d 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 , D a 1 d 1 c 1 v 3 Definiton (Verbindungsvektor): Zwei Punkte A(a 1 a 2 a 3 ) und B(b 1 b 2 b 3 ) legen den Vektor b 1 a 1

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1 2008/2009 Das Wichtigste in Kürze Klasse 3 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Definiton (Lineare Gleichungssysteme: Lineare Gleichungssysteme löst man entweder mit dem Gauß-Algorithmus oder nach Satz (Cramersche Regel: Gegeben seien das lineare Gleichungssystem a x + b y + c z = d a b c a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 sowie D = a 2 b 2 c 2 a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 a 3 b 3 c 3, D d b c x = d 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3, D a d c y = a 2 d 2 c 2 a 3 d 3 c 3, D z = Dann gilt x = D x D, y = D y D und z = D z D. Das lineare Gleichungssystem ist also genau dann eindeutig lösbar, wenn D 0. a b d a 2 b 2 d 2 a 3 b 3 d 3 Definiton (Determinanten: Die dabei auftretenden Determinanten löst man mit Hilfe von Satz 2 (Regel von Sarrus: 3 3-Determinanten lassen sich wie folgt berechnen: Vektoren a b c a b a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 = a b 2 c 3 + b c 2 a 3 + c a 2 b 3 a 3 b 2 c b 3 c 2 a c 3 a 2 b a 3 b 3 c 3 a 3 b 3 Definiton (Vektor: Vektoren sind Klassen von Pfeilen. Jeder Vektor hat eine Länge, eine Richtung und eine Orientierung. v Vektoren des R 3 beschreiben wir üblicherweise durch drei Komponenten: v = v 2. v 3 Definiton (Verbindungsvektor: Zwei Punkte A(a a 2 a 3 und B(b b 2 b 3 legen den Vektor b a AB = b 2 a 2 fest. b 3 a 3 Definiton (Ortsvektor: Ein Vektor, der durch einen Pfeil vom Koordinatenursprung O zu einem Punkt P repräsentiert wird, heißt Ortsvektor. Für den Ortsvektor OP schreiben wir kurz P. ( Beachte den Unterschied zwischen Ortsvektoren und Punkten! Definiton (linear abhängig: Eine Menge von Vektoren heißt linear abhängig (lab, wenn sich mindesten einer der Vektoren als Linearkombination der übrigen darstellen lässt. Satz 3 (lab: Zwei Vektoren v und w sind lab v = r w (r R. a Satz 4 (lab: a = a 2, b c b = b 2 und c = c 2 sind lab a 3 b 3 c 3 a b c a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 = 0.

2 2008/2009 Vektorielle Weisheiten Klasse 3 Geraden und Ebenen Definiton (Parameterform der Geradengleichung: Jede Gerade g lässt sich durch eine Gleichung der Form X = P + t u mit u 0 beschreiben. Dabei nennt man P Stützvektor und u Richtungsvektor von g. Definiton (Parameterform der Ebenengleichung: Jede Ebene E lässt sich durch eine Gleichung der Form X = P + r v + s w mit v, w 0 beschreiben. Dabei nennt man P Stützvektor und v und w Richtungsvektoren von E. Definiton (Koordinatenform der Ebenengleichung: Jede Ebene lässt sich durch eine Koordinatengleichung ax + by + cz = d mit (a, b, c (0, 0, 0 beschreiben. Definiton (Normalenvektor: Ein Vektor, der zu den beiden Richtungsvektoren einer Ebene E orthogonal ist, heißt Normalenvektor von E. Definiton (Normalenform der [ Ebenengleichung: Jede Ebene kann man durch eine Normalenform beschreiben: P n = X ] 0. Dabei ist n der Normalenvektor und P der Stützvektor der Ebene. Definiton (Einheitsnormalenvektor: Ein Normalenvektor mit der Länge heißt Einheitsnormalenvektor (Bezeichnung n 0. Es ist n 0 = n n Definiton (Hessesche Normalenform der Ebenengleichung: Eine [ Normalenform mit X ] Einheitsnormalenvektor heißt Hessesche Normalenform (HNF: P n 0 = 0. In der ausmultiplizierten Form ( X n 0 P n 0 = 0 gibt P n 0 den Abstand der Ebene vom Ursprung an. Definiton (Vektorprodukt: Der Normalenvektor n lässt sich leicht mit dem Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren v und w berechnen: v w v 2 w 3 v 3 w 2 v w = v 2 w 2 = v 3 w v w 3 v 3 w 3 v w 2 v 2 w Satz 5 (Flächen- & Rauminhalte: A P arallelogramm = a b und A Dreieck = 2 a b V Spat = ( a b c, V P yramide = 3 ( a b c und V P yramide = 6 ( a b c

