Ebenen in Normalenform

Transkript

1 Ebenen in Normalenform Normalenvektoren und Einheitsvektoren Definition Normalenvektor Ein Normalenvektor einer Ebene ist ein Vektor, der senkrecht auf einer Ebene steht (siehe Seite 12). Berechnung eines Normalenvektors Möglichkeit 1: Über ein LGS n1 Da ein Normalenvektor n2 senkrecht auf n den beiden Richtungsvektoren einer Ebene liegen muss, muss das Skalarprodukt des Normalenvektors mit beiden Richtungsvektoren gleich null ergeben. Somit erhält man ein LGS wie beispielsweise 2n + n n = n 4n + n = Eine beliebige Lösung dieses LGS taugt als Normalenvektor. Möglichkeit 2: Über das Vektorprodukt Falls a und b die Richtungsvektoren einer Ebene E sind, so ist das Ergebnis des Vektorprodukts a b ein zu a und b orthogonaler Vektor und taugt damit als Normalenvektor für E. Definition des Vektorprodukts (auch Kreuzprodukt genannt): a1 b1 a2b ab2 a2 b2 = ab1 a1b a b a1b 2 a2b 1 Definition Einheitsvektor Als Einheitsvektor bezeichnet man einen Vektor der Länge (=des Betrages) 1. Hinweis Jeder Vektor v lässt sich schnell zu einem in die gleiche Richtung zeigenden Einheitsvektor v 0 umformen, indem man jede seiner Komponenten durch die Länge des Vektors teilt. Beispiel: 6 v = v = 6 + ( 2) + = = 49 = / 7 1 v0 = 2 2 / 7 7 = / 7 Definition Normaleneinheitsvektor Ein Normaleneinheitsvektor ist ein Normalenvektor mit dem Betrag 1. Ebenen in Normalenform 1

2 Die Normalengleichung einer Ebene Satz Durch einen Normalenvektor und einen Stützvektor ist eine Ebene im dreidimensionalen Raum hinreichend definiert. Erläuterung Wir wissen, dass das Skalarprodukt zweier senkrecht zueinander liegender Vektoren 0 beträgt. Alle Vektoren, die vom Stützpunkt aus (dem Zielpunkt des Stützvektors) zu einem beliebigen Punkt auf der Ebene zeigen, müssen ja senkrecht zum Normalenvektor liegen. Diese Vektoren lassen sich als Differenz zwischen Stützvektor und den Ortsvektoren der Punkte auf der Ebene ausdrücken. Siehe Illustration im Buch auf Seite 12. Daraus folgt Die Grundform der Normalengleichung einer Ebene E : x a n = 0 ( ) Erläuterung x ist der Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf der Ebene a ist ein Stützvektor der Ebene, also der Ortsvektor eines Punktes auf der Ebene n ist ein Normalenvektor, also ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht Beispiel: 1 1 E : x 2 = Wie auf S. 12 zu lesen ist, kann man diese Form in eine vereinfachte Normalenform überführen, die jedoch bei den bevorstehenden Rechnungen kaum Bedeutung hat. Die Hesse sche Normalenform Sie sieht genauso aus wie die eben eingeführte Normalenform, mit einem Unterschied: Statt eines Normalenvektors mit beliebiger Länge wird ein Normaleneinheitsvektor benutzt! Man braucht diese Form für manche Abstandsberechnungen. E : x a n = 0 Die Grundform ist also: ( ) 0 Umrechnungen Normalenform in Koordinatenform Die Komponenten des Normalenvektors sind die Koeffizienten der Koordinatenform. Um das d der Koordinatengleichung herauszufinden, bildet man einfach das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor und dem Stützvektor aus der Normalenform. Koordinatenform in Normalenform Die Koeffizienten der Koordinatenform sind die Komponenten des Normalenvektors. Ein Stützvektor kann man finden, indem man eine beliebige Lösung der Koordinatengleichung findet (ist recht leicht, da man ja zwei Variablen willkürlich setzen kann). Ebenen in Normalenform 2

3 Normalenform in Parameterform Der Stützvektor aus der Normalenform kann auch für die Parameterform benutzt werden. Zwei nicht kollineare Richtungsvektoren sucht und findet man am besten, indem man sich zwei Vektoren sucht, die, mit dem Normalenvektor multipliziert jeweils das Skalarprodukt 0 ergeben. Solche Vektoren findet man normalerweise recht schnell. Parameterform in Normalenform Der Stützvektor aus der Parameterform kann auch für die Normalenform benutzt werden. Den Normalenvektor findet man wie ganz zu Anfang dieses Kapitels beschrieben. Lagebeziehungen zu Punkten und Geraden Punkt Einfach den Ortsvektor des Punktes für x in die Normalengleichung einsetzen. Ergibt sich eine wahre Aussage, liegt der Punkt auf der Ebene, sonst eben nicht. Gerade (inkl. Schnittwinkel) Sind der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene orthogonal zueinander (Skalarprodukt = 0)? Gerade und Ebene schneiden sich Liegt der Stützpunkt der Geraden auf der Ebene? Berechnung des Schnittpunkts Einsetzen des ganzen Geradenterms in die Normalengleichung anstelle von x. Es gibt sich ein Wert für den Parameter r Das r kann man in die Geradengleichung einsetzen, so ergibt sich der Ortsvektor des Schnittpunkts. Ebene und Gerade sind parallel. Gerade liegt auf der Ebene. Berechnung des Schnittwinkels n w α = arcsin n w n ist der Normalenvektor der Ebene, w der Richtungsvektor der Gerade. Ebenen in Normalenform

