Lineare Algebra in der Oberstufe
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- Lothar Schumacher
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1 Lineare Algebra in der Oberstufe Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 16. April 2016 Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
2 Übersicht Ziel dieses Kapitels Wiederholung des Schulstoffs zur Linearen Algebra der Oberstufe Schaffung einer gemeinsamen inhaltlichen Basis Inhalte: Lage von Punkten, Geraden & Ebenen in der Ebene, im Raum Abstände & Winkel Das Skalarprodukt & Orthogonalität Das Vektorprodukt Gauß-Verfahren zum Lösen von Gleichungssysteme Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
3 Wiederholen Vertiefen Ausprobieren Textvorlage dieses Kapitels: Lambacher Schweizer Mathematik Qualifikationsphase Leistungskurs/Grundkurs Ernst Klett Verlag 2015 Das alte Mathe-Buch auskramen und lesen! Alte Aufgaben rechnen (zusätzlich zu den Übungsaufgaben)! Geogebra: Anschauung schulen! Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
4 Punkte in der Ebene bzw. im Raum x 2 x 2 ( 3 P 1 = = (3, 4) 4) 4 P 1 = 3 3 x 1 x 1 a) in der Ebene R 2 x 3 b) im Raum R 3 Punkte in der Ebene bzw. im Raum können wir durch Angabe der Koordinaten spezifizieren. Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
5 Abstände von Punkten x 2 Q P x 1 Wie berechnet man die Länge der Strecke PQ? Idee: zweimal Satz des Pythagoras anwenden x 3 Die Strecke PQ. Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
6 Abstände von Punkten x 2 Q P x 1 Wie berechnet man die Länge der Strecke PQ? Idee: zweimal Satz des Pythagoras anwenden x 3 Die Strecke PQ. Den Abstand zweier Punkte P = (p 1, p 2, p 3 ) und Q = (q 1, q 2, q 3 ) berechnen wir durch PQ := ( 3 ) 1 2 (q 1 p 1 ) 2 + (q 2 p 2 ) 2 + (q 3 p 3 ) 2 = (q i p i ) 2 i=1 Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
7 Vektoren Vektor: Tupel reeller Zahlen mit a) Richtung und b) Länge In der Ebene (in R 2 ): z. B. ( #» 3 OP = 4) Ortsvektor Der Ortsvektor (im Raum) 2 #» OP = 1 3 x 2 O #» OP P x 1 hat die Länge (auch: den Betrag) = 14 und den Gegenvektor #» OP = ( Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32 )
8 Vektoren Vektoren beschreiben Verschiebungen im Koordinatensystem. x 2 #» a x 1 Mit ( Vektoren ( kann ( man rechnen: ) ( a) + = = 4) 1) ) ( ( ) ( b) 2 = = 4) 2 4 8) Vektor + Vektor Reelle Zahl Vektor
9 Vektoren Vektoren beschreiben Verschiebungen im Koordinatensystem. x 2 #» b #» a x 1 Mit ( Vektoren ( kann ( man rechnen: ) ( a) + = = 4) 1) ) ( ( ) ( b) 2 = = 4) 2 4 8) Vektor + Vektor Reelle Zahl Vektor
10 Vektoren Vektoren beschreiben Verschiebungen im Koordinatensystem. x 2 #» a + #» b #» b #» a x 1 Mit ( Vektoren ( kann ( man rechnen: ) ( a) + = = 4) 1) ) ( ( ) ( b) 2 = = 4) 2 4 8) Vektor + Vektor Reelle Zahl Vektor Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
11 Vektoren Vektoren beschreiben Verschiebungen im Koordinatensystem. x 2 x 2 #» a + #» b #» b 5 #» a #» a x 1 #» a x 1 Mit ( Vektoren ( kann ( man rechnen: ) ( a) + = = 4) 1) ) ( ( ) ( b) 2 = = 4) 2 4 8) Vektor + Vektor Reelle Zahl Vektor Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
12 Linearkombination Einen Ausdruck wie λ #» v + µ #» w + ν #» u, wobei λ, µ, ν reelle Zahlen (sogenannte Koeffizienten) sind, heißt Linearkombination der Vektoren #» v, #» w, #» u, Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
