1 Zahlenmengen und einige mathematische Symbole
|
|
- Ralf Kranz
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 1 Zahlenmengen und einige mathematische Symbole Inhalt 1.1 Vorbemerkung Zahlenmengen Summenzeichen Produktzeichen Anwendung in Scilab Fazit Vorbemerkung In diesem Kapitel werden die Zahlenmengen und einige mathematische Symbole der Arithmetik erklärt, die im Buch Verwendung finden und manchmal nicht im Mathematikunterricht der Schule auftauchen. Folgende Symbole werden verwendet: a, b Koeffizienten oder Variablen i Bezeichnung für eine imaginäre Zahl k, m, n Variablen für ganze Zahlen x, y Variablen N Symbol für Zahlenmengen {} Klammern, die eine Menge bezeichnen Symbol für Element in der Menge Subtraktion einer Menge min, max Minimum, Maximum einer gegebenen Zahlenmenge = Ungleichheit Summenzeichen Produktzeichen i, j Subskript, Index Symbol für unendlich W. Kohn, R. Öztürk, Mathematik für Ökonomen, Springer-Lehrbuch, DOI / _1, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009
2 4 1 Zahlenmengen und einige mathematische Symbole 1.2 Zahlenmengen Die Grundlage vieler mathematischer Überlegungen sind Zahlen. Sie können in unterschiedliche Bereiche eingeteilt werden. Beispielsweise gibt es Zahlen, die nur für die einfache Zählung geeignet sind. Andere entstehen aus Brüchen oder durch die Auflösung einer Gleichung. Wenn wir etwas zählen, verwenden wir die Menge der natürlichen Zahlen. Sie wird mit dem SymbolN bezeichnet: N= { 1,2,3,4,... } Häufig wird die Menge der natürlichen Zahlen um die Null erweitert. N 0 = { 0,1,2,3,4,... } Wird die Menge der natürlichen Zahlen mit den negativen Zahlen erweitert, erhält man die Menge der ganzen Zahlen Z. Z= {..., 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,... } Das Verhältnis zweier ganzer Zahlen führt zur Menge der rationalen Zahlen. Es sind die Brüche m n 2, außer der Division mit 0. Zum Beispiel 5 = 0.4 oder 5 3 = Sie werden mit dem SymbolQ bezeichnet. { n } Q= m mit n Z und m Z {0} Die bisher genannten Zahlen sind abzählbar, obwohl alle drei Zahlenmengen N, Z und Q unendlich sind. Die Lösung der Gleichung x 2 = 2 ist nicht in den bisher beschriebenen Zahlenmengen enthalten. Die positive Wurzel von 2 besitzt unendlich viele Nachkommastellen. Es handelt sich um eine algebraische Zahl, da sie aus einem Polynom mit rationalen Koeffizienten entsteht (siehe Kapitel 8.3). Es existieren aber auch irrationale Zahlen, die sich nicht als Lösungen von Gleichungen darstellen lassen. Dies sind zum Beispiel die Kreiszahl π oder die Eulersche Zahl e. Sie heißen transzendente Zahlen. Beide Zahlenarten (algebraische und transzendente) werden zur Menge der irrationalen Zahlen zusammengefasst. Die Menge der irrationalen Zahlen ist nicht mehr abzählbar. Die Erweiterung der rationalen Zahlen um die irrationalen Zahlen führt zu der Obermenge der reellen Zahlen mit dem SymbolR. R= { x mit <x<+ } Auf dem Zahlenstrahl sind alle Punkte besetzt. Es existieren aber noch Zahlen jenseits der reellen Zahlen. Die Lösung der Gleichung x 2 = 2 führt zur Wurzel (siehe Kapitel 2.4) einer negativen Zahl: x= 2. Sie ist nicht Teilmenge der reellen Zahlen. Das Quadrat jeder reellen Zahl ist positiv. Daher können negative reelle Zahlen keine reellen Wurzeln haben. Mit der Einführung der Definition i 2 = 1 wird die Menge der reellen Zahlen zu der Menge der
3 1.3 Summenzeichen 5 komplexen Zahlen mit dem Symbol C erweitert. Die Elemente dieser Menge haben die Form c=a+bi, wobei a und b Elemente der reellen Zahlen sind. Die Zahl c ist zusammengesetzt aus einem Realteil a und einem Imaginärteil bi. C= { c=a+bi mit a,b R } Mit der obigen Herleitung haben wir die Menge der Zahlen beschrieben und beobachten folgende Beziehung unter den beschriebenen Mengen: N Z Q R C 1.3 Summenzeichen Das Summenzeichen steht als Wiederholungszeichen für die fortgesetzte Addition. a i = a 1 + a a n (1.1) In der Gleichung (1.1) bezeichnet man i als Summationsindex, der hier mit eins beginnt und jeweils um eins hochgezählt wird bis die Obergrenze n erreicht ist. Der Index i kann mit jeder ganzen Zahl beginnen und enden. Beispiel x i = x 2 + x 1 + x 0 + x 1 i= 2 Mit negativen Indizes werden in der Ökonomie oft Werte aus der Vergangenheit, mit positiven Indizes zukünftige Werte und mit dem Index Null der Wert der Gegenwart bezeichnet. Das Summenzeichen ist nützlich, um größere Summen übersichtlich darzustellen, deren Wert zu berechnen ist. Es gelten die folgenden Rechenregeln, die sich aus den Rechengesetzen ergeben: Gleiche Summationsgrenzen: Beispiel 1.2. a i + b i = (a i + b i ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) = 1a b1 a2 b2 a3 b3