3 2008/2009 Das Wichtigste in Kürze Klasse 3 Betrag, Skalarprodukt, Winkel Definiton (Betrag eines Vektors: Unter dem Betrag eines Vektors versteht man die Länge seiner Pfeile: v = v 2 + v2 2 + v2 3. Definiton (Skalarprodukt: Für v = v v 2 v 3 und w = w w 2 w 3 nennt man den Ausdruck v w = v w + v 2 w 2 + v 3 w 3 das Skalar- produkt der Vektoren v und w. Satz 6 (Skalarprodunkt: Zwei Vektoren sind genau dann orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist. Definiton (Winkel zwischen Vektoren: Bilden die Vektoren v und w den Winkel ϕ (0 o ϕ 80 o, so gilt auf Grund des Kosinussatzes: v w 2 = v 2 + w 2 2 v w cos ϕ 2 v w = 2 v w cos ϕ cos ϕ = v w v w. ϕ w v v w Satz 7 (Geometrisches Skalarprodunkt: Eine geometrische Deutung des Skalarproduktes liefert der Ausdruck u v = u v cos(α. Satz 8 (Orthogonale Geraden und Ebenen: Zwei Graden sind orthogonal zueinander, wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal sind, wenn also ihr Skalarprodukt Null ist. Zwei Ebenen sind orthogonal zueinander, wenn ihre Normalenvektoren orthogonal sind, wenn also ihr Skalarprodukt Null ist. Eine Gerade ist orthogonal zu einer Ebene, wenn der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene parallel, also lab sind. Eine Gerade ist parallel zu einer Ebene, wenn der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene orthogonal sind (Skalarprodukt = 0. Definiton (Schnittwinkel von Geraden: Wenn sich zwei Geraden schneiden, dann ist u v α mit cos(α = der Schnittwinkel der beiden Geraden. u v Definiton (Schnittwinkel von Ebenen: Wenn sich zwei Ebenen schneiden, dann ist α mit cos(α = n n 2 der Schnittwinkel der beiden Ebenen. n n 2 Definiton (Schnittwinkel Gerade-Ebenen: Wenn sich eine Gerade und eine Ebene schneiden, dann ist u n α mit sin(α = der Schnittwinkel von Gerade und Ebene. u n

4 2008/2009 Vektorielle Weisheiten Klasse 3 Abstände Satz 9 (Abstand zwischen zwei Punkten: Der Abstand d(p, Q der Punkte P und Q ist gleich dem Betrag des Vektors P Q : d(p, Q = P Q = Q q p P = q 2 p 2 q 3 p 3 = (q p 2 + (q 2 p (q 3 p 3 2. Satz 0 (Abstand einer Ebene zum Ursprung: Ist n 0 X n 0 P = 0 die Hessesche Normalenform einer Ebene, so gibt n 0 P den Abstand d der Ebene vom Ursprung an. Satz (Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene: Für den Abstand d zwischen einem Punkt R und einer Ebene E : X = P + r v + s w gilt: ( R d = n 0 P Bemerkung: Falls n 0 P ( R > 0, dann gilt n 0 P > 0 genau dann, wenn R und der Ursprung auf verschiedenen Seiten der Ebene liegen. Für n 0 P < 0 ist s umgekehrt. Satz 2 (Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden: Den Abstand d zwischen einem Punkt R und einer Geraden g : X = P + t u zu heißt den Fußpunkt F des Lotes von R auf g zu finden. Hierfür bieten sich zwei Möglichkeiten an: Methode I E mit R E und E g E : [ X R ] u = 0 2 Schnittpunkt F von E und g ermitteln 3 d = F R Methode II Wegen F R = P R u 0 gilt nach dem pythagoräischen Lehrsatz: ( 2 d = P R2 P R u0 Satz 3 (Abstand windschiefer Geraden: Sind g und h windschiefe Geraden mit g : X = P + t u und h : X = Q + t v, so gibt es parallele Ebenen Eg und E h durch g und h. Als Spannvektoren dieser Ebenen kann man die Richtungsvektoren von g und h wählen. Unter dem Abstand d(g, h der Geraden g und h versteht man den Abstand der Ebenen E g und E h. Die Berechnung des Abstandes kann wieder einfach mit Hilfe des Skalarprodukts zwischen eines Vektors, der durch je einen Punkt der Ebenen E g und E h gegeben ist, und des Normaleneinheitsvektors zu E g und E h durchgeführt werden: ( Q d = n 0 P

