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1 SUMMENZEICHEN Regeln und Anwendungen Gebrauchs des Summenzeichens mit Aufgaben aus vielen Bereichen für Angela Datei Nr. 4 Stand:. Oktober INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Demo für

2 4 Summenzeichen Vorwort Der Gebrauch des Summenzeichens kommt in Lehrbüchern fast immer zu kurz. Ich kam daher einem Wunsch nach, dem Summenzeichen doch einen Text auf der Mathe-CD zu widmen. Recherchen im Internet zeigten mir, dass sich die meisten Autoren mit wenigen Seiten begnügen. Doch als ich dann begonnen hatte zusammenzustellen, was alles in diesen Text hinein soll, wurde dieser immer länger und hat jetzt weit über Seiten, inklusive der vielen Trainingsaufgaben samt Lösungen, die eigentlich dringend erforderlich sind. Ich lasse diesem Text 4 im Laufe des Jahres drei weitere folgen: 4 enthält Trainingsaufgaben dieses Textes samt Lösungen, sozusagen als ausgegliederte Aufgabensammlung. 4 wird Beispiele und Aufgaben enthalten, die aus Bereichen der Mathematik stammen, wo man das Summenzeichen benötigt. 4 wird die Handhabung des Produktzeichens erläutern. Torgelow am See,. Juni Demo für

3 4 Summenzeichen Inhalt Werte mit Funktionstermen berechnen und addieren 4 Trainingsaufgaben - 4 Trainingsaufgabe Trainingsaufgabe Regeln für das Rechnen mit Summen S: Wie viele Summanden werden addiert? Trainingsaufgabe 7 S Ersetzen der Laufvariablen und Indexverschiebung 4 Trainingsaufgabe 8 4 S Zusammenfassen und Aufsplitten von Summen Trainingsaufgabe 9 7 S4 Ausklammern eines konstanten Faktors 8 Trainingsaufgabe 8 S Zusammenfassen und Zerlegen von Summen 9 Trainingsaufgaben und 9 S Die Linearität Trainingsaufgaben S7 Zusammenfassen von Summen mit Termanpassung 4 Trainingsaufgaben 7 Doppelte Summenzeichen Mehrfachsummen Trainingsaufgabe 4 Trainingsaufgabe 4 Produkte von Summen 7 Trainingsaufgaben 4 und 8 Lösungen der Trainingsaufgaben 4 Demo für

4 4 Summenzeichen 4. Werte mit Funktionstermen berechnen und dann addieren Einführungsbeispiel - Erklärung der Hintergründe Wir stellen uns die Aufgabe, die geraden Zahlen von bis 4 zu addieren. Die Summe s kann man so schreiben: s = Man sieht sofort: Will oder kann man nicht alle benötigten Zahlen aufschreiben. weil es sich um zu viele Summanden handelt, besteht eine mögliche Abkürzung darin, Punkte einzufügen. Das bedeutet: Es soll so wie begonnen weiter gehen. Mit so meint man, dass es klar sein muss, welche Zahlen durch die Punkte ersetzt werden. Die Berechnungsvorschrift für die fehlenden Summanden sollte bekannt sein. Berechnungsvorschriften sind zum Beispiel Funktionsterme. Für die Berechnung gerader Zahlen kann man beispielsweise die Funktion g mit der Vorschrift g( x) zusätzlich vereinbaren, dass man für x nur natürliche Zahlen einsetzen darf. = xverwenden. Man muss aber Der Begriff Definitionsbereich beschreibt die Menge der Zahlen, zu denen man einen Funktionswert berechnen kann und soll. Damit g( x) = x die Menge der geraden Zahlen { } Definitionsbereich N = { ; ; ;...} zuweisen. ;4;;... liefert, muss man ihr den Bei Beschränkung auf natürliche Zahlen verwendet man meist die Variable n statt x. Die Funktionsgleichung wird dann so geschrieben: gn ( ) Funktionen mit dem Definitionsbereich N = { ; ; ;...} Ihre Berechnungsvorschrift wird meistens so geschrieben: = n. nennt man Zahlenfolgen, kurz Folgen. a n = n. Dabei verwendet man für n keine Klammern, sondern schreibt die Variable n als Index. Die folgende Tabelle zeigt die Berechnung der geraden Zahlen durch g(n) bzw. a n. = n an = n g = = a = = g = = 4 a = = 4 g = = a = = g4 = 4 = 8 a4 = 4 = 8. 9 g9 ( ) = 9 = 8 a9 = 9 = 8 g ( ) = = 4 a = = 4 n gn ( ) () ( ) ( ) 4 ( ) Demo für Es handelt sich in den Spalten bzw. um genau die Zahlen, die zur Summe s addiert werden.