4 6 1 Zahlenmengen und einige mathematische Symbole Additive Konstante: Beispiel 1.3. (a i + c)= a i + nc 10 ( ai + 1 ) 10 =(a 1 + 1)+...+(a )= a i + 10 Multiplikative Konstante: ca i = c Beispiel i 2 = 3 i 2 = 3 ( ) = 90 Summenzerlegung: a i a i = a i + i=m+1 a i für m<n Beispiel i= i = 15 i=4 Das Summenzeichen kann auch doppelt oder mehrfach hintereinander auftreten. Zwei Summenzeichen treten zum Beispiel hintereinander auf, wenn in einer Tabelle alle Werte addiert werden sollen. Die Zeilen einer Tabelle werden in der Regel mit i indiziert und die Spalten einer Tabelle mit j. Die Werte in den Tabellenfeldern werden dann mit a i j bezeichnet (siehe Tabelle 1.1). Tabelle 1.1: Zweidimensionale Tabelle mit Randsummen a 11 a 1 j a 1m mj=1 a 1 j a i1 a i j a im mj=1 a i j a n1 a n j a nm... mj=1 a n j n a i1 n a i j n a n mj=1 im a i j
5 1.3 Summenzeichen 7 Wie in der oben stehenden Tabelle ersichtlich, können mit der Doppelsumme alle Werte der Tabelle addiert werden. Dabei ist es egal, ob erst die Zeilen und dann die Spalten addiert werden oder umgekehrt. a 1 j + a 2 j + + a n j = j=1 a i1 + j=1 a i2 + + j=1 a im = j=1 a i j = j=1 j=1 j=1 Lediglich die Reihenfolge der Summation ist unterschiedlich. Nach dem ersten Kommutativgesetz führt dies zu keiner Ergebnisänderung. Beispiel 1.6. j=1 a i j a i j a i j 3 (b i j + i j)=(b )+(b )+(b ) +(b )+(b )+(b ) 3 = 18+ j=1 b i j Übung 1.1. Berechnen Sie folgende Ausdrücke für x=5,2,1,2 und y=1,2,3,4: 4 x i 4 x i y i 4 ( xi + 3 ) Übung 1.2. Berechnen Sie die folgenden Summen: 5 (n 1) 2 (n+2) n=2 5 k=1 ( 1 k 1 ) k+1
6 8 1 Zahlenmengen und einige mathematische Symbole Übung 1.3. Ist die Doppelsumme gleich der Summe j=1 x i j=1 x i j x j? 1.4 Produktzeichen Das Produktzeichen steht als Wiederholungszeichen für die fortgesetzte Multiplikation. n a i = a 1 a 2 a n Das Produktzeichen wird wie das Summenzeichen zur übersichtlicheren Darstellung von größeren Produkten verwendet. Es gelten die folgenden Rechenregeln, die sich leicht aus den elementaren Rechenoperationen ableiten lassen: Gleiche Produktgrenzen: Multiplikative Konstante: n a i b i = n n a i n n c a i = c n Anmerkung: Im Text wird das Produktzeichen soweit es eindeutig ist durch einen kleinen Freiraum ersetzt. a b= ab a i b i Übung 1.4. Berechnen Sie folgende Ausdrücke für x = 5, 2, 1, 2: 4 x i 5 i 4 2x i
7 1.5 Anwendung in Scilab 9 Übung 1.5. Schreiben Sie das Doppelprodukt aus. 2 2 j=1 x i j 1.5 Anwendung in Scilab Reelle Zahlen werden in Scilab mit einem Punkt als Dezimalzeichen eingegeben. 3.4 Eine Summe wird in Scilab mit sum() berechnet. Soll eine Summe von beliebigen Zahlen berechnet werden, so sind die Zahlen in eckigen Klammern und durch Kommas getrennt einzugeben. sum(1:6) -> 21 sum(3*(1:4)^2) -> 90 sum([3,6,1]) -> 10 Für eine Doppelsumme muss zuerst ein Zahlenfeld (siehe auch Kapitel 5) in Scilab eingegeben werden. Die Zeilen werden durch Semikolon getrennt. Die Doppelsumme über das Zahlenfeld wird durch den einfachen Summenbefehl berechnet. Soll nur die Summe über die Spalten berechnet werden, so muss nach der Angabe der Variablen ein weiteres Argument angegeben werden. In diesem Fall ist es eine 1. Für die Summe über die Zeilen ist das Argument eine 2. tab = [2,3,4;5,6,7] sum(tab) -> 27 sum(tab,1) -> sum(tab,2) 9 18 Das Produkt eines Zahlenfelds wird mit dem Befehl prod() berechnet. prod(tab) -> 5040 prod(tab,1)-> prod(tab,2)
8 10 1 Zahlenmengen und einige mathematische Symbole Für alle Funktionen steht eine Hilfe zur Verfügung. Sie wird mit help aufgerufen. Für die Summenfunktion ist es beispielsweise help sum 1.6 Fazit Die Zahlenmengen sind eine Grundlage der Mathematik. Die reellen Zahlen sind die am häufigsten verwendeten Zahlen. Ferner wird die Mathematik durch eine eigene Symbolik geprägt. Zwei davon sind das Summen- und das Produktzeichen. Sie definieren eine kompakte Schreibweise für die fortgesetzte Addition bzw. Multiplikation.