4 Lagebeziehungen zweier Ebenen Die klassischen Untersuchungen der Lageziehungen führt man mit Ebenen in Normalenform normalerweise nicht durch, das geht mit den anderen Formen besser. Den Normalenvektor einer Ebene braucht man aber für folgende Berechnung: Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen Der Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen entspricht logischerweise genau dem Schnittwinkel der beiden Normalenvektoren (siehe Abb. S. 158). Entsprechend kann man den Winkel zwischen zwei Ebenen folgendermaßen berechnen: n1 n2 α = arccos n n 1 2 n 1 und n 2 sind die Normalenvektoren der beiden Ebenen. Orthogonale Ebenen Bei orthogonalen Ebenen ist der cosα=0, das heißt natürlich, dass schon das Skalarprodukt (siehe Zähler des obigen Bruchs) = 0 sein muss. Wenn man also eine Ebene F angeben soll, die orthogonal zu einer anderen Ebene E ist, benötigt man nur einen Vektor, der orthogonal zum Normalenvektor von F ist, dann hat man den Normalenvektor von E; außerdem noch irgendeinen Stützvektor. Aufgaben Seiten 1 17 Zu erledigen bis ging gut war schwer ging gar nicht Grundlage 1 2 N- & K-Form Normalenform und Parameterform Seiten Gerade/Ebene Ebene/Ebene komplex Seiten Winkel 4 5cd 6a (ggf. Schnittgeraden!) Ebenen in Normalenform 4

5 Abstandsberechnungen Mit Normalenvektoren lassen sich exzellent Abstandsberechnungen durchführen. Sie sind hier wie auch im Buch nach Schwierigkeit geordnet, deshalb kommen Ebenen auch recht früh. Begriffsklärungen: Lotgerade, Lot, Lotfußpunkt Eine Gerade, die eine Ebene senkrecht schneidet (Schnittwinkel 90 ) heißt Lotgerade oder einfach Lot. Von einem vorgegebenen Punkt A außerhalb der Ebene E kann man das Lot auf E fällen, indem man die Lotgerade durch A berechnet. Der Schnittpunkt der Lotgeraden auf E heißt Lotfußpunkt. Der Abstand Punkt Punkt Der ist nur der Vollständigkeit halber hier angegeben. Wenn die Punkte P und Q heißen, muss man natürlich nur den Betrag des Vektors PQ berechnen. Der Abstand Punkt Ebene Berechnung mit der normalen Normalenform Das ist auch nicht schwer (siehe auch Seite 145): Wenn man den Abstand des Punktes P von der Ebene E berechnen möchte, muss man so vorgehen: Lotgerade g durch P auf E berechnen. Lotfußpunkt L von g auf E berechnen. Betrag des Vektors PL berechnen fertig. Berechnung mit der Hesse schen Normalenform Das geht etwas schneller wenn man eben die Hesse sche Normalform hat (siehe Seite 147): Die Ebene in Hesse scher Normalenform: x a n = 0 E: ( ) 0 Der Punkt P hat natürlich den Ortsvektor p Abstandsformel d = p a n ( ) 0 Halbräume ( S. 149) Lässt man bei der Abstandsberechnung die Betragsstriche weg, erhält man manchmal auch negative Werte für d. Damit kann man feststellen, ob sich zwei Punkte auf derselben Seite von E befinden. Das ist der Fall, wenn d für beide Punkte das gleiche Vorzeichen hat. Man sagt dann, die beiden Punkte befinden sich im gleichen Halbraum. Der Abstand paralleler Ebenen Natürlich ergibt nur bei parallelen Ebenen der Begriff Abstand überhaupt einen Sinn welchen Abstand sollten Ebenen haben, die sich schneiden? Bei parallelen Ebenen ist der Abstand natürlich immer gleich. Das Verfahren ist sehr einfach, wenn man die vorigen kapiert hat: Man sucht sich irgendeinen Punkt auf der einen Ebene und berechnet dann dessen Abstand zur anderen Ebene, wie oben beschrieben. Das war s. Siehe dazu auch Seite 152. Ebenen in Normalenform 5

6 Der Abstand Gerade Ebene (auch parallel) Das ist nun auch keine Kunst mehr: Einfach einen Punkt auf der Gerade benutzen, z.b. den Stützpunkt und dann den Abstand dieses Punktes von der Ebene berechnen. Der Abstand Punkt Gerade Das ist jetzt etwas frickelig. Wir interessieren uns natürlich nur für den geringsten Abstand zwischen einem Punkt P und der Geraden g. Dabei unterscheiden wir zwischen dem zwei- und dem dreidimensionalen Fall: Zweidimensional Zunächst benötigt man einen Normalenvektor zu g das ist ein Vektor, der senkrecht zum Richtungsvektor von g liegt. Mithilfe dieses Normalenvektors bildet man eine Art Hesse sche Normalenform der Gerade der Stützvektor der Parametergleichung kann natürlich recycelt werden. Man setzt den Stützvektor von P in diese Hesse sche Normalenform ein. Von dem sich ergebenden Skalarprodukt berechnet man den Betrag das ist der gesuchte Abstand! Siehe Seite 15. Dreidimensional Man konstruiert sich eine Ebene E, die den Richtungsvektor von g als Normalenvektor hat. Den Ortsvektor von P kann man als Stützvektor benutzen. Man berechnet den Lotfußpunkt L von g auf E. Der Abstand von P nach L ist der gesuchte Abstand. Siehe Seite 15. Der Abstand paralleler Geraden Wenn g und h parallele Geraden sind, berechnet man einfach den Abstand des Stützvektors von g zu der Gerade h (oder anders herum) nach der oben beschrieben Weise. Aufgaben Seiten Zu erledigen bis ging gut war schwer ging gar nicht 1 Punkt Ebene 11 Gerade Ebene 14 Punkt/Gerade par. Geraden Ebenen in Normalenform 6