SCHULE und LERNEN. Trainer Abitur Mathematik (Analytische Geometrie und Stochastik) 11. Klasse bis Abitur

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1 SCHULE und LERNEN Trainer Abitur Mathematik (Analytische Geometrie und Stochastik). Klasse bis Abitur

2 Alle Rechte vorbehalten. Nachdruck, auch auszugsweise, vorbehaltlich der Rechte, die sich aus den Schranken des UrhG ergeben, nicht gestattet. Für die Inhalte der im Buch genannten Internetlinks, deren Verknüpfungen zu anderen Internetangebote und Änderungen der Internetadressen kann der Verlag keine Verantwortung übernehmen und macht sich diese Inhalte nicht zu eigen. Ein Anspruch auf Nennung besteht nicht. F. A. Brockhaus/wissenmedia in der inmediaone] GmbH, Gütersloh/München 202 Das Wort BROCKHAUS ist eine eingetragene Marke der wissenmedia in der inmediaone] GmbH Redaktionelle Leitung: Monika Lobeck Redaktion: Marie Hilsmann Producing: red.sign GbR, Stuttgart Autoren: Anja Rockstein, Martin Antol, Frank Polte, Julia Scheuer Satz: red.sign GbR, Stuttgart Layout: tiff.any GmbH, Berlin Grafiken: Frank Stiefel, Berlin

3 Mathematik Inhaltsverzeichnis Band 2 Inhalt Hinweise zur Abiprüfung Repetitorium Analytische Geometrie Punkte im Raum Rechnen mit Vektoren Geraden Ebenen Kugeln Stochastik Grundbegriffe und Rechenregeln Baumdiagramme Bedingte Wahrscheinlichkeit Kombinatorische Abzählverfahren Bernoulli-Experimente Gemischte Aufgaben Klausuren Mögliche Abiturklausuren Abitur A 20 Min Abitur B 20 Min Abitur C 20 Min Hinweise und Tipps zu den Abiturklausuren Lösungen Arbeitsaufgaben Klausuren Weblinks zum Thema Abitur Register

4 Mathematik Hinweise zur Abiprüfung Hinweise zur Abiprüfung Die einheitlichen Prüfungsanforderungen in der Abiturprüfung (Beschluss der Kultusministerkonferenz vom i. d. F. vom ) betonen den Beitrag des Mathematikunterrichts zu Allgemeinbildung und Studierfähigkeit. Insbesondere sollen folgende Grunderfahrungen ermöglicht werden: Mathematik als ein deduktives System abstrakter Objekte mit einem Höchstmaß an innerer Vernetzung und Offenheit gegenüber Neuschöpfungen, neuen Ordnungen und Beziehungen (Mathematik als formale Wissenschaft), Mathematik als ein Reservoir an Modellen, mit denen Erscheinungen der Welt rational zu interpretieren sind (Mathematik als anwendbare Wissenschaft), Mathematik als ideales Übungsfeld zum Erwerb allgemeiner Problemlösefähigkeiten (Mathematik als Mittel zur Ausbildung heuristischer Fähigkeiten). Die spezifischen fachlichen und methodischen Kompetenzen, die in der Abiturprüfung nachgewiesen werden müssen, sind in drei Anforderungsbereiche eingeteilt: Der Anforderungsbereich I umfasst die Verfügbarkeit von Daten, Fakten, Regeln, Formeln, mathematischen Sätzen usw. aus einem abgegrenzten Gebiet im gelernten Zusammenhang die Beschreibung und Verwendung gelernter und geübter Arbeitstechniken und Verfahrensweisen in einem begrenzten Gebiet und in einem sich wiederholenden Zusammenhang (z. B. Bereitstellen von Definitionen, Anfertigen von Skizzen, Ausführen von geübten Algorithmen wie Ableiten und Integrieren, Darstellen statistischer Daten) Der Anforderungsbereich II umfasst selbstständiges Auswählen, Anordnen, Verarbeiten und Darstellen bekannter Sachverhalte unter vorgegebenen Gesichtspunkten in einem durch Übung bekannten Zusammenhang selbstständiges Übertragen des Gelernten auf vergleichbare neue Situationen, wobei es entweder um veränderte Fragestellungen oder um veränderte Sachzusammenhänge oder um abgewandelte Verfahrensweisen gehen kann (z. B. Veranschaulichen und Beschreiben von Zusammenhängen bei bekannten Sachverhalten, Ausführen von Beweisen, deren Beweisstruktur bekannt ist, Übersetzen einer Ausgangssituation in ein geeignetes mathematisches Modell) Der Anforderungsbereich III umfasst planmäßiges und kreatives Bearbeiten komplexerer Problemstellungen mit dem Ziel, selbstständig zu Lösungen, Deutungen, Wertungen und Folgerungen zu gelangen bewusstes und selbstständiges Auswählen und Anpassen geeigneter gelernter Methoden und Verfahren in neuartigen Situationen (z. B. kreatives Übersetzen einer komplexeren Ausgangssituation in ein geeignetes mathematisches Modell) 4

