ARBEITSBLATT 14 ANALYTISCHE BERECHNUNGEN AM KREIS

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1 ARBEITSBLATT 14 ANALYTISCHE BERECHNUNGEN AM KREIS Bisher konnten wir lediglich die Fläche, den Umfang oder den Radius eines Kreises berechnen. Es ist uns bisher aber noch nicht möglich, zum Beispiel den Schnittpunkt eines Kreises mit einer Geraden rechnerisch zu ermitteln. Genau darum geht es uns nun. Wir möchten den Kreis in Abhängigkeit von seiner Position in einem Koordinatensstem durch eine Gleichung beschreiben und die verschiedensten Aufgabenstellungen rechnerisch, also nicht zeichnerisch lösen. Als Erstes müssen wir uns dazu einmal eine Gleichung überlegen, die den Kreis beschreibt. DIE KREISGLEICHUNG Als Erstes müssen wir uns überlegen, was ein Kreis überhaupt ist: Definition: Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die zu einem gegebenen Punkt ( Mittelpunkt M) gleichen Abstand haben ( Radius r). Fertigen wir uns dazu eine Skizze an. Um den Beginn leichter zu halten, verwenden wir dazu einen Kreis, der seinen Mittelpunkt im Koordinatenursprung hat. M Nun zeichnen wir einen beliebigen Punkt P des Kreises ein, welcher ja allgemein die Koordinaten P(x/) hat. 1

2 P(x/) M r x Sie erkennen hoffentlich, dass die Größen x, und r stets ein rechtwinkeliges Dreieck bilden (Was für jeden beliebigen Punkt des Kreises gilt). Das heißt, dass wir den pthagoräischen Lehrsatz auf dieses Dreieck anwenden dürfen. Es folgt daraus: x + r Und schon haben wir eine Gleichung gefunden, die allgemein einen Kreis mit dem Mittelpunkt im Ursprung beschreibt. Definition: Jeder Kreis mit dem Mittelpunkt M im Ursprung wird durch die Gleichung k : x + r beschrieben. Durch diese Gleichung lässt sich nun ein Kreis ganz leicht beschreiben. Sehen wir uns dazu Beispiele an: Beispiel: Stellen sie die Gleichung eines Kreises auf, der seinen Mittelpunkt im Ursprung hat und den Radius 4 hat. Der Kreis muss der Gleichung x + r entsprechen. Wir müssen nur r einsetzen und schon haben wir die Kreisgleichung: k : x + 16 Beispiel: Stellen sie die Gleichung eines Kreises auf, der seinen Mittelpunkt im Ursprung hat und durch den Punkt P(5/1) geht. Da der Mittelpunkt im Ursprung liegt, muss der Kreis der Gleichung k : x + r

3 entsprechen. Wir müssen uns aber noch den Radius r errechnen, damit wir den Kreis explizit angeben können. Dazu können wir aber den Punkt P verwenden. Da der Punkt P auf dem Kreis liegen soll, muss er folglich die Kreisgleichung erfüllen, das heißt wir dürfen seine Koordinaten für x und in die Kreisgleichung einsetzen: k : r Nun lässt sich r errechnen: r r 6 Nun können wir die Gleichung des Kreises angeben: k : x + 6 Übung: Übungsblatt 14; Aufgaben Nun müssen wir uns aber mit der Frage beschäftigen, wie die Kreisgleichung aussieht, wenn der Mittelpunkt nicht mehr im Koordinatenursprung liegt. Geben wir dazu dem Mittelpunkt allgemein die Koordinaten M(u/v). Wir wählen auch hier wieder einen beliebigen Punkt P(x/) auf dem Kreis. Sehen wir uns dies an einer Skizze an: P(x/) M(u/v) Auch hier ist es wieder unser Ziel, dass wir die Kreisgleichung durch den pthagoräischen Lehrsatz erhalten. Wir können auch hier ein rechtwinkeliges Dreieck einzeichnen, welches sich für jeden Punkt des Kreises ergibt. 3

4 P(x/) M(u/v) Die Längen dieses Dreiecks lassen sich nun aber durch die Koordinaten der Punkte M und P ausdrücken: P(x/) M(u/v) r -v v u x-u x Wenn wir nun den Satz des Pthagoras anwenden, so erhalten wir die entsprechende Kreisgleichung: ( x u) + ( v) r Damit haben wir die Gleichung eines Kreises allgemein definiert: Definition: Die allgemeine Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt M(u/v) und dem Radius r lautet: k : x u + v r ( ) ( ) 4