5 4 Summenzeichen Zurück zu unserer Summenberechnung s = Die Summenbildung wird klarer, wenn man sie etwa so beschreibt: Addiere für s alle Werte, die die Funktion gn ( ) wenn man für n die Zahlen bis einsetzt. Damit kann man unsere Summe s auch so darstellen: () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = nliefert, s = g + g + g + g 4 + g + g g 9 + g () Jetzt ist es viel klarer zu erkennen: Die fehlenden Summanden sind g7 ( ) bis g(8). Einschub (Beispiel ): Bei manchen Summen entsteht das Problem, dass man nicht genau weiß, welche Zahlen durch die Punkte ersetzt worden sind. Bei dem einfachen Beispiel der geraden Zahlen wird es sicher nicht auftreten, aber für eine Summe wie s = benötigt man schon eine ausführliche Erklärung. Sie lautet in diesem Fall: Die Summe s besteht aus Werten der Funktion hn ( ) = n + : s h( ) h( ) h( )... h( ) Die Summenbildung wird klarer, wenn man sie etwa so beschreibt: Addiere für s alle Werte, die die Funktion ( ) Die fehlenden Summanden sind h( 4) bis h( 9. ) hn = n + liefert, wenn man für n die Zahlen bis einsetzt. = An dieser Stelle kommt nun das Summenzeichen ins Spiel. Man liest es Sigma. Dieses Zeichen ist das große griechische S und steht für den Befehl Summiere. Die Gleichung s = g( ) + g( ) + g( ) + g( 4) + g( ) + g( ) g( 9) + g( ) kürzt man damit so ab: s = g( n) g(n) liest man so: Summe der Werte g(n) für n von bis. Der Befehl lautet also: Summiere g() bis g(). Man entnimmt der Schreibweise mit dem Summenzeichen Demo für erstens, dass man Funktionswerte vom Typ g(n) addieren soll und zweitens, dass man für n der Reihe nach die Zahlen bis einsetzen soll. Das setzt man so um: s = g() n = g () + g ( ) g ( )

6 4 Summenzeichen Statt mit der Funktionsschreibweise g(n) oder h(n) usw. zu arbeiten, verwendet man häufiger die Schreibweisen a n für Zahlenfolgen: Die Gleichung s = a+ a + a + a4 + a + a a9 + a kürzt man damit so ab: s = an an liest sich so: Summe der Werte a n für n von bis. Der Befehl lautet also: Summiere a bis a. Man entnimmt der Schreibweise mit dem Summenzeichen erstens, dass man Folgenglieder vom Typ a n addieren soll und zweitens, dass man für n der Reihe nach die Zahlen bis einsetzen soll. Das setzt man so um: = n = s a a a... a Es gibt eine dritte Darstellungsmöglichkeit für Summen. Bisher haben wir Funktionsterme g(n) oder Folgenglieder a n addiert. Stattdessen kann man auch den Funktionsterm hinter das Summenzeichen schreiben und erhält: Dieser Befehl heißt: s = n statt s = g( n) bzw. s = a n Summiere die Werte, die der Term n liefert, wenn man der Reihe nach die Zahlen von bis für n einsetzt. n liest sich so: Summe über n für n von bis. Ausführung des Befehls: Oder ausführlicher: Oder gleich so: s = n = n+ n n+ n 9 s = n = Demo für s = n =

