Demo: Mathe-CD. Kugel - Grundlagen. Vektorgeometrie. Kugel und Kreis Teil 1. Friedrich Buckel. Stand 16.

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Adolf Richter
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1 Vektorgeometrie Kugel und Kreis Teil 1 Kugel - Grundlagen Datei Nr Stand 16. Juli 009 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 Vorwort Das Thema Kugel steht nicht in allen Lehrplänen der Schulen, die Vektorrechnung betreiben sollen. Die meisten Grundkurse und sogar Leistungskurse behandeln die Kugelgleichung kaum bis gar nicht. Dennoch muss man wissen, dass es eine große Menge an Aufgaben gibt, die dann auch im Abitur vorkommen können, bei denen es um das Thema Kugel geht. Die kann man dann aber lösen, ohne die Kugelgleichung verwenden zu müssen. Es sind also Anwendungs- Aufgaben der metrischen Vektorgeometrie. Dazu gehören etwa Aufgaben wie: Liegt ein Punkt auf einer Kugel, in ihrem Inneren oder außen? Berührt eine Gerade oder Ebene eine Kugel usw. Daher gibt es auch in den Manuskripten zur Kugel einzelne Abschnitte, die ganz ohne die Kugelgleichung auskommen, und die eigentlich Pflichtübung sein müssen.

3 Datei Inhalt 1 Kugelgleichungen Die Vektorgleichung 1 1. Die Koordinatengleichung 1.3 Die schlimmen Koordinatengleichungen Die schlimmen Vektorgleichungen Aufgaben mit Lösungen 9 Lagebeziehungen zwischen Kugel und Punkten 13.1 ohne Kugelgleichung 13. mit Kugelgleichung 15 Lösungen 16 Datei Kugel und Ebene Lagebeziehungen 0 3. Berührpunkt einer Tangentialebene Gleichungen von Tangentialebenen aufstellen Ebene schneidet Kugel in einem Schnittkreis 31 Lösung aller Aufgaben aus (nur auf der Mathematik-CD) Datei Kugel und Gerade Lagebeziehungen Berechnung von Schnittpunkten Warum steht eine Kugeltangente auf dem Berührradius senkrecht? 66 5 Kreis und Gerade Gleichung einer Kreistangente in einem Punkt Gerade als Kreistangente identifizieren Kreistangente parallel zu einer Geraden Kreistangente orthogonal zu einer Geraden Tangente von einem Punkt Q an den Kreis legen 76 Datei Schnitt zweier Kugeln 80 7 Kugelscharen mit gemeinsamem Schnittkreis mit gemeinsamer Tangente mit gemeinsamer Tangentialebene Große Beispielaufgabe 93 Lösung auf CD 94-97

4 65011 Kugel 1 Grundlagen Die Vektorgleichung 1 Kugelgleichungen DEFINITION K P Unter einer Kugel versteht man die Menge aller Punkte, die von einem festen Punkt M den gleichen Abstand r haben. M Liegen diese Punkte außerdem in einer Ebene nennt man die Punktmenge einen Kreis. Hinweis: Spricht man demnach von einer Kugel oder einem Kreis, so meint man immer nur die Kugel als Oberfläche oder den Kreis als Linie. Das Innere einer Kugel gehört demnach mathematisch gesehen nicht zur Kugel, dasselbe gilt für den Kreis. Hier unterscheiden sich Umgangssprache und Fachsprache! Umsetzung der Definition in eine Gleichung: Die Bedingung dafür, dass ein Punkt P auf der Kugel liegt, lautet somit: d(m; P) Der Abstand eines Punktes P von einem Punkt M, dem Mittelpunkt, wird als Betrag des Vektors MP berechnet. Daher kann man diese Bedingung so schreiben:. MP = r d.h. x m = r WISSEN: Merke also: quadriert: x m = r Die Definition des Betrags eines Vektors lautet so: Durch Quadrieren folgt daraus: u = u!!!. u = u u = u Wenn man den Betrag eines Vektors quadriert, erhält man dasselbe Ergebnis, als wenn man den Vektor skalar mit sich selbst multipliziert! O = r Nur wenn man dies weiß, kann man weiter rechnen: Aus x m = r folgt also ( ) x m = r (1) Man nennt dies die vektorielle Kugelgleichung, wobei m der Ortsvektor des Kugelmittelpunktes M und r der Kugelradius ist.

5 65011 Kugel 1 Grundlagen (a) Der Mittelpunkt einer Kugel sei M( 3 1 ) Kugel: 3 x 1 = 5 BEISPIELE, der Radius sei r = 5, dann lautet die Gleichung der b) (c) (d) 1 x 0 = 40 1 x = 49 4 x = 64 3 ist die Gleichung einer Kugel mit dem Mittelpunkt M10 ( 1) r = 40 = 10. ist die Gleichung einer Kugel um den Ursprung M( 0 0 0) Radius r = 7. ist eine zweidimensionale Kugel : und dem Radius = O mit dem Weil die z-koordinaten fehlen, liegt die dargestellte Punktmenge in der x 1 x -Ebene: M 4 3 mit dem Radius 8. Es ist also die Gleichung eines Kreises um ( )