5 2008/2009 Das Wichtigste in Kürze Klasse 3 Gegenseitige Lage Satz 4 (Zwei Geraden: Zwei Geraden im R 3 können sich in einem Punkt schneiden, windschief liegen, parallel oder identisch sein. Im folgenden betrachten wir die Geraden g und g 2 mit g : X = P + t u und g 2 : X = P 2 + t 2 u 2. Die folgende Übersicht beschreibt, wie man die gegenseitige Lage von g und g 2 ermitteln kann: u, u 2 lab? ja nein 7 P 2 g? P + t u = P 2 + t 2 u 2 ja nein hat eine Lösung hat keine Lösung g 2 = g g 2 g g 2 und g schneiden g 2 und g sind g 2 g sich in einem Punkt windschief Abstand Schnittpunkt Abstand Schnittwinkel

6 2008/2009 Vektorielle Weisheiten Klasse 3 Satz 5 (Gerade und Ebene: Eine Ebene und eine Gerade im R 3 können sich in einem Punkt schneiden, die Gerade kann parallel zur Ebene sein oder die Gerade liegt in der Ebene. Im folgenden betrachten wir die Gerade g und die Ebene E mit g : X = P + t u und E : X = Q + r v + s w bzw. E : ( X Q n = 0. Das Vektorprodukt Der Normalenvektor n lässt sich leicht mit dem Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren v und w berechnen: v w = v v 2 w w 2 = v 2w 3 v 3 w 2 v 3 w v w 3 v 3 w 3 v w 2 v 2 w Die folgende Übersicht beschreibt, wie man die gegenseitige Lage von g und E ermitteln kann: u, v, w lab? oder: u n = 0? ja nein P E? 7 g und E schneiden sich in einem Punkt g liegt in E g E Schnittpunkt berechnen: g E g : P ( X + t u E : Q n = 0 oder P + t u = Q + r v + s w Abstand Schnittwinkel

7 2008/2009 Das Wichtigste in Kürze Klasse 3 Satz 6 (zwei Ebenen: Zwei Ebenen im R 3 können sich in einer Schnittgeraden schneiden, parallel oder identisch sein. Im folgenden betrachten wir die Ebenen E und E 2 in Parameterform E : X = P + r v + s w und E 2 : X = P 2 + r 2 v 2 + s 2 w 2 bzw. in Normalenform ( X E : P n = 0 und ( X E 2 : P2 n 2 = 0. Das Vektorprodukt Der Normalenvektor n lässt sich leicht mit dem Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren v und w berechnen: v w = v v 2 w w 2 = v 2w 3 v 3 w 2 v 3 w v w 3 v 3 w 3 v w 2 v 2 w Die folgende Übersicht beschreibt, wie man die gegenseitige Lage von E und E 2 ermitteln kann: n, n 2 lab? ja nein P 2 E? 7 E und E 2 schneiden sich E = E 2 E E 2 Schnittgerade berechnen: E E 2 E 2 E, d. h. (( P2 + r 2 v 2 + s 2 w 2 P n = 0 Abstand Schnittwinkel

8 2008/2009 Vektorielle Weisheiten Klasse 3 Miscellanea Satz 7 (Mittelpunkt einer Strecke: Mittelpunkt M der Strecke AB: M = 2 ( A + B Satz 8 (Schwerpunkt eines Dreiecks: Für den Schwerpunkt S des Dreiecks ABC gilt: S = 3 ( A + B + C Satz 9 (Koordinatenachsen: x-achse: X = t 0 ; y-achse: 0 X = t ; z-achse: 0 X = t Satz 20 (Koordinatenebenen: xy-ebene: z = 0; yz-ebene: x = 0; xz-ebene: y = 0 Definiton (Spurpunkte: Schnittpunkte von Ebenen mit den Koordinatenachsen Definiton (Spurgeraden: Schnittgeraden von Ebenen mit den Koordinatenebenen Satz 2 (Spiegelpunkte: Verwende die Eigenschaften: Die Verbindungsgerade Punkt-Bildpunkt ist senkrecht zu der Ebene/Gerade, an der gespiegelt wurde. Die Ebene/Gerade geht durch den Mittelpunkt der Strecke Punkt-Bildpunkt. Berechne den Lotfußpunkt und dann: OP = OF + P F