13 Linearkombination Einen Ausdruck wie λ #» v + µ #» w + ν #» u, wobei λ, µ, ν reelle Zahlen (sogenannte Koeffizienten) sind, heißt Linearkombination der Vektoren #» v, #» w, #» u, Frage: Für welche Werte gilt ( ( 3 0 λ + µ = 0? 4) 1) Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
14 Linearkombination Einen Ausdruck wie λ #» v + µ #» w + ν #» u, wobei λ, µ, ν reelle Zahlen (sogenannte Koeffizienten) sind, heißt Linearkombination der Vektoren #» v, #» w, #» u, Frage: Für welche Werte gilt ( ( 3 0 λ + µ = 0? 4) 1) Und wie sieht es mit aus? λ λ λ = 0? 2 11 Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
15 Linearkombination 2 Vektoren #» v, #» w heißen kollinear, wenn es eine reelle Zahl λ R gibt, so dass gilt: #» v = λ #» w Diese Bedingung ist äquivalent zu: #» v λ #» w = #» 0. Wir sagen: #» v und #» w sind linear abhängig. Kollinearität zweier Vektoren: der eine ist ein Vielfaches des anderen. Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
16 Geraden Jede Gerade g lässt sich durch eine Gleichung der Form #» x = #» p + λ #» u, (λ R) beschreiben. Dabei nennen wir #» p Stützvektor und #» u Richtungsvektor. x 2 g x 1
17 Geraden Jede Gerade g lässt sich durch eine Gleichung der Form #» x = #» p + λ #» u, (λ R) beschreiben. Dabei nennen wir #» p Stützvektor und #» u Richtungsvektor. x 2 #» p g x 1
18 Geraden Jede Gerade g lässt sich durch eine Gleichung der Form #» x = #» p + λ #» u, (λ R) beschreiben. Dabei nennen wir #» p Stützvektor und #» u Richtungsvektor. x 2 #» u g #» p x 1 Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
19 Geraden 7 Liegt der Punkt A = 5 auf der Geraden g : #» 3 5 x = 1 + λ 2? Die Punkte A = 2 und B = 6 liegen auf einer Geraden. 5 2 Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Geraden. Beachte: Die Gleichung zur Beschreibung einer Geraden ist nicht eindeutig. Eine Gerade g kann also durch mehrere Gleichungen beschrieben werden. Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
20 Lagebeziehungen von Geraden Zwei Geraden g und h im Raum können identisch sein. sich in einem gemeinsamen Punkt schneiden. zueinander parallel sein. zueinander windschief sein. Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
21 Lagebeziehungen von Geraden So bestimmt man die Lagebeziehung zweier Geraden g : #» x = #» p + λ #» u und h : #» x = #» q + µ #» v : Sind die Richtungsvektoren #» u und #» v parallel zueinander? Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
22 Lagebeziehungen von Geraden So bestimmt man die Lagebeziehung zweier Geraden g : #» x = #» p + λ #» u und h : #» x = #» q + µ #» v : Sind die Richtungsvektoren #» u und #» v parallel zueinander? Wenn ja: Liegt der Punkt P mit Ortsvektor #» p auf der Geraden h? Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
23 Lagebeziehungen von Geraden So bestimmt man die Lagebeziehung zweier Geraden g : #» x = #» p + λ #» u und h : #» x = #» q + µ #» v : Sind die Richtungsvektoren #» u und #» v parallel zueinander? Wenn ja: Liegt der Punkt P mit Ortsvektor #» p auf der Geraden h? Wenn ja: g und h sind identisch. Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
24 Lagebeziehungen von Geraden So bestimmt man die Lagebeziehung zweier Geraden g : #» x = #» p + λ #» u und h : #» x = #» q + µ #» v : Sind die Richtungsvektoren #» u und #» v parallel zueinander? Wenn ja: Liegt der Punkt P mit Ortsvektor #» p auf der Geraden h? Wenn ja: g und h sind identisch. Wenn nein: g und h sind parallel. Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