9
2 Besondere mathematische Funktionen
2 Besondere mathematische Funktionen Inhalt 2.1 Vorbemerkung......... 19 2.2 Summenzeichen... 20 2.3 Produktzeichen......... 23 2.4 Betragsfunktion... 23 2.5 Ganzzahlfunktion....... 24 2.6 PotenzenundWurzeln...
Mehr2 ZAHLEN UND VARIABLE
Zahlen und Variable 2 ZAHLEN UND VARIABLE 2.1 Grundlagen der Mengenlehre Unter einer Menge versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten zu einem Ganzen. Diese Objekte bezeichnet man als
MehrWirtschaftsmathematik: Mathematische Grundlagen
Wirtschaftsmathematik: Mathematische Grundlagen 1. Zahlen 2. Potenzen und Wurzeln 3. Rechenregeln und Vereinfachungen 4. Ungleichungen 5. Intervalle 6. Beträge 7. Lösen von Gleichungen 8. Logarithmen 9.
MehrZahlen und elementares Rechnen
und elementares Rechnen Christian Serpé Universität Münster 7. September 2011 Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September 2011 1 / 51 Gliederung 1 2 Elementares Rechnen 3
MehrKomplexe Zahlen. Bekannte Zahlenmengen. Natürliche Zahlen. Die Zahlenmenge ist IN = {0, 1, 2, 3,...}. Es gelten die folgenden Gesetze:
Mathematik/Informatik Gierhardt Komplexe Zahlen Komplexe Zahlen Bekannte Zahlenmengen Natürliche Zahlen Die Zahlenmenge ist IN = {0,,,,} Es gelten die folgenden Gesetze: Addition: a + b IN, wenn a,b IN
Mehr01. Zahlen und Ungleichungen
01. Zahlen und Ungleichungen Die natürlichen Zahlen bilden die grundlegendste Zahlenmenge, die durch das einfache Zählen 1, 2, 3,... entsteht. N := {1, 2, 3, 4,...} (bzw. N 0 := {0, 1, 2, 3, 4,...}) Dabei
MehrRationale, irrationale und reelle Zahlen. 4-E Vorkurs, Mathematik
Rationale, irrationale und reelle Zahlen 4-E Vorkurs, Mathematik Rationale Zahlen Der Grund für die Einführung der rationalen Zahlen ist der, dass wir mit ihnen auch Gleichungen der Form q x = p lösen
MehrZahlen 25 = = 0.08
2. Zahlen Uns bisher bekannte Zahlenbereiche: N Z Q R ( C). }{{} später Schreibweisen von rationalen/reellen Zahlen als unendliche Dezimalbrüche = Dezimalentwicklungen. Beispiel (Rationale Zahlen) 1 10
MehrGrundlagen komplexe Zahlen. natürliche Zahlen
Grundlagen komplexe Zahlen Die Zahlenbereichserweiterungen von den natürlichen Zahlen hin zu den reellen Zahlen waren dadurch motiviert, bestimmte Rechenoperationen uneingeschränkt ausführen zu können.
MehrZahlen und elementares Rechnen (Teil 1)
und elementares Rechnen (Teil 1) Dr. Christian Serpé Universität Münster 6. September 2010 Dr. Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen (Teil 1) 6. September 2010 1 / 40 Gliederung
MehrCorinne Schenka Vorkurs Mathematik WiSe 2012/13. Die kleineren Zahlbereiche sind jeweils Teilmengen von größeren Zahlbereichen:
2. Zahlbereiche Besonderheiten und Rechengesetze Die kleineren Zahlbereiche sind jeweils Teilmengen von größeren Zahlbereichen: 2.1. Die natürlichen Zahlen * + besitzt abzählbar unendlich viele Elemente
Mehr2. Zahlenmenge, Aufbau des Zahlensystems 2.1 Natürliche Zahlen N Die natürlichen Zahlen bilden eine Menge: N = {1, 2, 3, 4,... }. N ist abgeschlossen
2. Zahlenmenge, Aufbau des Zahlensystems 2.1 Natürliche Zahlen N Die natürlichen Zahlen bilden eine Menge: N = {1, 2, 3, 4,... }. N ist abgeschlossen bezüglich der Addition und Multiplikation: a, b N mit
MehrSummenzeichen. Gymnasium Immensee Vertiefungskurs Mathematik. Bettina Bieri
Summenzeichen Gymnasium Immensee Vertiefungskurs Mathematik Bettina Bieri 24. Juli 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen: Summenzeichen 1 1.1 Der Aufbau des Summenzeichens................ 1 1.1.1 Aufgaben.........................