5 Analytische Geometrie. Punkte im Raum Analytische Geometrie In den ersten Kapiteln zum Thema Analytische Geometrie werden die Bestimmung von Punkten im Zwei- und Dreidimensionalen, die Grundrechenarten und Lagebeziehungen von Vektoren behandelt. Diese sollte man sicher beherrschen, bevor man sich den weiteren Kapiteln widmet. Häufig werden Flüchtigkeitsfehler, besonders Abschreib- und Vorzeichenfehler, bei der Berechnung verursacht. Daher empfiehlt es sich zuerst nach Abschreib- und Vorzeichenfehler zu suchen, bevor man alles neu rechnet.. Punkte im Raum Punkte im räumlichen Koordinatensystem werden erst durch das Festlegen von Bezugslinien eindeutig. In einigen Bundesländern ist es üblich, die Achsen mit x, x 2, x 3 zu beschriften. z 3 P (3 2 4) y 2 3 x Aufgaben Zeichnen Sie folgende Punkte in ein Koordinatensystem. A (2 0 0), B (0 3 0), C (0 0 2), D ( 3 2), E (2 2 ) Lösung s. 05 5

6 Analytische Geometrie.2 Rechnen mit Vektoren 2 Bestimmen Sie die Koordinaten der angegebenen Punkte. a) z H 4 G b) P E 3 2 F N O,5 M x 3 2 A D 2 3 C y B x z 2 L 2 y 6 K 2 c) z 3 2 S x A 2 3 D B C y Lösung s Rechnen mit Vektoren Ein Vektor wird nur durch seine Länge, seine Richtung und seine Orientierung festgelegt. Die Lage im Raum ist frei wählbar. Ein Vektor wird deswegen auch als Pfeilklasse beschrieben und grafisch als Pfeil dargestellt, der dann Repräsentant des Vektors ist..2. Bestimmung eines Vektors Will man den Vektor bestimmen, der die Punkte A und B verbindet und in die Richtung von B zeigt, gilt: Dabei werden a x, a y, a z Koordinaten des Vektors genannt. 6

7 Analytische Geometrie.2 Rechnen mit Vektoren Beispiele Zweidimensional: A ( 2 ); B ( 3 4) Dreidimensional: A (2 3 4); B (6 5 ).2.2 Länge eines Vektors Die Länge eines Vektors wird auch als Betrag des Vektors bezeichnet. Die Länge eines Vektors im Zwei- oder Dreidimensionalen wird über den Satz des Pythagoras ermittelt. Wenn die Länge l des Vektors mit ermittelt werden soll, gilt: y 0A A (a x a y ) 0 x Im dreidimensionalen Raum wird folgende Formel benutzt, um die Länge l des Vektors mit zu ermitteln: z A (a x a y a z ) 0A 0 y x Beispiele im Zweidimensionalen: im Dreidimensionalen: 7

8 Analytische Geometrie.2 Rechnen mit Vektoren Weitere Begriffe: Ein Vektor mit der Länge 0 wird Nullvektor genannt, ein Vektor mit der Länge l = Einheitsvektor. Aufgaben Bestimmen Sie die Länge folgender Vektoren. a) b) c) d) 2 Wie muss a gewählt werden, damit der Abstand zwischen A und B die Länge l beträgt? a) A (6 ), B (3 a), l = 5 b) A (a 5 ), B (3 3 ), l = 0 c) A (a a 2), B ( 2 ), l = 5 3 Wie muss a gewählt werden, damit der Abstand zwischen A und B größer ist als der zwischen C und D? a) A (a 2), B ( 3), C (2 3), D ( 2) b) A (3 a ), B ( 2 0 ), C ( ), D (0 2 3) c) A (a a 2), B (0 2), C ( 2 2 ), D (3 ) Lösung s Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation Addition a) grafisch: a + b b a b) rechnerisch: Die Summe zweier Vektoren Vektoren addiert. bildet man, indem man die Koordinaten der beiden Zu jedem Vektor gibt es einen Gegenvektor. Die Addition dieser beiden Vektoren ergibt den Nullvektor. 8

9 Analytische Geometrie.2 Rechnen mit Vektoren Subtraktion a) grafisch: a b b a b) rechnerisch: Die Differenz zweier Vektoren bildet man, indem man die Koordinaten der beiden Vektoren subtrahiert. Skalare Multiplikation a) grafisch: a 2 a b) rechnerisch: Multipliziert man einen Vektor mit einer reellen Zahl s (Skalar), muss man jede Komponente des Vektors mit dem Skalar multiplizieren. Aufgaben Berechnen Sie. a) b) c) d) 2 Bestimmen Sie die fehlenden Koordinaten. a) b) 3 Bestimmen Sie, wenn möglich, x. a) b) Lösung s. 06 9