25 Lagebeziehungen von Geraden So bestimmt man die Lagebeziehung zweier Geraden g : #» x = #» p + λ #» u und h : #» x = #» q + µ #» v : Sind die Richtungsvektoren #» u und #» v parallel zueinander? Wenn ja: Liegt der Punkt P mit Ortsvektor #» p auf der Geraden h? Wenn ja: g und h sind identisch. Wenn nein: g und h sind parallel. Wenn nein: Hat die Gleichung #» p + λ #» u = #» q + µ #» v eine Lösung? Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
26 Lagebeziehungen von Geraden So bestimmt man die Lagebeziehung zweier Geraden g : #» x = #» p + λ #» u und h : #» x = #» q + µ #» v : Sind die Richtungsvektoren #» u und #» v parallel zueinander? Wenn ja: Liegt der Punkt P mit Ortsvektor #» p auf der Geraden h? Wenn ja: g und h sind identisch. Wenn nein: g und h sind parallel. Wenn nein: Hat die Gleichung #» p + λ #» u = #» q + µ #» v eine Lösung? Wenn ja: g und h schneiden sich. Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
27 Lagebeziehungen von Geraden So bestimmt man die Lagebeziehung zweier Geraden g : #» x = #» p + λ #» u und h : #» x = #» q + µ #» v : Sind die Richtungsvektoren #» u und #» v parallel zueinander? Wenn ja: Liegt der Punkt P mit Ortsvektor #» p auf der Geraden h? Wenn ja: g und h sind identisch. Wenn nein: g und h sind parallel. Wenn nein: Hat die Gleichung #» p + λ #» u = #» q + µ #» v eine Lösung? Wenn ja: g und h schneiden sich. Wenn nein: g und h sind windschief. Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
28 Skalarprodukt & Orthogonalität Für #» a = a 1 a 2 a 3 und #» b = b 1 b 2 b 3 definieren wir das Skalarprodukt von #» a und #» b als #» #» 3 a b := a1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = a i b i. i=1 Beachte: Beim Skalarprodukt verknüpfen wir multiplikativ zwei Vektoren und erhalten ein Skalar (also eine reelle Zahl). Dies ist schon die zweite Bedeutung von, die wir in dieser Vorlesung kennenlernen. Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
29 Skalarprodukt & Orthogonalität 0 #» #» #» a und b seien nachfolgend beide ungleich dem Nullvektor 0 = 0. 0 #» a und #» b heißen orthogonal, wenn #» a #» b = 0 Es gilt: 4 2 #» #» a b = 1 9 = ( 1) = Also: #» a und #» b sind orthogonal; wir schreiben dafür auch: #» a #» b. Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
30 Skalarprodukt & Orthogonalität Eigenschaften (Rechenregeln) Für das Skalarprodukt von Vektoren #» a, #» b und #» c gilt: 1 #» #» #» a b = b #» a (Kommutativität) 2 r #» a #» b = r ( #» a #» b ) für jede reelle Zahl r R (Assoziativität) 3 ( #» a + #» b ) #» c = #» a #» c + #» b #» c (Distributivität) 4 #» a #» a = #» a 2 Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
31 Skalarprodukt & Orthogonalität Eigenschaften (Rechenregeln) Für das Skalarprodukt von Vektoren #» a, #» b und #» c gilt: 1 #» #» #» a b = b #» a (Kommutativität) 2 r #» a #» b = r ( #» a #» b ) für jede reelle Zahl r R (Assoziativität) 3 ( #» a + #» b ) #» c = #» a #» c + #» b #» c (Distributivität) 4 #» a #» a = #» a 2 Typische Aufgaben: Überprüfung der Orthogonalität zweier gegebener Geraden. Bestimmung zueinander orthogonaler Vektoren. Bestimmung fehlender Koordinaten von orthogonalen Vektoren. Orthogonalität bei geometrischen Figuren. Beweis der vier oben genannten Eigenschaften. Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
32 Winkel zwischen Vektoren Für den Winkel α zwischen den Vektoren #» a und #» b gilt: #» a #» b = #» a #» b cos(α) mit 0 α 180 Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
33 Winkel zwischen Vektoren Für den Winkel α zwischen den Vektoren #» a und #» b gilt: #» a #» b = #» a #» b cos(α) mit 0 α 180 Sei #» a = 2 3 und #» b = 1 Vektoren #» a und #» b : cos(α) =. Dann gilt für den Winkel α zwischen diesen beiden #» #» a b #» a #» b = = Also gilt: α 54, 0 Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