7 4 Summenzeichen 7 Zusammenfassung Eine Summe aus Funktionswerten oder Gliedern einer Zahlenfolge lässt sich unter Verwendung des Summenzeichens mathematisch kürzer schreiben. Mit Mit Mit b a kann man eine Summe von Funktionswerten g(n) beschreiben, wobei man für n die angegebenen Zahlen von a bis b einsetzen soll. kann man eine Summe von Gliedern einer Zahlenfolge beschreiben, wobei man für n die angegebenen Zahlen von a bis b einsetzen soll. kann man eine Summe von Werten des Terms n beschreiben, wobei man für n die angegebenen Zahlen von a bis b einsetzen soll. Die Bezeichnungen der Funktionen, Zahlenfolgen, Terme oder Variablen können natürlich variieren. Spezialfall b a b a g( n) a n n s = 8 heißt, dass man Summanden bilden soll, und diese ändern sich nicht, denn sie heißen alle 8. Ausführlich: s = 8 = Kürzer: s = 8 = 8 MERKE: r k = r k HINWEIS Wenn der Summationsbereich bekannt ist, darf man auch diese abkürzende Schreibweise verwenden: a k k Demo für In diesem. Abschnitt wollen wir nur üben, wie man Summenbefehle in verständliche Additionsausdrücke übersetzt. Es geht NICHT darum, diese Summen zu berechnen.

8 4 Summenzeichen 8 Beispiel : Summierung ungerader Zahlen durch s = ( n ) Zusatz: Man erkennt am Summenzeichen, dass man addieren muss. Die Summanden entstehen durch Ersetzen der Variablen n durch die angegebenen Zahlen, die von bis gehen. Also sind Zahlen zu addieren. Man summiert also der Reihe nach die Werte, die der Term n liefert, wenn man für n die Zahlen von bis einsetzt. Dies lässt sich symbolisch so darstellen: ( ) s = n = n + n + n n + n Oder so: ( ) für für für für 49 für s = n = Oder so: ( ) s = n = Mit etwas Übung kann man gleich die. Berechnungsvariante hinschreiben. Oft schreibt man nur die ersten beiden und dann noch den letzten Summanden auf: ( ) s = n = Variationen zu dieser Summenschreibweise Wir haben gesehen, dass der Term n - ungerade Zahlen liefert. Mit diesem Term kann man eine Funktion definieren und dann deren Werte addieren Mit f( n) = n ergibt sich die Summe s so: s = f( n) = f( ) + f( ) f( ) Man kann aber auch eine Zahlenfolge b n definieren und deren Glieder addieren: Mit bn = n ergibt sich die Summe s so: s = b = b + b b. n Wie man die Summe der ungeraden Zahlen schnell berechnet, lehrt uns die Theorie der algebraischen Folgen und Reihen. Weiter gehende Anwendungsbeispiele findet man später in 4. Demo für

9 4 Summenzeichen 9 Beispiel 4: s = ( i+ ) 4 49 Vergleiche zuerst diese Summe mit s (Seite zuvor). Gegenüber Beispiel wurde in dieser Aufgabe zweierlei verändert. Zuerst einmal habe ich an Stelle der Variablen n die Variable i verwendet. Das ändert nichts. Der Buchstabe i wird oft verwendet und soll an das Wort Index erinnern. Darunter versteht man einen tief gestellten Platzhalter. Etwa in ai = i+. Sehr oft verwendet man auch den Index k. Als nächstes fällt auf, dass jetzt die Zahlen, die für i eingesetzt werden, bei beginnen. Es kann aber auch jede andere Zahl als Startzahl angegeben sein! Um etwas Einblick zu bekommen, kann man vorab einige Werte des Terms i+ berechnen: Für i = : a = + = Für i = : a = + = Für i = : a = + = Für i = 49: a49 = 49+ = 99 Man sieht, dass diese Rechenvorschrift dieselben ungeraden Zahlen liefert, die uns der Term n aus Beispiel gebracht hat. Nur berechnen sich diese ungeraden Zahlen auf eine andere Weise. Und so kann man diese Summe s 4 ausführlich aufschreiben: Zusatz: 4 49 ( ) s = i+ = i+ + i+ + i i + 49 Oder so: 4 ( ) für für für für 49 s = i+ = Oder so: 4 ( ) s = i + = Wer wissen will, auf welche Weisen man dieselbe Summe noch darstellen kann, der lese hier weiter. Wir haben in Beispiel gesehen, dass der Term n stets gerade Zahlen liefert. Der Grund ist ersichtlich, denn alle diese sich daraus ergebenden Werte haben den Faktor, sind also gerade. Addiert man zu einer geraden Zahl eine ungerade Zahl, entsteht eine ungerade Zahl. Dies geschieht auch, wenn man von einer geraden Zahl eine ungerade subtrahiert. Daher liefert in Beispiel der Term n - nur ungerade Zahlen, und hier ebenso der Term n +. Wer will, denkt sich beliebige andere Beispiele aus (vielleicht n + ). Sofort wird klar, dass die geraden Zahlen, die der Term n lieferte, zu ungeraden Zahlen werden, wenn man stets addiert. Demo für Es ist nur die Frage, welche Zahlen für n zu verwenden sind, damit die Werte,, 99 entstehen:

10 4 Summenzeichen Für n = : a = + = Für n = : a = + = 7 usw. Für welches n erhält man aber die erste ungerade Zahl? Wann also ist n + =? + = + =. Die Lösung dieser Gleichung ist n = -: ( ) Und für welches n erhält man 99? Aus n + = 99 folgt n = 8 also n = 4. Somit haben wir herausgefunden, dass man die Summe s auch so darstellen kann: Aufgabe Aufgabe Aufgabe 4 ( ) s = n+ n = Wir wollen dies nochmals ausführlich überprüfen: 4 ( ) s = n+ = n+ + n+ + n n+ n = für für für 4 für 4 4 Oder so: ( ) ( ) ( ) ( ) s = n + = n = 4 Oder so: ( ) s = n + = n = Trainingsaufgaben Zeige, dass die folgenden Summen ebenfalls s darstellen: 8 a) ( n 7) b) ( k + ) 9 k= 7 Welche der folgenden Summe ist identisch zu s = n = ? a) ( n ) b) ( n + 4) 4 Korrigiere die nicht passende Summe. 7 Berechne das Ergebnis der folgenden Summen. a) d) n b) ( n+ ) c) ( i 8) (Hier fehlt kein n!!!) 9 Demo für Aufgabe 4 Berechne ai für diese Zahlenfolgen: a) an = n b) an = n+ c) an = 4n d) an = n e) an = n f) an = n

11 4 Summenzeichen Beispiel : s = ( n+ ) Hier werden ganz offensichtlich ebenfalls Quadratszahlen addiert. Doch die Basis der Quadrate ist zunächst der Term n +. Die Summe besteht aus 7 Quadratzahlen. Die folgenden Schreibweisen veranschaulichen Schritt für Schritt, wie man vorgehen kann. So bildet man die 7 Summanden: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s = n + = n + + n + + n n + Und so werden sie berechnet: für für für für ( n ) ( ) ( ) ( )... ( ) s = + = Dies ist eine erste akzeptable Schreibweise: ( ) s = n+ = Und so sieht die Summe wirklich aus. ( ) s = n + = Das Ergebnis ist übrigens 4. Zusatz: Auch die folgenden Summen addieren Quadratzahlen: 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i = = = = ( k + ) = ( ( ) + ) + ( ( ) + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) k= = = = Trainingsaufgaben Aufgabe Berechne die folgenden Summen von Quadratzahlen: Demo für a) ( n+ 4) b) ( k ) 4 7 k= c) ( k 4) d) ( i) k= 8

12 4 Summenzeichen Beispiel : s = ( n n+ ) Jetzt liegt ein Term vor, der als Beispiel für eine aufwändige Berechung stehen soll. Und so ermittelt man diese Summe: Man benötigt die 7 zu addierenden Funktionswerte, die man so berechnet: ( ) für für für für s = n n + = n n + + n n + + n n n n + Und so werden sie dann berechnet: ( ) für für für für s = n n+ = für 4 für für Das sind die 7 Funktionswerte, die man addieren soll: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s = n n+ = +, + +, + +, + Rechts die Berechnung der 7 Werte mit einem CAS-Rechner. Und darunter unterschiedliche Befehle zur Berechnung dieser Summe: Nochmals zum Nachdenken: Würde man nur die ersten und den letzten Summanden notieren, wäre diese Summe völlig unklar: s = + (,) + ( ) =??? Wegen dieser Mehrdeutigkeit kann hier die abkürzende Schreibweise mit den drei Punkten nicht verwendet werden. Aufgabe Trainingsaufgaben Berechne die folgenden Summen: a) ( n + n ) c) Demo für b) f( n) mit ( ) n+ n d) 8 4 n f n = n + 4