MehrBrückenkurs Mathematik für Studierende der Chemie
Brückenkurs Mathematik für Studierende der Chemie PD Dr Dirk Andrae (nach Vorlagen von Dr Werner Gans vom WS 2015/2016) Institut für Chemie und Biochemie Freie Universität Berlin 20 September 2016 1 Teil:
MehrDa diese Zahlenmenge nicht unter Subtraktion abgeschlossen ist, erweitert man sie zur Menge der ganzen Zahlen
Kapitel 2 Die reellen Zahlen Die reellen Zahlen werden zunächst und vorübergehend als Dezimalzahlen eingeführt. Die wichtigsten Eigenschaften werden aus dieser Darstellung hergeleitet, mit denen dann die
MehrMathematik Quadratwurzel und reelle Zahlen
Mathematik Quadratwurzel und reelle Zahlen Grundwissen und Übungen a : a a Stefan Gärtner 1999 004 Gr Mathematik elementare Algebra Seite Inhalt Inhaltsverzeichnis Seite Grundwissen Definition Quadratwurzel
MehrMATHEMATIK FÜR NATURWISSENSCHAFTLER I WINTERSEMESTER 2016/ OKTOBER 2016
MATHEMATIK FÜR NATURWISSENSCHAFTLER I WINTERSEMESTER 2016/17 MARK HAMILTON LMU MÜNCHEN 1.1. Grundbegriffe zu Mengen. 1. 17. OKTOBER 2016 Definition 1.1 (Mengen und Elemente). Eine Menge ist die Zusammenfassung
MehrDa diese Zahlenmenge nicht unter Subtraktion abgeschlossen ist, erweitert man sie zur Menge der ganzen Zahlen
Kapitel 2 Die reellen Zahlen Die reellen Zahlen werden zunächst und vorübergehend als Dezimalzahlen eingeführt. Die wichtigsten Eigenschaften werden aus dieser Darstellung hergeleitet, mit denen dann die
MehrReelle Zahlen, Gleichungen und Ungleichungen
9 2. Vorlesung Reelle Zahlen, Gleichungen und Ungleichungen 4 Zahlenmengen und der Körper der reellen Zahlen 4.1 Zahlenmengen * Die Menge der natürlichen Zahlen N = {0,1,2,3,...}. * Die Menge der ganzen
MehrMathematik 1 für Chemische Technologie 2. Zahlenmenge, Aufbau des Zahlensystems 2.1 Natürliche Zahlen N Die natürlichen Zahlen bilden eine Menge: N =
2. Zahlenmenge, Aufbau des Zahlensystems 2.1 Natürliche Zahlen N Die natürlichen Zahlen bilden eine Menge: N = {1, 2, 3, 4,... }. N ist abgeschlossen bezüglich der Addition und Multiplikation: a, b N mit
MehrMathematik für Ökonomen
Springer-Lehrbuch Wolfgang Kohn Riza Öztürk Mathematik für Ökonomen Ökonomische Anwendungen der linearen Algebra und Analysis mit Scilab 123 Prof Dr Wolfgang Kohn Prof Dr Riza Öztürk Fachhochschule Bielefeld
MehrMathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16
Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16 21. Januar 2016 Definition 8.1 Eine Menge R zusammen mit zwei binären Operationen
MehrAddition, Subtraktion und Multiplikation von komplexen Zahlen z 1 = (a 1, b 1 ) und z 2 = (a 2, b 2 ):
Komplexe Zahlen Definition 1. Eine komplexe Zahl z ist ein geordnetes Paar reeller Zahlen (a, b). Wir nennen a den Realteil von z und b den Imaginärteil von z, geschrieben a = Re z, b = Im z. Komplexe
MehrRudolf Brinkmann Seite 1 30.04.2008
Rudolf Brinkmann Seite 1 30.04.2008 Der Mengenbegriff und Darstellung von Mengen Eine Menge, ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung und unseres Denkens welche
MehrGRUNDLAGEN MATHEMATIK
Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik GRUNDLAGEN MATHEMATIK 6. Komplexe Zahlen Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 2015/16 G. Matthies Grundlagen
MehrVorkurs Mathematik Dozent: Dipl.-Math. Karsten Runge.
Vorkurs Mathematik 17.08.-28.08.15 Dozent: Dipl.-Math. Karsten Runge E-mail: karsten.runge@hs-bochum.de www.hs-bochum.de\imt > Mathematik-Vorkurs > Mathematik-Werkstatt Die Mathematik-Werkstatt bietet
MehrWirtschafts- und Finanzmathematik
Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA Wirtschafts- und Finanzmathematik für Betriebswirtschaft und International Management Wintersemester 2016/17 Organisation Termine, Personen, Räume Gliederung 1 Grundlegende
Mehr1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen
1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Das Studium linearer Gleichungssysteme und ihrer Lösungen ist eines der wichtigsten Themen der linearen Algebra. Wir werden zunächst einige grundlegende Begriffe
MehrDemo für
SUMMENZEICHEN Regeln und Anwendungen Gebrauchs des Summenzeichens mit Aufgaben aus vielen Bereichen für Angela Datei Nr. 4 Stand:. Oktober INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Demo für 4 Summenzeichen
MehrMathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 8 2. Semester ARBEITSBLATT 8 DIE REELLEN ZAHLEN
Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 8. Semester ARBEITSBLATT 8 DIE REELLEN ZAHLEN Bisher kennen wir bereits folgende Zahlenbereiche: N Natürliche Zahlen Z Ganze Zahlen Q Rationale Zahlen Bei
MehrInhaltsübersicht. Definition und erste Eigenschaften komplexer Zahlen