10 Analytische Geometrie.2 Rechnen mit Vektoren Bestimmung des fehlenden Punktes eines Parallelogramms Wenn von einem Parallelogramm drei Punkte gegeben sind und der fehlende Punkt gesucht wird, kann man ihn sehr leicht über eine vektorielle Addition bestimmen. Beispiele Gegeben sind die drei Punkte A ( 2), B (3 ), C (2 3) des Parallelogramms ABCD. Durch Parallelverschiebung des Vektors in den Punkt A erhält man den Punkt D. Es ist ebenso möglich, den Punkt D durch Parallelverschiebung des Vektors in den Punkt C zu bestimmen. y D BC BA C A 0A 0C B 0 x Rechnerisch erhält man den Punkt D durch Addition des Vektors mit dem Vektor. D( 2 4) Es ist natürlich ebenso möglich, den Vektor auf den Vektor zu addieren. D( 2 4) Dies gilt natürlich auch im Dreidimensionalen. Achten Sie bei der Addition des Vektors darauf, dass der Vektor in die richtige Richtung zeigt. Fertigen Sie im Zweifelsfall eine Freihandskizze an. Aufgaben Gegeben sind die Punkte A ( 3 2), B (2 ), C (3 3) des Parallelogramms ABCD. Wie lauten die Koordinaten des Punktes D? 2 Gegeben sind die Punkte A (3 3), B (2 5 2), C ( 0 3) des Parallelogramms ABCD. Wie lauten die Koordinaten des Punktes D? Lösung s. 06 0

11 Analytische Geometrie.2 Rechnen mit Vektoren 3 Gegeben sind die Punkte A (2 3 3), B (3 5 ), D ( 2 6) des Parallelogramms ABCD. Wie lauten die Koordinaten des Punktes C? Lösung s Skalarprodukt Für die Bildung des Skalarproduktes gilt: Beispiel Das Skalarprodukt ergibt niemals einen Vektor, sondern immer eine Zahl. Das Skalarprodukt kann zur Bestimmung eines Winkels zwischen zwei Vektoren genutzt werden. Es gilt: Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren null ( senkrecht aufeinander. ), stehen die beiden Vektoren Beispiel Bestimmung eines Winkels zwischen zwei Vektoren

12 Analytische Geometrie.2 Rechnen mit Vektoren Aufgaben Bestimmen Sie das Skalarprodukt. a) b) c) 2 Bestimmen Sie den Winkel zwischen folgenden Vektoren. a) b) c) 3 Wie muss a gewählt werden, dass beide Vektoren senkrecht aufeinander stehen? a) b) c) 4 Prüfen Sie, ob folgende Dreiecke ABC rechtwinklig sind. a) A ( ); B (3 2); C (0 4) b) A ( 3 2); B (0 2 6); C (4 4 3) c) A (0 ); B ( 3 3); C (3 4 4) d) A (3 3 ); B (5 7 5); C (2 2 3) e) A (2 3); B ( 2); C (2 2 ) 5 Wie lang sind die Seiten des Dreiecks? Wie groß sind die Innenwinkel des Dreiecks? a) A (2 ); B (3 ); C ( 2) b) A ( 0 3); B ( 2); C (2 0) 6 Wie muss a gewählt werden, damit das Dreieck rechtwinklig ist? a) A (a a); B (2 ); C (4 3) b) A (a a 2a); B (3 2 2); C ( 2 2) Lösung s. 06 Bestimmung des Flächeninhalts eines Parallelogramms/Dreiecks Mithilfe des Skalarproduktes kann die Fläche eines Parallelogramms bestimmt werden. Halbiert man den Flächeninhalt des Parallelogramms, erhält man den Flächeninhalt des von den Vektoren aufgespannten Dreiecks. Diese Berechnung sollte man nur nutzen, wenn das Kreuzprodukt im Unterricht nicht eingeführt wurde. Für den Flächeninhalt des Parallelogramms gilt: ( ist der zwischen den Vektoren eingeschlossene Winkel und wird mit dem Skalarprodukt berechnet) Für das Dreieck gilt: 2

13 Analytische Geometrie.2 Rechnen mit Vektoren Beispiel Gegeben sind die Vektoren und. Wie groß ist der Flächeninhalt des von ihnen aufgespannten Parallelogramms? Berechnung von : Aufgabe Wie groß ist die Fläche des Parallelogramms, das durch die beiden Vektoren aufgespannt wird? a) b) c) Lösung s Kreuzprodukt Durch die Bildung des Kreuzproduktes erhält man einen Vektor, der senkrecht auf der von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht. So kann man auf einfache Weise den Normalenvektor einer Ebene bestimmen (vgl. Seite 32). Die Länge des Normalenvektors spielt keine Rolle, deswegen können alle Koordinaten am Ende gekürzt werden. Ebenso kann der Gegenvektor als Normalenvektor verwendet werden.. Beispiel 3