5 Sehen wir uns nun die Umsetzung an Beispielen an: Beispiel: Ermittle die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt M(-6/6) und dem Radius r 10. Wir müssen lediglich in die Kreisgleichung den Mittelpunkt M und den Radius r einsetzen, wobei für die Koordinaten des Mittelpunktes gilt: M(-6/6) u v Wir setzen ein: x ( 6 ) Wir erhalten: k : x ( ) ( ) ( ) ( ) 100 Beispiel: Ermittle die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt M(3/-), der durch den Punkt P(7/-8) geht. In diesem Fall müssen wir uns nur zusätzlich den Radius ermitteln. Dies geht aber ganz einfach, da ja der abstand der Punkte M und P der Radius sein muss. Wir stellen also einfach einen Vektor von M nach P auf und der Betrag dieses Vektors muss der Radius sein. Wir berechnen den Vektor: MP 8 6 Der Betrag dieses Vektors muss nun der Radius sein: r MP 4 + ( 6) 5 Nun können wir die Kreisgleichung angeben, da wir den Mittelpunkt und den Radius kennen: k : x ( ) ( ) 5 Übung: Übungsblatt 14; Aufgaben

6 Ermitteln des Mittelpunktes und des Radius aus der gegebenen Kreisgleichung. Wir haben oben festgelegt, wie man bei gegebenen Mittelpunkt und Radius die Kreisgleichung fixiert. Nun haben wir die umgekehrte Aufgabenstellung. Wie ermittle ich bei gegebener Kreisgleichung den Mittelpunkt und den Radius? Ist der Kreis in seiner ursprünglichen Form gegeben, so stellt dies kein Problem dar: Beispiel: Ermittle Mittelpunkt und Radius des Kreises :( x ) + ( + 1) 1 k. Wir müssen dazu nur die Kreisgleichung mit der Definition vergleichen: k : ( x ) + ( + 1) 1 ( x u) + ( v) k : r Folglich lautet die Antwort: M ( / 1) r 1 Anmerkung: Beachten Sie bitte, dass sie für die Koordinaten des Mittelpunktes die Rechenzeichnung aus der Gleichung genau verändern müssen (Aus Plus wird Minus und umgekehrt). Übung: Übungsblatt 14; Aufgabe 70 So weit wäre diese Aufgabenstellung ja ganz einfach. Das Problem liegt aber darin, dass die ursprüngliche Kreisgleichung aber oft ausquadriert und zusammengefasst angegeben ist. Aus dieser Gleichung sind nun der Mittelpunkt und der Radius nicht mehr so leicht ablesbar. Damit Sie sich dies vorstellen können forme ich die obige Kreisgleichung um. k :( x ) + ( + 1) 1 Wir lösen die Binome auf: x 4x Ich fasse die linke Seite zusammen: x 4x / 5 k : x + 4x + 7 6

7 Wenn wir nun aber den Kreis in dieser Form gegeben haben, so stellt sich die Frage wie wir den Mittelpunkt und den Radius nun berechnen? Sehen wir uns dies an eben diesem Beispiel an: Beispiel: Berechne Mittelpunkt und Radius des Kreises k : x + 4x Schritt. Als Erstes dividieren wir die Gleichung so, dass vor und der Faktor 1 steht. Dies ist bei unserem Beispiel bereits der Fall.. Schritt: Ordne die linke Seite der Gleichung so, dass zuerst die Elemente mit x und dann die Elemente mit folgen. k : x 4x Schritt: Nun müssen wir die Gleichung wieder in ihre ursprüngliche Form k : ( x u) + ( v) r zurückführen. Dies geschieht mit dem sogenannten Ergänzen auf ein vollständiges Quadrat. Gemeint ist damit Folgendes. Wenn wir uns die ersten beiden E- lemente der Kreisgleichung (Jene mit x) anschauen, so müssen dies die ersten beiden Elemente des ausquadrierten Binoms ( x u) sein. Denn ( x u) ergibt ja x ux + u. In unserer Kreisgleichung liegen dabei für x folgende Entsprechungen vor: x ux + u k : x 4x Sie erkennen hoffentlich, dass uns das u fehlt, damit hier wirklich eine binomische Formel vorliegt. Wir müssen uns also fragen, wie groß das Element u sein muss. Dies lässt sich aber leicht ermitteln. Beim mittleren Element entspricht dem Zahlenwert vor dem x genau u. Folglich muss also u genau die Hälfte des Zahlenwertes vor x sein. Bei uns beträgt u hier also genau, folglich ist u also 4. Wir müssen also 4 dazugeben um ein vollständiges Quadrat vorliegen zu haben. Merke: Um auf das vollständige Quadrat zu ergänzen, muss man einfach die Hälfte des mittleren Elementes quadrieren (Vorausgesetzt, dass vor dem quadratischen Element der Faktor 1 steht). Dieselbe Operation führen wir nun für durch. Hier ist der Zahlenwert vor dem, Folglich ist die Hälfte davon also 1 gleich dem v. v ist damit ebenfalls gleich 1. 4.Schritt: Ergänze nun zu diesen Vollständigen Quadraten. Damit die Gleichung richtig bleibt muss auch die rechte Gleichungsseite mit diesen Werten erweitert werden. k : x 4x Nun können wir die rechte Seite zusammenfassen: x 4x Schritt: Nun schreiben wir die beiden Ausdrücke als Binome an: 7 x