Inhaltsübersicht Kapitel 4: Die Macht des Imaginären: Komplexe Zahlen Definition und erste Eigenschaften komplexer Zahlen Die Polardarstellung komplexer Zahlen Polynome im Komplexen Exponentialfunktion
MehrMathe Leuchtturm-Übungen-5.& UE-Klasse (3./4.)-Nr.004-Lückentext-Zahlenmengen- C by Joh Zerbs
1 Mathe Leuchtturm Übungsleuchtturm 5.Kl. 004 =Übungskapitel zu Symbolen und Mengen Sprache der Mathematik Erforderlicher Wissensstand (->Stoffübersicht im Detail siehe auch Wissensleuchtturm der 5.Klasse)
MehrVorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (A)
1 Vorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (A) Wintersemester 2016/17 Kapitel 1: Zahlen Prof. Dr. Gerald Warnecke Nach Folienvorlage von Prof. Dr. Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg http://fma2.math.uni-magdeburg.de:8001
Mehr1 Körper. Wir definieren nun, was wir unter einem Körper verstehen, und sehen dann, dass es noch andere, ganz kleine Körper gibt:
1 Körper Sie kennen bereits 2 Beispiele von Zahlkörpern: (Q, +, ) (R, +, ) die rationalen Zahlen mit ihrer Addition und Multiplikation die reellen Zahlen mit ihrer Addition und Multiplikation Vielleicht
MehrZahlen und Gleichungen
Kapitel 2 Zahlen und Gleichungen 21 Reelle Zahlen Die Menge R der reellen Zahlen setzt sich zusammen aus den rationalen und den irrationalen Zahlen Die Mengen der natürlichen Zahlen N, der ganzen Zahlen
MehrMathematischer Vorkurs NAT-ING1
Mathematischer Vorkurs NAT-ING1 (02.09. 20.09.2013) Dr. Robert Strehl WS 2013-2014 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 40 Kapitel 12 Komplexe Zahlen Kapitel 12 Komplexe Zahlen Mathematischer Vorkurs
MehrVollständigkeit; Überabzählbarkeit und dichte Mengen) Als typisches Beispiel für die reellen Zahlen dient die kontinuierlich ablaufende Zeit.
Kapitel 4 Reelle Zahlen 4.1 Die reellen Zahlen (Schranken von Mengen; Axiomatik; Anordnung; Vollständigkeit; Überabzählbarkeit und dichte Mengen) Als typisches Beispiel für die reellen Zahlen dient die
MehrKörper sind nullteilerfrei
Mathematik I für Informatiker Komplexe Zahlen p. 1 Körper sind nullteilerfrei Für Elemente a, b eines Körpers gilt stets: Aus a b = 0 folgt a = 0 oder b = 0. Beweis: Aus a b = 0 und a 0 folgt also b =
Mehr3 Zahlen und Arithmetik
In diesem Kapitel werden Zahlen und einzelne Elemente aus dem Bereich der Arithmetik rekapituliert. Insbesondere werden die reellen Zahlen eingeführt und einige Rechenregeln wie Potenzrechnung und Logarithmieren
MehrEiniges über komplexe Zahlen
Lineare Algebra und Analytische Geometrie I für LB WS 2001/2002 Dr. Bruno Riedmüller Einiges über komplexe Zahlen Es muss davon ausgegangen werden, dass der Leser mit komplexen Zahlen wenig oder nicht
MehrADDIEREN UND SUBTRAHIEREN VON TERMEN POTENZSCHREIBWEISE
ADDIEREN UND SUBTRAHIEREN VON TERMEN UND DIE POTENZSCHREIBWEISE ) VARIABLE Beispiel: Ein Rechteck habe einen Umfang von 0 cm. Gib Länge und Breite des Rechtecks in einer Formel an. Es ist natürlich leicht
MehrMan kann die natürlichen Zahlen in verschiedenen Klassen einteilen:
A.1.1 Zahlenmengen Die Menge der natürlichen Zahlen, die mit N bezeichnet werden N = {1, 2, 3, 4, 5,... } benutzen wir im Alltag, um mehrere gleichartige Gegenstände zu zählen. Es gibt unendlich viele
MehrStefan Ruzika. 24. April 2016
Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 24. April 2016 Stefan Ruzika 2: Körper 24. April 2016 1 / 21 Gliederung 1 1 Schulstoff 2 Körper Definition eines Körpers
Mehr2 Zahlen und Zahlensysteme
2 ZAHLEN UND ZAHLENSYSTEME 10 2 Zahlen und Zahlensysteme In diesem Kapitel definieren wir zunächst einige wichtige Zahlenmengen und führen dann Strukturen ein, z. B. mittels Operationen wie Addition und
MehrDieses Kapitel vermittelt:
2 Funktionen Lernziele Dieses Kapitel vermittelt: wie die Abhängigkeit quantitativer Größen mit Funktionen beschrieben wird die erforderlichen Grundkenntnisse elementarer Funktionen grundlegende Eigenschaften
Mehr1 Potenzen und Polynome
1 Potenzen und Polynome Für eine reelle Zahl x R und eine natürliche Zahl n N definieren wir x n := x x x... x }{{} n-mal Einschub über die bisher aufgetretenen mathematischen Symbole: Definition mittels
MehrReelle Zahlen (R)
Reelle Zahlen (R) Bisher sind bekannt: Natürliche Zahlen (N): N {,,,,,6... } Ganze Zahlen (Z): Z {...,,,0,,,... } Man erkennt: Rationale Zahlen (Q):.) Zwischen den natürlichen Zahlen befinden sich große
MehrVorkurs Mathematik 1
Vorkurs Mathematik 1 Einführung in die mathematische Notation Konstanten i komplexe Einheit i 2 + 1 = 0 e Eulersche Zahl Kreiszahl 2 Einführung in die mathematische Notation Bezeichner Primzahlen, Zähler
Mehr2 Die Körper-Axiome. I. Axiome der Addition (A.1) Assoziativgesetz. Für alle x, y, z R gilt (x + y)+z = x +(y + z).