14 Analytische Geometrie.2 Rechnen mit Vektoren Merkschema zum Kreuzprodukt Koordinaten Kreuze Produkte Ergebnis x mittleres : 2 5 ( 2) 2 3 n y unteres : 0 ( 4) 5 n z oberes : 4 ( 2) Aufgabe Bestimmen Sie das Kreuzprodukt von: a) b) c) Lösung s. 07 Mithilfe des Kreuzproduktes lässt sich die von zwei Vektoren aufgespannte Fläche eines Parallelogramms wesentlich leichter berechnen als mit dem Skalarprodukt. Hier darf die Länge des Vektors nicht geändert werden. Es gilt: Für das von den Vektoren aufgespannte Dreieck gilt demzufolge: Beispiel 3,5 FE Aufgabe Bestimmen Sie den Flächeninhalt folgender Parallelogramme mit Hilfe des Kreuzproduktes. a) b).2.6 Kollineare und komplanare Vektoren Lösung s. 07 Kollineare Vektoren Zwei Vektoren bezeichnet man als kollinear, wenn ihre Pfeile parallel oder übereinander liegen. Ihr Richtungssinn muss nicht gleich sein. Der eine Vektor kann dann als Vielfaches des anderen Vektors dargestellt werden. Es gilt: 4

15 Analytische Geometrie.2 Rechnen mit Vektoren Beispiel Prüfen Sie, ob folgende Vektoren kollinear sind. Da man unterschiedliche Lösungen für k erhält, sind die Vektoren nicht kollinear. Komplanare Vektoren Befinden sich die Pfeile von drei oder mehr als drei Vektoren in einer Ebene, sind die Vektoren linear voneinander abhängig. Die Vektoren sind komplanar. Im Folgenden wird nur die Lagebeziehung dreier Vektoren untersucht. Es gilt: oder oder Liegen die Vektoren in einer Ebene? Beispiel Addiert man die dritte und die zweite Gleichung, erhält man für k = 2; setzt man diesen Wert in die dritte Gleichung ein, erhält man für l = 3. Da das Gleichungssystem überbestimmt war, muss man in der bis dahin nicht genutzten ersten Gleichung die Probe machen. Man erhält eine wahre Aussage, die Vektoren sind komplanar. Kollineare Vektoren liegen immer in einer Ebene mit einem anderen Vektor. Aufgaben Prüfen Sie, ob die Vektoren kollinear sind. a) b), c) Lösung s. 08 5

16 Analytische Geometrie.2 Rechnen mit Vektoren 2 Zeigen Sie, dass die Vektoren komplanar sind. a) b) c) 3 Bestimmen Sie x so, dass die Vektoren kollinear sind. Lösung s. 08 Wissen Rechnen mit Vektoren Addition: Subtraktion: Skalare Multiplikation: Skalarprodukt: Winkel zwischen zwei Vektoren: Rechter Winkel zwischen zwei Vektoren: Kreuzprodukt: Kollinear: Komplanar: oder oder 6

17 Analytische Geometrie.3 Geraden.3 Geraden Die Gleichung einer Geraden kann man im dreidimensionalen Raum durch einen Ortsvektor als Stützvektor und einen Richtungsvektor darstellen. Will man die Gleichung der Geraden g, die durch die Punkte A und B verläuft, aufstellen, bestimmt man zuerst den Stützvektor des Punktes A. Der Stützvektor ist der Pfeil, der den Koordinatenursprung mit einem Punkt, in diesem Fall A, verbindet. Der Richtungsvektor kann durch zwei beliebige Punkte der Geraden g gebildet werden. Der Richtungsvektor stellt alle Pfeile dar, die kollinear zur Geraden g verlaufen. Dies gilt analog im zweidimensionalen Raum. Durch Multiplikation mit einem Faktor λ kann er jede beliebige Richtung annehmen..3. Parametergleichung/Zweipunktegleichung Die allgemeine Parametergleichung einer Geraden lautet: Diese Form erhält man aus der Zweipunktegleichung einer Geraden: Der Parameter λ verschiebt den Punkt A in Richtung. Da λ wird durch die Verschiebung jeder Punkt der Geraden beschieben. y 0A A Richtungsvektor m Ortsvektor AB x B X Beispiel 0 x Gesucht ist die vektorielle Gleichung der Geraden g, die durch die Punkte A (2 3 ) und B (4 2 3) verläuft. 7