34 Gauß-Verfahren Eine der häufigsten Aufgaben der Linearen Algebra / der Mathematik Lineare Gleichungssysteme (LGS) lösen. Carl Friedrich Gauß wiki/file:carl Friedrich Gauß.jpg Wie löst man ein LGS? Lineare Algebra Warum ist das so richtig? Lineare Algebra Wie löst man ein LGS schnell? Numerik Wie löst man ein LGS stabil? Numerik Wo muss man LGS in der Praxis lösen? Schule, Analysis, Optimierung, Finanzmathematik, Computergrafik,... quasi immer mal wieder und überall! Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
35 Gauß-Verfahren Der einfache Fall: Angenommen, es ist ein LGS in Zeilenstufenform gegeben: 2x 1 3x 2 + x 3 = 8 2x 2 + 5x 3 = 6 2x 3 = 4 Das lässt sich leicht lösen! Rechnung an der Tafel bzw. siehe Scan von Herrn Steinhauer Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
36 Gauß-Verfahren Gauß-Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme 1 Bringe das LGS durch Äquivalenzumformungen auf Zeilenstufenform. 2 Löse die Gleichungen der Zeilenstufenform schrittweise von unten nach oben. LGS: 3x 1 + 6x 2 2x 3 = 4 3x 1 + 2x 2 + x 3 = x 1 + 5x 2 5x 3 = 9 Kurzschreibweise in Matrixform: Rechnung an der Tafel bzw. siehe Scan von Herrn Steinhauer Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
37 Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme Erinnern wir uns an die Schnittmengen von Geraden im R 2 : Die Schnittmenge entspricht der Lösungsmenge des LGS, das aus den beiden Geradengleichungen besteht. Lösungsmengen von LGS kein Schnittpunkt / keine Lösung ein Schnittpunkt / eine Lösung unendlich viele Schnittpunkte / unendlich viele Lösungen Beispiele an der Tafel bzw. siehe Scan von Herrn Steinhauer Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
38 Ebenen im Raum Parameterform einer Ebene Jede Ebene E lässt sich durch eine Gleichung der Form #» x = #» p + λ #» u + µ #» v, (λ, µ R, #» u #» 0, #» v #» 0 ) beschreiben. Dabei nennen wir #» p Stützvektor, #» u und #» v Richtungs- oder Spannvektoren. Dabei dürfen #» u und #» v nicht kollinear (also nicht parallel zueinander) sein. Beispiele an der Tafel bzw. siehe Scan von Herrn Steinhauer Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
39 Lagebeziehungen zwischen Ebenen und Geraden Eine Gerade g und eine Ebene E können einen gemeinsamen Punkt Durchstoßpunkt keinen gemeinsamen Punkt g parallel zu E unendlich viele gemeinsame Punkte g liegt in E haben. Dies folgt aus der Struktur der Lösungsmenge des LGS bestehend aus der Ebenen- und der Geradengleichung. Beispiele an der Tafel Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
40 Lagebeziehungen zwischen Ebenen und Geraden Wenn g und E sich schneiden, stellt sich die Frage, ob g E gilt. Dies gilt, wenn der Richtungsvektor von g zu den beiden Spannvektoren der Ebene orthogonal ist. Solch einen Vektoren nennen wir dann Normalenvektor der Ebene E. Beispiele an der Tafel Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
41 Normalengleichung einer Ebene Ist #» n ein Normalenvektor von E mit #» x = #» p + λ #» u + µ #» v, dann liegt ein Punkt X mit Ortsvektor #» x = OX #» genau dann in E, wenn #» x #» p orthogonal zu #» n ist. Normalengleichung der Ebene Jede Ebene E lässt sich durch eine Gleichung der Form ( #» x #» p ) #» n = 0 beschreiben (wobei #» n #» 0 gelten muss). Illustration an der Tafel Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