6 65011 Kugel 1 Grundlagen 3 1. Die Koordinatengleichung einer Kugel WISSEN: Das Skalarprodukt wurde für ein kartesisches Koordinatensystem so u1 v1 definiert: u v= u v = uv 1 1+ uv + uv 3 3 u 3 v 3 Daraus folgt: u = u u= u + u + u 1 3 Damit kann man die Kugelgleichung in eine ganz andere Form bringen: Man rechnet die linke Seite so um und erhält dann: x m 1 1 ( x m) = x m = ( x m ) + ( x m ) + ( x m ) x3 m 3 ( ) ( ) ( ) x m + x m + x m = r

7 65011 Kugel 1 Grundlagen 4 BEISPIELE (e) (f) (g) 1 x = 16 3 x 5 = 50 8 (x 3) (x 7) x wird zu: (x 1) (x ) (x 3) = mit Mittelpunkt M13 ( ) 1 3 wird zu: (x ) (x 5) (x 8) =, M( 5 8) = ist eine Kugel mit M( 3 7 0) und r 9 r = 4. und r = 50 = 5. =. (h) (i) (j) x x x Ihre Vektorgleichung lautet + + = ist eine Kugel um den Ursprung M( 0 0 0) x = = ist eine Kugel um M( 3 5 1) (x 3) (y 5) (z 1) 13 (x t) y (x t) 16t. und r = 10. und r = = ist eine Kugel mit dem Mittelpunkt M ( t 0 t) Radius rt 16t 4 t = =. t und dem Für jeden Wert von t erhält man eine Kugel, weshalb die Gleichung eine Kugelschar darstellt. ACHTUNG: Da nichts über t ausgesagt ist, könnte t auch negativ sein. Daher sind die Betragsstriche unbedingt erforderlich. MERKE: t = t!!! Die Koordinaten der Mittelpunkte hängen auch von t ab: M ( t 0 t) t. Diese Mittelpunkte M t liegen übrigens auf einer Geraden, was man so erkennt: Man schreibt den Ortsvektor von M t auf: t m = 0 t und zerlegt ihn: 1 m = t 0 Dies ist die Gleichung einer Geraden. Man nennt sie die Ortskurve der Mittelpunkte. (k) Gegeben sei M( 3 3 ) (l) und r = 15. Die Koordinatengleichung der Kugel lautet dann: (x 3) + (x + 3) + (x + ) = ACHTUNG: In den Klammern stehen stets die umgekehrten Vorzeichen! (x + 5) + x + (x ) = 0 stellt keine Kugel dar. Denn bei einem Radius r = 0 erfüllt nur der 1 3 Mittelpunkt die Gleichung: M( 5 0 ). Diese Gleichung stellt also nur einen Punkt dar. Ich würde dies nicht mehr als Kugel bezeichnen wollen. (m) (x 5) x (x ) = stellt nur noch die leere Menge dar. Denn aus r = 4 folgt keine reelle Zahl mehr. Man kann auch so argumentieren: Die Summe dreier Quadratezahlen ist nie negativ! Die Gleichung wird also von keinem Punktetripel gelöst.

8 65011 Kugel 1 Grundlagen Eine schlimme Koordinatengleichung der Kugel Wenn man die Gleichung dann entsteht diese Form: Sortiert: (x ) (x 6) (x 5) = ausmultipliziert, x 4x x + 1x x 10x + 5 = x + x + x 4x + 1x 10x + 16 = Wenn eine Kugel durch eine solche Gleichung gegeben ist, kann man weder Mittelpunkt noch Radius ablesen. Es wird eine Rechnung notwendig, die diese Umformung rückgängig macht. Das dazu benötigte Verfahren nennt man Quadratische Ergänzung: Gegeben ist: Sortieren: Ziel: Ergebnis: Erklärung: x + x + x 4x + 1x 10x + 16= (x 4x + ) + (x + 1x + ) + (x 10x + ) = (x ) + (x 6 ) + (x 5 ) = (x ) + (x + 6) + (x 5) = Der 1. Schritt besteht im Sortieren der Summanden. Das Absolutglied muss nach rechts. Dann halbiert man die Koeffizienten der Terme ohne Quadrat, es sind die sog. Doppelten Produkte der binomischen Terme, die wir ansteuern. (Blaue Abwärtspfeile). Deren Quadrate werden nun ergänzt (daher der Name des Verfahrens). Sie gehören als 3. Zahl in die Klammern (rote Pfeile aufwärts). Wir dürfen sie aber nur dann hineinschreiben, wenn wie diese 3 Quadrate auch rechts ergänzen. Sonst liegt kein Gleichgewicht mehr vor!! Daher schreibt man sie erst in der 3. Zeile rechts an. Und so sieht die ganze Rechnung normalerweise aus: Ergebnis: M( 6 5) : quadr. : quadr. : quadr. x + x + x 4x + 1x 10x + 16 = (x 4x ) + (x + 1x ) + (x 10x ) = (x ) + (x + 6) + (x 5) = (x ) + (x + 6) + (x 5) = und r = 7.

9 65011 Kugel 1 Grundlagen 6 BEISPIELE Usw.

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