18 Analytische Geometrie.3 Geraden Aufgabe Wie lauten die Geradengleichungen, die durch folgende Punkte verlaufen? a) P (3 ), Q (4 2) b) P (2 3 3), Q ( 4 2) c) P (2 3 ), Q ( 2 0) d) P (a 2 ), Q (3 0) Lösung s Geraden im Zweidimensionalen Geradengleichungen im zweidimensionalen Raum können auch ohne Vektoren aufgestellt werden. Folgende Darstellungsformen gibt es: allgemeine Funktionsgleichung: Koordinatengleichung: y = mx + n ax + by = c Verläuft eine Gerade nicht parallel zu den Koordinatenachsen, kann man sie sehr einfach mit der Achsenabschnittsgleichung aufstellen: a ist der x-achsenabschnitt der Geraden und b der y-achsenabschnitt. Beispiel Eine Gerade schneidet die x-achse bei x = 3 und die y-achse bei y = 2. Wie lautet die Gleichung der Geraden in der Achsenabschnittsform? Aufgabe Bestimmen Sie die Gleichungen der Geraden, die durch folgende Punkte verlaufen, in vektorieller Form, als allgemeine Funktionsgleichung und in der Achsenabschnittsform: a) A ( 3 8), B (3 0) b) A (2 3), B ( 6 ) c) Die Gerade schneidet die x-achse bei 2 und die y-achse bei 4. Lösung s Lagebeziehung Lagebeziehung Punkt Gerade Will man feststellen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, setzt man den Punkt als Orts vektor für den Vektor in die Geradengleichung ein und bestimmt den Parameter λ. Erhält man für λ in jeder Zeile den gleichen Wert, liegt der Punkt auf der Geraden. 8

19 Analytische Geometrie.3 Geraden Beispiel Liegt der Punkt P (2 3) auf der Geraden g? Den Punkt in einsetzen und λ bestimmen. Da λ immer den gleichen Wert hat, liegt der Punkt P auf der Geraden g. Aufgaben Liegt der Punkt P auf der Geraden g? a) P ( 5 6 6) b) P (3 2 6) c) P ( 2 3) 2 Wie muss der Parameter a gewählt werden, damit der Punkt P auf der Geraden g liegt? a) P (0 7 ) b) P ( 4 ) Lösung s. 08 Lagebeziehung Punkt Strecke Will man feststellen, ob ein Punkt P auf der Strecke AB liegt, muss man prüfen, ob der Parameter λ einen Wert zwischen Null und Eins annimmt, wenn man P in die Geradengleichung einsetzt. Wenn 0 λ gilt, liegt der Punkt auf der Strecke AB. 9

20 Analytische Geometrie.3 Geraden Will man den Mittelpunkt der Strecke AB bestimmen, setzt man für y λ = ein. 0A A 2 M 2 B 0M 0 x Will man Strecken in Verhältnisse teilen, setzt man für λ den Quotienten ein, der sich aus dem Teilungsverhältnis ergibt. Die Teilungspunkte ergeben sich aus: y 0A A 3 3 P 3 P 2 0P 0P2 B 0 x Verhältnis :2 bedeutet Teil zu 2 Teilen, es sind also insgesamt 3 Teile, man muss einsetzen. Beispiel Dritteln Sie die Strecke AB mit den Endpunkten A ( 4 2), B (4 2 ). Den ersten Punkt erhält man, wenn. P (2 2 ) 20

21 Analytische Geometrie.3 Geraden Den zweiten Punkt erhält man, wenn. P 2 (3 0 0) Die Punkte, die die Strecke dritteln, lauten: P (2 2 ); P 2 (3 0 0). Aufgaben Bestimmen Sie den Mittelpunkt der Strecke AB folgender Geraden, die dieser Form genügen: a) b) 2 Wie lautet der Punkt P, der die Strecke AB folgender Geraden im Verhältnis :2 teilt? a) A (0 3 4); B ( 3 3 2) b) A ( 2 3); B ( 2 3) Lösung s Spurpunkte Die Punkte, in denen eine Gerade g die Koordinatenebenen schneidet, werden Spurpunkte genannt. z g S yz S xy y x S xz Um die Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen zu berechnen, setzt man: Spurpunkt mit der xy-ebene z S = 0 Spurpunkt mit der xz-ebene y S = 0 Spurpunkt mit der yz-ebene x S = 0 2