17 Wir setzen in diesem Buch die reellen Zahlen als gegeben voraus. Um auf sicherem Boden zu stehen, werden wir in diesem und den folgenden Paragraphen einige Axiome formulieren, aus denen sich alle Eigenschaften
Mehr2. Mathematische Grundlagen
2. Mathematische Grundlagen Erforderliche mathematische Hilfsmittel: Summen und Produkte Exponential- und Logarithmusfunktionen 21 2.1 Endliche Summen und Produkte Betrachte n reelle Zahlen a 1, a 2,...,
Mehr2 RECHENGESETZE 2 auch dieses Rechengesetz gilt, wenn einmal bewiesen, natürlich vorwärts wie rückwärts, also gilt dann ebenfalls: Es folgt wieder der
1 DEFINITION DER POTENZIERUNG 1 Potenzgesetze 1 Definition der Potenzierung Wir definieren für eine rationale Zahl a und eine natürliche Zahl n die Potenzierung wie folgt: a n := a a a ::: a Diese Art
Mehr10 Komplexe Zahlen. 2. Februar Komplexe Multiplikation: Für zwei Vektoren. z 1 =
2. Februar 2009 66 0 Komplexe Zahlen 0. Komplexe Multiplikation: Für zwei Vektoren [ [ a a2 z =, z 2 = in R 2 wird neben der üblichen Addition die komplexe Multiplikation [ a a z z 2 := 2 b b 2 a b 2 +
MehrKapitel 3. Reelle Zahlen. Mit reellen Zahlen rechnen können wir im Prinzip schon. Wir können addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren.
Kapitel 3 Reelle Zahlen Mit reellen Zahlen rechnen können wir im Prinzip schon. Wir können addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Division durch Null ist nicht erlaubt! 3.1 Ergänzungen
MehrVokabelliste FB Mathematik Vokabeln 7./8. Klasse // Vokabeln 9./10. Klasse // Vokabeln Sek II. Mengenbegriffe:
Vokabeln 7./8. Klasse // Vokabeln 9./10. Klasse // Vokabeln Sek II Mathematik Symbol, Definition Deutsch Erklärung Mengenbegriffe: natürlichen Zahlen natürlichen Zahlen inkl. der 0 ganzen Zahlen rationalen
MehrMathematischer Vorkurs NAT-ING II
Mathematischer Vorkurs NAT-ING II (02.09.2013 20.09.2013) Dr. Jörg Horst WS 2013-2014 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 252 Kapitel 15 Komplexe Zahlen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite
MehrDie Menge C der komplexen Zahlen wird im Kapitel Weitere Themen behandelt.
1 1 Funktionen 1.1 Grundlegende Zahlenmengen Georg Cantor (1845-1918) hat den Begriff der Menge eingeführt. Man versteht darunter die Zusammenfassung einzelner Dinge, welche Elemente genannt werden, zu
MehrMathematik 1 für Naturwissenschaften
Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften Modul 0 Einführung Hans Walser: Modul 0, Einführung ii Inhalt Zahlen.... Natürliche Zahlen.... Ganze Zahlen.... Rationale Zahlen.... Reelle Zahlen... Smbole....
MehrVollständigkeit der reellen Zahlen
Vollständigkeit der reellen Zahlen Vorlesung zur Didaktik der Analysis Oliver Passon Vollständigkeit von R 1 take home message I Wollte man mit Zahlen nur rechnen, könnte man mit den rationalen Zahlen
Mehr2 Lineare Gleichungssysteme
2 Lineare Gleichungssysteme Betrachte ein beliebiges System von m linearen Gleichungen in den n Unbekannten x,,x n : a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 () a m x + a m2 x
MehrMatrizen. a12 a1. a11. a1n a 21. a 2 j. a 22. a 2n. A = (a i j ) (m, n) = i te Zeile. a i 1. a i 2. a i n. a i j. a m1 a m 2 a m j a m n] j te Spalte
Mathematik I Matrizen In diesem Kapitel werden wir lernen was Matrizen sind und wie man mit Matrizen rechnet. Matrizen ermöglichen eine kompakte Darstellungsform vieler mathematischer Strukturen. Zum Darstellung
Mehr2 Die komplexen Zahlen als reeller Vektorraum
Erik Werner Algebraizität und Transzendenz 1 Humboldt-Universität zu Berlin Institut für Mathematik Berufsbezogenes Fachseminar - Zahlentheorie Dozent: Prof. Dr. Jürg Kramer WS 14/15, 8.12.14 Referent:
MehrAufgabensammlung Klasse 8
Aufgabensammlung Klasse 8 Inhaltsverzeichnis 1 Potenzen mit natürlichen Hochzahlen 3 1.1 Rechenregeln für das Rechnen mit Potenzen..................... 3 1.1.1 Addition und Subtraktion von Potenzen...................
MehrUnter dem Symbol n! (gelesen n Fakultät) versteht man das Produkt der natürlichen Zahlen von 1 bis n.