8 ( x ) + ( + 1) 1 k : Damit haben wir nun wieder die ursprüngliche Kreisgleichung und können Mittelpunkt und Radius ablesen: M ( / 1) r 1 Ein weiteres Beispiel dazu: Beispiel: Ermittle Mittelpunkt und Radius des Kreises k : x + 4x Damit vor den quadratischen Elementen der Faktor 1 steht dividieren wir die Gleichung zunächst durch und ordnen sie gleich nach x und Elementen: k : x + 4x / : 11 x x Wir erweitern beide Ausdrücke auf vollständige Quadrate und fügen die hinzugefügten Werte auch auf der rechten Gleichungsseite hinzu: 11 x x Wir fassen die rechte Gleichungsseite zusammen und schreiben die Ausdrücke links als Binome. Damit haben wir die Kreisgleichung: 1 k :( x 1) + ( + ) 1 Damit erhalten wir: M ( 1/ ) r Übung: Übungsblatt 14; Aufgabe 71 8

9 Lage eines Punktes zu einem Kreis Ein Punkt kann bezüglich eines Kreises drei Lagen einnehmen: Punkt liegt innerhalb des Kreises Punkt liegt auf dem Kreis Punkt liegt außerhalb des Kreises P P P M M M Welche Lage nun vorliegt ist ganz leicht festzustellen: a)abstand des Mittelpunktes zu P ist kleiner als der Radius Punkt liegt innerhalb des Kreises. b)abstand des Mittelpunktes zu P ist gleich dem Radius Punkt liegt auf dem Kreis. a)abstand des Mittelpunktes zu P ist größer als der Radius Punkt liegt außerhalb des Kreises. Sehen wir uns dazu ein Beispiel an: Beispiel: Untersuche die Lage des Punktes A(3/-) bezüglich des Kreises k : x + 6x Um die Lage feststellen zu können, müssen wir Mittelpunkt und Radius des Kreises wissen. Wir formen den Kreis also zunächst einmal so um, dass wir diese Angaben ablesen können: k : x + 6x / 1 x 6x Wir ergänzen auf ein vollständiges Quadrat und fügen diese Werte auch auf der rechten Gleichungsseite hinzu: x 6x Wir fassen die rechte Seite zusammen und schreiben die linke Seite als Binome. Damit haben wir die Kreisgleichung: k :( x 3) + ( + 4) 4 Wir erhalten: M(3/-4) und r Nun müssen wir noch den Abstand der Punkte A und M ermitteln. Wir berechnen den Vektor MA : 9

10 3 3 0 MA 4 Der Betrag dieses Vektors ist der Abstand der beiden Punkte: MA 0 + Da der Abstand gleich dem Radius ist, muss der Punkt auf dem Kreis liegen. Übung: Übungsblatt 14; Aufgabe 7 Auch die Koordinaten eines Punktes lassen sich ganz einfach berechnen. Sehen wir uns ein Beispiel an: Beispiel: Der Punkt A ( / A < 0) soll auf dem Kreis k[(/1);5] liegen. Berechne die -Koordinate des Punktes. Zunächst einmal haben wir hier wieder eine neue Schreibweise: k[(/1);5] Mittelpunkt Radius Wir haben also einen Kreis mit dem Mittelpunkt M(/1) und dem Radius r 5. Stellen wir die Gleichung dieses Kreises auf: k : ( x ) + ( 1) 5 Da der Punkt A auf dem Kreis liegen soll, muss er die Kreisgleichung erfüllen. Folglich setzen wir seine Koordinaten in die Gleichung ein: ( ) + ( A 1) 5 Damit haben wir eine Gleichung mit einer Unbekannten, aus der sich der -Wert berechnen lässt. Wir lösen die Quadrate auf: 16 + A A Wir erhalten eine quadratische Gleichung. Wir ordnen die Gleichung also so an, dass wir sie mittels unserer Lösungsformel lösen können: A A / 5 A A 8 0 ± ±

11 6 Da laut Angabe der -Wert des Punktes A kleiner Null sein soll, hat der Punkt also die Koordinaten: A(-/-) Übung: Übungsblatt 14; Aufgabe 73 Umwandlung der vektoriellen Kreisgleichung in die allgemeine Kreisgleichung Neben der Art wie wir einen Kreis darstellen, kann man die Kreisgleichung auch mittels Vektoren angeben. Wir werden dies zwar nicht durchführen, sie müssen aber fähig sein, die vektorielle Kreisgleichung in die allgemeine Kreisgleichung überzuführen. Sehen wir uns dies an einem Beispiel an: 1 Beispiel: Ermittle Mittelpunkt und Radius des Kreises k : X + X Wir müssen die Kreisgleichung zuerst aus der vektoriellen Form in die allgemeine Kreisgleichung überführen. Dazu müssen wir uns lediglich bewusst sein, was die einzelnen Ausdrücke bedeuten: Sehen wir den ersten Ausdruck an: x x X X X x + Ebenso erhalten wir für den zweiten Ausdruck: 1 1 x X 1x Wir setzen in die Kreisgleichung entsprechend ein: x + + 1x Wir führen wieder das Ergänzen auf ein vollständiges Quadrat durch: x + 1x x k : + 1x ( x 6) + ( ) 37 Daraus folgt: M ( 6 / ) r 37 Übung: Übungsblatt 14; Aufgabe 74 11