22 Analytische Geometrie.3 Geraden Als Eselsbrücke: Die Koordinate, die in der Ebenenbezeichnung fehlt, ist Null. Beispiel Berechnen Sie den Spurpunkt der Geraden g mit der xz-ebene. Die Gleichung der Geraden g lautet: y s = 0 I. II. III. Der Spurpunkt lautet: λ wird in I. und III. eingesetzt Aufgaben Berechnen Sie die Spurpunkte folgender Geraden. a) b) die Gerade verläuft durch die Punkte P ( 0 ), Q ( 2 3 ) 2 Bestimmen Sie den Spurpunkt der Geraden, die a) durch S und A verläuft mit der xy-ebene b) durch S und B verläuft mit der xz-ebene c) durch S und C verläuft mit der yz-ebene d) durch S und D verläuft mit der xy-ebene z D S C A B y x Lösung s

23 Analytische Geometrie.3 Geraden 3 Ein Flugzeug, das sich vom Punkt A (3 2) in Richtung B (2 2 ) bewegt, befindet sich im Landeanflug. Wie lautet der Landepunkt P, wenn der Flughafen sich auf Normalhöhennull befindet und das Flugzeug weiterhin geradlinig fliegt? Lösung s. 09 Lagebeziehung Gerade Gerade Will man die Lage zweier Geraden prüfen, bietet sich folgende Vorgehensweise an: Zuerst prüft man, ob die Richtungsvektoren der Geraden kollinear sind. Fall : Sind sie kollinear, können die Geraden identisch oder parallel zueinander sein. Um das zu testen, setzt man den Ortsvektor der einen Geraden in die andere Gerade ein. Erhält man eine wahre Aussage, sind die Geraden identisch, erhält man eine falsche Aussage, sind die Geraden parallel. Fall 2: Sind die Geraden nicht kollinear, können sie sich schneiden oder sind windschief. Um das zu testen, setzt man beide Geraden gleich. Erhält man eine Lösung für den Parameter, schneiden sich die Geraden. Den Schnittpunkt erhält man, indem man den Parameter in die Geradengleichung einsetzt. Erhält man eine falsche Aussage, sind die Geraden windschief. Ermittlung der lagebeziehung Gerade Gerade Gegeben sind die Geraden: Welche Lage nehmen die Geraden zueinander ein? Sind die Geraden kollinear? Ja Sind die Geraden identisch? Man nutzt eine der beiden Gleichungen: Nein Schneiden sich die Geraden? Wahre Aussage Die Geraden sind identisch. Falsche Aussage Die Geraden sind parallel. Erhält man eine Lösung für λ und μ, schneiden sich die Geraden. Den Schnittpunkt erhält man, indem man λ in oder μ in einsetzt. Falsche Aussage Die Geraden sind windschief. 23

24 Analytische Geometrie.3 Geraden Beispiel Die Geraden sind parallel: Man prüft, ob Kollinearität vorliegt: Die Geraden sind kollinear. Sind die Geraden identisch oder parallel? Man erhält = + 2λ λ = 0 Man setzt den Parameterwert in die zweite Gleichung ein: 3 = 2 + (0) 3 3 = 2 und erhält eine falsche Aussage. Die Geraden sind parallel. Die Geraden sind identisch: Beispiel Man prüft, ob Kollinearität vorliegt: Die Geraden sind kollinear. Sind die Geraden identisch oder parallel? Man erhält Die Geraden sind identisch. 24

25 Analytische Geometrie.3 Geraden Beispiel Die Geraden schneiden sich Man prüft, ob Kollinearität vorliegt: aus der zweiten Zeile erhält man k = 2; setzt man k in die erste Zeile ein, erhält man einen Widerspruch: 6 =. Daraus folgt: Die Geraden sind nicht kollinear. Schneiden sich die Geraden? I. II. III. Addiert man die erste zur dritten Gleichung, erhält man: I. + III. Setzt man λ in die erste Gleichung ein, erhält man: in I ( ) = 3 + μ μ = 2 Um die Werte λ und μ zu überprüfen, setzt man sie in die zweite, noch nicht benutzte Gleichung ein: λ und μ in II. 3 ( ) = 2 + 2( 2) II. 2 = 2 Man erhält eine wahre Aussage. Die Geraden g und h schneiden sich. Will man den Schnittpunkt der Geraden g und h bestimmen, setzt man den Wert, den man für λ erhalten hat, in g ein. Natürlich kann man auch den Wert, den man für μ erhalten hat, in h einsetzen. oder Der Schnittpunkt lautet SP ( 2 ). 25

26 Analytische Geometrie.3 Geraden Beispiel Die Geraden sind windschief Man prüft, ob Kollinearität vorliegt: Aus der ersten Zeile erhält man k = 2; setzt man k in die dritte Zeile ein, erhält man einen Widerspruch: 6 = 6. Daraus folgt: Die Geraden sind nicht kollinear. Schneiden sich die Geraden? I. II. III. Multipliziert man die erste Gleichung mit 2 und addiert die erste zur zweiten Gleichung, erhält man: Da dies eine falsche Aussage ist, sind die Geraden windschief. Aufgaben Prüfen Sie, ob folgende Geraden parallel oder identisch sind. a) b) c) Die Gerade g geht durch die Punkte P ( 2 3) und Q (3 0 3). Die Gerade h geht durch die Punkte R ( 2 0) und S ( 3). Lösung s

