gleichungen nur lösen, wenn die Diskriminante positiv war. Mit dem neuen Wissen über komplexe Zahlen kann die Formel auch für negative Diskriminanten angewendet werden. Für nicht reelle Lösungen einer quadratischen Gleichung gilt: Wenn eine Lösung ist, so ist auch eine Lösung. Die nicht reellen Lösungen einer quadratischen Gleichung sind also paarweise Beispiel Berechne die Lösungen von z 2 8z + 65 = 0. 23

27 5.2 Fundamentalsatz der Algebra C.F. Gauss hat 1797 in seiner Dissertation folgenden Satz bewiesen: Fudamentalsatz der Algebra In C lässt sich jedes Polynom n-ten Grades (mit komplexen Koeffizienten a n ) in Linearfaktoren zerlegen. Das heisst: P n (z) = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 = a n (z z 1 )(z z 2 ) (z z n ). Aus diesem Satz folg direkt folgende, wichtige Aussage: JEDE GLEICHUNG n-ten GRADES HAT IN C GENAU n LÖSUN- GEN. (MEHRFACHE LÖSUNGEN WERDEN DABEI MEHR- FACH GEZÄHLT.) Beispiele Zerlege folgende Polynome in Linearfaktoren. Wenn du die Polynome gleich null setzt, bekommst du Gleichungen. Welches sind die Lösungen dieser Gleichungen? Vergleiche den Polynomgrad mit der Anzal der erhaltenen Lösungen. a) P 1 = z 2 z 6 b) P 2 = z 3 + 2z 2 + z c) P 3 = z 2 8z

28 5.2.2 Aufgaben zur Polarform und zu Gleichungen Aufgabe 1 Verwandle folgende komplexe Zahlen in die Normalform: a) z 1 = 4 cos(90 ) + i 4 sin(90 ) b) z 2 = 3 cos(0 ) + i 3 sin(0 ) c) z n = 6 cos(45 ) + i 6 sin(45 ) d) z n = 2 cos( 45 ) + i 2 sin( 45 ) Aufgabe 2 Stelle die Zahlen für n = 1, 2,..., 6 als Punkte in der Zahlenebene dar: a) z n = cos(n 90 ) + i sin(n 90 ) b) z n = cos(n 60 ) + i sin(n 60 ) Aufgabe 3 Gib folgende Zahlen in der Polarform an: a) 2 + 2i b) 4 + 2i c) i d) i Aufgabe 4 Sei z 1 = 3 + 6i und z 2 = 1 + 2i. Berechne die Beträge von: a) z 1 + 2iz 2 b) z 1 12+z 2 25

29 Aufgabe 5 Löse folgende quadratische Gleichungen: a) 4z 2 + 8z + 5 = 0 b) z(10 z) = 40 c) z 2 14z + 53 = 0 d) z(z + 6) = 25 26

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