Die Fakultät Definition: Unter dem Symbol n! (gelesen n Fakultät) versteht man das Produkt der natürlichen Zahlen von 1 bis n. n! = 1 2 3... (n 2) (n 1) n Zusätzlich wird definiert 0! = 1 Wie aus der Definition
MehrZahlen und metrische Räume
Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} Ganze Zahlen : Aus
MehrVorkurs Mathematik. JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer. September/Oktober Lennéstraße 43, 1. OG
Vorkurs Mathematik JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Lennéstraße 43, 1. OG pinger@uni-bonn.de September/Oktober 2017 JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober
MehrKomplexe Zahlen. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden
Komplexe Zahlen Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de Körper sind nullteilerfrei Für Elemente a, b eines Körpers gilt stets: Aus a b = 0 folgt a
Mehr3. Diskrete Mathematik
Diophantos von Alexandria um 250 Georg Cantor 1845-1918 Pythagoras um 570 v. Chr Pierre de Fermat 1607/8-1665 Seite 1 Inhalt der Vorlesung Teil 3: Diskrete Mathematik 3.1 Zahlentheorie: Abzählbarkeit,
MehrZahlen. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden
Zahlen Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de Die natürlichen Zahlen Für eine beliebige Menge S definiert man den Nachfolger S + durch S + := S {S}.
MehrDie komplexen Zahlen
Die komplexen Zahlen Wir haben gesehen, dass die Menge R der reellen Zahlen einen angeordneten Körper bildet und dass für die Menge Q der rationalen Zahlen entsprechendes gilt. In beiden Körpern sind Gleichungen
Mehr1.2 Mengenlehre I-Einführung in die reellen Zahlen
.2 Mengenlehre I-Einführung in die reellen Zahlen Inhaltsverzeichnis Checkliste 2 2 Repetition 2 3 Dezimalzahlen 3 4 Die Darstellung von Brüchen als Dezimalzahlen 3 5 irrationale Zahlen 4 6 Beispiele von
MehrVektoren. Vektorrechnung
Vektoren Dieser Text behandelt das Thema Vektoren, sowei es die gymnasiale Oberstufe betrifft. Vektoren können mehr als das, aber das würde in diesem Überblich zu weit führen. Ein großes Defizit der meisten
MehrVorkurs Mathematik. JProf. Dr. Pia Pinger. April Lennéstraße 43, 1. OG
Vorkurs Mathematik JProf. Dr. Pia Pinger Lennéstraße 43, 1. OG pinger@uni-bonn.de April 2017 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik April 2017 1 / 74 Ein paar Tipps vorab Be gritty : Perseverance and
MehrMathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010
Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Lektion 4 23. Oktober 2009 Kapitel 1. Mengen, Abbildungen und Funktionen (Fortsetzung) Berechnung der Umkehrfunktion 1. Man löst die vorgegebene Funktionsgleichung
MehrIrrationale Zahlen. Drei einfache Beweise für die Irrationalität von Zahlen
Astrophysikalisches Institut Neunhof Mitteilung sd01311, Februar 2010 1 Irrationale Zahlen Drei einfache Beweise für die Irrationalität von Zahlen Übersicht Nach einer kurzen Überlegung im Abschnitt 1
MehrVorkurs: Mathematik für Informatiker
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 3 Wintersemester 2016/17 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil
MehrA Die Menge C der komplexen Zahlen
A Die Menge C der komplexen Zahlen (Vgl. auch Abschnitt C) A.1 Definition Wir erweitern R um eine Zahl i / R (genannt imaginäre Einheit) mit der Eigenschaft i 2 i i = 1. (653) Unter einer komplexen Zahl
Mehrax 2 + bx + c = 0, (4.1)
Kapitel 4 Komplexe Zahlen Wenn wir uns auf die reellen Zahlen beschränken, ist die Operation des Wurzelziehens (also die Umkehrung der Potenzierung) nicht immer möglich. Zum Beispiel können wir nicht die
Mehr1.Rationale und irrationale Zahlen. Quadratwurzel.
1.Rationale und irrationale Zahlen 1.1Quadratwurzeln Die Quadratwurzel aus einer rationalen Zahl 5 = 5; denn 5 = 5 und 5 > 0 r > 0 (geschrieben r ) ist diejenige nichtnegative Zahl, deren Quadrat r ergibt.
MehrVorkurs Mathematik. JProf. Dr. Pia Pinger. September/Oktober Lennéstraße 43, 1. OG
Vorkurs Mathematik JProf. Dr. Pia Pinger Lennéstraße 43, 1. OG pinger@uni-bonn.de September/Oktober 2017 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober 2017 1 / 74 Ein paar Tipps vorab Be gritty
MehrKomplexe Zahlen und Allgemeines zu Gruppen
Komplexe Zahlen und Allgemeines zu Gruppen Die komplexen Zahlen sind von der Form z = x + iy mit x, y R, wobei i = 1 als imaginäre Einheit bezeichnet wird. Wir nennen hierbei Re(z = x den Realteil von
Mehr1 Algebraische Strukturen
Prof. Dr. Rolf Socher, FB Technik 1 1 Algebraische Strukturen In der Mathematik beschäftigt man sich oft mit Mengen, auf denen bestimmte Operationen definiert sind. Es kommt oft vor, dass diese Operationen
MehrMathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 7: Komplexe Zahlen
Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 7: Komplexe Zahlen www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/hs2014/other/mathematik1 BIOL Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/ farkas 1/60
Mehr1. Gruppen. 1. Gruppen 7
1. Gruppen 7 1. Gruppen Wie schon in der Einleitung erläutert wollen wir uns in dieser Vorlesung mit Mengen beschäftigen, auf denen algebraische Verknüpfungen mit gewissen Eigenschaften definiert sind.