27 Analytische Geometrie.3 Geraden 2 Schneiden sich die Geraden oder sind sie windschief? Bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt S. a) b) c) d) 3 Welche Lage haben folgende Geraden zueinander? Bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt S! a) b) c) d) Lösung s. 09 Schnittwinkel zweier Geraden Der Schnittwinkel zweier Geraden wird ähnlich wie der Schnittwinkel zweier Vektoren bestimmt. Da Geraden im Gegensatz zu Vektoren keinen Richtungssinn haben, wird festgelegt, dass der kleinere der beiden Winkel der Schnittwinkel α S der Geraden ist. Ein Schnittwinkel ist immer

28 Analytische Geometrie.3 Geraden Um den Schnittwinkel zweier Geraden g und h zu berechnen, mit, gilt folgende Gleichung: und Aufgabe Bestimmen Sie den Schnittpunkt S und den Schnittwinkel α S zwischen den Geraden. a) b) und Gerade h, die durch die Punkte P (4 3 7) und Q (3 2 5) geht. c) Gerade g, die durch die Punkte A (5 3 ) und B (3 5 2) und Gerade h, die durch die Punkte C (2 5 3) und D ( 3 ) führen. Lösung s Gemischte Aufgaben Aufgaben Gegeben sind die Punkte A (4 ), B ( 8 4), C ( 3 3), D ( 3). a) Bestimmen Sie die allgemeine Funktionsgleichung, die Koordinatengleichung, die Achsenabschnittsgleichung und die Parametergleichung der Geraden g, die durch die Punkte A, B, und der Geraden h, die durch die Punkte C, D verläuft. b) Bestimmen Sie Schnittpunkt S und Schnittwinkel α S mit der Parametergleichung der Geraden. c) Prüfen Sie, ob die Punkte P ( 0,5 4,5) und Q ( 4 6) auf der Strecke CD liegen. 2 H z G E F D y C A x B Lösung s

29 Analytische Geometrie.3 Geraden a) Bestimmen Sie mit Hilfe der Skizze die Punkte A, B, C, D, E, F, G, und H. b) Schneiden sich die Raumdiagonalen des Quaders? c) Wie lauten die Spurpunkte der Geraden, die durch A und G verläuft? d) Wie groß ist die Fläche des Dreiecks AHC? 3 Eine Bohrung von 5 mm Durchmesser geht durch die Mitte des unten abgebildeten Werkstücks. Vom Mittelpunkt der Seitenschräge soll eine senkrechte Bohrung ( γ = 90 ) mit dem Durchmesser von 3 mm bis zur mittleren Bohrung durchgeführt werden. Ø 3 Ø 5 γ α S x a) In welchem Abstand x (Bohrlochmitte!) vom rechten Rand des Werkstücks mündet die schräge Bohrung in die mittlere (waagrecht dargestellte) Bohrung? b) Wie groß ist der Schnittwinkel α S der beiden Bohrungen? c) Wie muss der Winkel λ der oberen Bohrung gewählt werden, damit ein Abstand von 5 mm gewährleistet ist? 4 Das U-Boot U3 bewegt sich mit seiner Höchstgeschwindigkeit von 20 kn (Knoten) bei einer Probetauchfahrt vom Ausgangspunkt mit den Koordinaten A ( 2 3 0,3) zum Punkt B (0 0,5). Der Schnellfrachter Gotland, der sich mit einer Geschwindigkeit von kn von C ( 2 0) nach D (5 0 0) bewegt, befindet sich möglicherweise auf Kollisionskurs ( Einheit entspricht Seemeile sm =,852 km kn =,852 km h). a) Bestimmen Sie Ort und Zeit des Kollisionspunktes. b) Der Kapitän des U-Bootes lässt den Kurs des U-Bootes im Punkt A in Richtung ändern. Wie weit sind die Schiffe voneinander entfernt, wenn das U-Boot auftaucht? Lösung s. 0 29