42 Koordinatengleichung einer Ebene Sei E durch ( #» x #» p ) #» n = 0 gegeben. #» x #» n #» p #» n = 0 #» x #» n = #» p #» n Sei #» x = x 1 x 2, #» n = a b und #» p #» n = d. Dann folgt aus #» x #» n = #» p #» n : x 3 b ax 1 + bx 2 + cx 3 = d Koordinatengleichung der Ebene Jede Ebene E lässt sich durch eine Gleichung der Form ax 1 + bx 2 + cx 3 = d beschreiben (wobei mindestens einer der Koeffizienten a, b, c ungleich 0 ist). Beachte (a, b, c) ist Normalenvektor von E. Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
43 Lagebeziehung zwischen Ebenen und Geraden p 1 u 1 Seien g : #» x = p 2 + λ u 2 und E : ax 1 + bx 2 + cx 3 = d gegeben. p 3 u 3 Falls die Gleichung a(p 1 + λu 1 ) + b(p 2 + λu 2 ) + c(p 3 + λu 3 ) = d genau eine Lösung hat, so schneiden sich g und E, keine Lösung hat, so ist g parallel zu E unendlich viele Lösungen hat, dann g liegt in E Beispiel an der Tafel Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
44 Abstand eines Punktes von einer Ebene Unter dem Abstand eines Punktes R von einer Ebene E verstehen wir die kleinste Entfernung von R zu E. Sei #» r = #» OR und #» n Normalenvektor von E. Bestimmung des Abstand d von R zu E: Aufstellen der Gleichung einer zu E orthogonalen Geraden durch R, z. B. g : #» x = #» r + λ #» n. Berechnen der Koordinaten des Lotfußpunktes F der Lotgeraden g mit E. Berechnen des Betrags des Vektors RF #». Es gilt: d = RF #». Illustration und Beispiel an der Tafel Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
45 Abstand eines Punktes von einer Geraden Unter dem Abstand eines Punktes R von einer Geraden g verstehen wir die kleinste Entfernung von R zu g. Leiten Sie sich selbst her, wie man diesen Abstand bestimmt! Das nötige Wissen dazu haben Sie.... Die Berechnung einer Hilfsebene, die durch R geht und orthogonal zu g ist, könnte hilfreich sein. Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
46 Schnittwinkel Schnittwinkel... Gerade Gerade: zwei Winkel der Größe α 90 und ein Winkel der Größe Ebene Ebene: Schnittwinkel α zweier Geraden, die in den Ebenen liegen und orthogonal zur Schnittgeraden sind. Dieser Winkel ist gleich dem Winkel zwischen den Normalenvektoren n #» 1 und n #» 2 der beiden Ebenen. Gerade Ebene: Fällt man das Lot einer Geraden g auf eine Ebene E, so erhält man eine Gerade g, die in E liegt. Unter dem Winkel zwischen g und E verstehen wir den Winkel zwischen g und g. Illustration an der Tafel Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
47 Schnittwinkel Berechnung von Schnittwinkeln Seien u #» 1 und u #» 2 Richtungsvektoren der Geraden g 1 und g 2 und seien n #» 1 und n #» 2 Normalenvektoren der Ebenen E 1 und E 2. Dann gilt für den Schnittwinkel α (0 α 90 ): von g 1 und g 2 : von E 1 und E 2 : von g 1 und E 1 : cos(α) = u #» 1 u #» 2 u #» 1 u #» 2 cos(α) = n #» 1 n #» 2 n #» 1 n #» 2 cos(90 α) = u #» 1 n #» 1 u #» 1 n #» 1 Beispiel an der Tafel Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
48 Vektorprodukt Betrachte nun eine (multiplikative) Abbildung 1 : R 3 R 3 R 3 Vektorprodukt a 1 Seien #» a = a 2 und #» b = b 2. a 3 b 3 Dann heißt a #» #» 2 b 3 a 3 b 2 a b := a 3 b 1 a 1 b 3 a 1 b 2 a 2 b 1 das Vektorprodukt von #» a und #» b. Beachte: #» a #» b ist orthogonal zu #» a und zu #» b. b 1 Beispiel an der Tafel 1 Achtung! Das Zeichen hat hier zwei unterschiedliche Bedeutung. Leider wird in der Typografie standardmäßig für beide Bedeutungen dasselbe Zeichen verwendet. Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April / 32
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