MehrDie Menge der reellen Zahlen vereinigt die Menge der rationalen Zahlen mit der Menge der irrationalen
9 Menge der natürlichen Zahlen Axiome von Peano: 1. 1 ist eine natürliche Zahl. 2. Jede Zahl a hat einen bestimmten Nachfolger a + in der Menge der natürlichen Zahlen.. Stets ist a + 1, d.h. es gibt keine
Mehr(a) Motivation zur Definition komplexer Zahlen
1 Anhang B (a) Motivation zur Definition komplexer Zahlen Neue Zahlen wurden stets dann definiert, wenn die Anwendung von Rechenoperationen auf bekannte Zahlen innerhalb der Menge letzterer keine Lösung
MehrMengenlehre. ALGEBRA Kapitel 1 MNProfil - Mittelstufe KZN. Ronald Balestra CH Zürich Name: Vorname:
Mengenlehre ALGEBRA Kapitel 1 MNProfil - Mittelstufe KZN Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 21. August 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Mengenlehre 1 1.1 Die Menge im mathematischen
MehrNeben der Addition tritt nun die Multiplikation als weitere Struktureigenschaft
Kapitel 3 Rationale Zahlen 31 Die rationalen Zahlen (Körper, Abzählbarkeit) Was ist mit der Gleichung z q = w in Z? Für gegebene z, w Z ist diese Gleichung in der Menge der ganzen Zahlen im Allgemeinen
MehrALGEBRA UND MENGENLEHRE
ALGEBRA UND MENGENLEHRE EINE EINFÜHRUNG GRUNDLAGEN DER ALGEBRA 1 VARIABLE UND TERME In der Algebra werden für Grössen, mit welchen gerechnet wird, verallgemeinernd Buchstaben eingesetzt. Diese Platzhalter
MehrDieses Kapitel widmet sich den komplexen Zahlen. Die in den folgenden Kapiteln dargestellten Themen können damit
Komplexe Zahlen Dieses Kapitel widmet sich den komplexen Zahlen. Die in den folgenden Kapiteln dargestellten Themen können damit komplex gelesen werden. Allerdings ist diese Sichtweise nicht unbedingt
MehrKapitel II. Vektoren und Matrizen
Kapitel II. Vektoren und Matrizen Vektorräume A Körper Auf der Menge R der reellen Zahlen hat man zwei Verknüpfungen: Addition: R R R(a, b) a + b Multiplikation: R R R(a, b) a b (Der Malpunkt wird oft
MehrDie komplexen Zahlen werden definiert als die geordneten Paare z = (x, y) reeller Zahlen x, y R, zusammen mit den Rechenoperationen
2 Komplexe Zahlen 2.1 Definition Die omplexen Zahlen werden definiert als die geordneten Paare z = (x, y) reeller Zahlen x, y R, zusammen mit den Rechenoperationen z 1 + z 2 (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) :=
MehrMengen (siehe Teschl/Teschl 1.2)
Mengen (siehe Teschl/Teschl 1.2) Denition nach Georg Cantor (1895): Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten und wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem
Mehr2 Rationale und reelle Zahlen
2 reelle Es gibt Mathematik mit Grenzwert (Analysis) und Mathematik ohne Grenzwert (z.b Algebra). Grenzwerte existieren sicher nur dann, wenn der Zahlbereich vollständig ist, also keine Lücken aufweist
MehrMathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 8 1. Semester ARBEITSBLATT 8 RECHNEN MIT POTENZEN. 1) Potenzen mit negativer Basis
ARBEITSBLATT 8 RECHNEN MIT POTENZEN ) Potenzen mit negativer Basis Zur Erinnerung: = = 6 Der Eponent gibt also an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert werden muss. Die Basis muss natürlich
MehrDefinitions- und Formelübersicht Mathematik
Definitions- Formelübersicht Mathematik Definitions- Formelübersicht Mathematik Mengen Intervalle Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlunterschiedenen Elementen zu einem Ganzen. Dabei muss entscheidbar
Mehr3 Matrizenrechnung. 3. November
3. November 008 4 3 Matrizenrechnung 3.1 Transponierter Vektor: Die Notation x R n bezieht sich per Definition 1 immer auf einen stehenden Vektor, x 1 x x =.. x n Der transponierte Vektor x T ist das zugehörige
MehrBeispiele 1. Gegeben ist das lineare System. x+4y +3z = 1 2x+5y +9z = 14 x 3y 2z = 5. Die erweiterte Matrix ist
127 Die Schritte des Gauß-Algorithmus sind nun die Folgenden: 1. Wir bestimmen die am weitesten links stehende Spalte, die Einträge 0 enthält. 2. Ist die oberste Zahl der in Schritt 1 gefundenen Spalte
MehrDie komplexen Zahlen
Die komplexen Zahlen Dr. Bommhardt. Das Vervielfältigen dieses Arbeitsmaterials zu nicht kommerziellen Zwecken ist gestattet. www.bommi2000.de 1 Die nicht lösbaren quadratischen Gleichungen Seite 1 2 Das
MehrVorlesung. Mathematik 1. Prof. Dr. M Herty (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
Vorlesung Mathematik 1 Prof. Dr. M Herty (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 1 / 30 Vorlesung Mathematik 1 Prof. Dr. M Herty Diese Vorlesung: Mengen Reelle Zahlen Elementare Funktionen Anwendungsbeispiel:
Mehr