30 Analytische Geometrie.3 Geraden Wissen Geraden Parametergleichung einer Geraden: Zweipunktegleichung einer Geraden: Lagebeziehung Punkt-Gerade: Ortsvektor des Punktes für einsetzen; erhält man in allen drei Gleichungen eine Lösung für λ, liegt der Punkt auf der Geraden. Lagebeziehung Punkt-Strecke: Liegt der Punkt auf der Geraden, die durch A und B verläuft und es gilt: 0 λ, dann liegt der Punkt auf der Strecke AB. Mittelpunkt der Strecke AB, λ = Will man Strecken in Verhältnisse teilen, setze man für λ den Quotienten ein, der sich aus dem Teilungsverhältnis ergibt. Spurpunkt mit der xy-ebene z S = 0 Spurpunkt mit der xz-ebene y S = 0 Spurpunkt mit der yz-ebene x S = 0 Geraden: Geraden identisch: wahre Aussage und oder wahre Aussage Geraden parallel: wahre Aussage und oder falsche Aussage Geraden windschief: falsche Aussage und falsche Aussage Geraden schneiden sich: falsche Aussage und wahre Aussage Den Schnittpunkt erhält man, indem man λ in oder μ in einsetzt. Schnittwinkel zweier Geraden: cos α 30

31 Analytische Geometrie.4 Ebenen.4 Ebenen Es gibt drei unterschiedliche Formen der Ebenengleichungen: a) Parametergleichung/Punktrichtungsgleichung/Dreipunktegleichung b) Normalengleichung/Hesse sche Normalengleichung c) Koordinatengleichung/Achsenabschnittsgleichung Jede dieser Ebenengleichungen ist für bestimmte Rechnungen vorteilhaft. Wenn man drei Punkte gegeben hat, eignet sich die Parametergleichung zum Aufstellen einer Ebenengleichung. Zur Berechnung von Schnittwinkeln und Abständen ist die Normalengleichung günstig. Mit der Koordinatengleichung sind alle anderen Berechnungen am einfachsten. Aus diesem Grund sollte man die Umwandlung von einer in die andere Form sicher beherrschen..4. Parametergleichung Die Ebene wird durch einen Ortsvektor im Raum fixiert, von dem dann die beiden Richtungsvektoren die Ebene aufspannen. Die beiden Richtungsvektoren dürfen nicht kollinear sein. z AC 0A AB y x Die Parametergleichung hat die Form. Sie wird auch Punktrichtungsgleichung oder Dreipunktegleichung: genannt. Es handelt sich hierbei um unterschiedliche Beschreibungen der Richtungsvektoren: bzw. Beispiel Parametergleichung aufstellen: Gegeben sind die Punkte P ( 2 ), Q (2 ), R (3 2) 3

32 0A Analytische Geometrie.4 Ebenen Aufgabe Stellen Sie die Parametergleichung der Ebenen auf, die durch folgende Punkte beschrieben werden: a) A ( 3), B (2 2 ), C ( 2 ) b) A (3 3 ), B ( 4 2), C (2 0) c) Stellen Sie die Gleichung der Ebene auf, die durch die Koordinatenachsen x und z aufgespannt wird. d) Eine Ebene geht durch den P (0 0 ) und schneidet die x-achse bei 3 und die y-achse bei 2. Wie lautet die Gleichung der Ebene? Lösung s..4.2 Normalengleichung z n A x 0A X E x 0 y x Eine Ebene ist eindeutig durch einen Punkt auf der Ebene und einen senkrecht zur Ebene stehenden Vektor festgelegt. Diesen senkrecht stehenden Vektor bezeichnet man als Normalenvektor. Die Ebenengleichung wird Normalengleichung der Ebene genannt. Die allgemeine Form einer Normalengleichung lautet: vereinfachte Normalengleichung: Den Normalenvektor bestimmt man über das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren der Parametergleichung: 32

33 Analytische Geometrie.4 Ebenen Beispiel. Schritt: Berechnung von für k = ist Eine mögliche Ebenengleichung in Normalenform lautet: Der Normalenvektor kann ebenso über ein Gleichungssystem bestimmt werden. Da der Normalenvektor senkrecht auf der Ebene steht, muss er auch senkrecht auf beiden Richtungsvektoren stehen. Daher gilt: und Beispiel I. II. I. II. III. III. in I. nach I + II = III erhält man: für y n = k erhält man z n = k x n = k Eine mögliche Ebenengleichung in Normalenform lautet: Will man die vereinfachte Normalenform erhalten, bildet man das Skalarprodukt des Normalenvektors mit und dem Stützvektor, so dass das Skalarprodukt auf einer Seite allein steht. 33

34 Analytische Geometrie.4 Ebenen Beispiel Die vereinfachte Normalengleichung lautet: Aufgabe Wie lautet die Gleichung der Ebene in Normalenform und vereinfachter Normalenform? a) b) c) Lösung s. Hesse sche Normalengleichung Die Hesse sche Normalengleichung normiert die Länge des Vektors auf. Dadurch eignet sich die Hesse sche Normalengleichung gut zur Bestimmung von Abständen. Allgemeine Form: wobei gilt: oder in der vereinfachten Form: Aufgabe Bestimmen Sie die Hesse sche Normalengleichung für folgende Ebenen. a) b) b) Lösung s. 34

35 Analytische Geometrie.4 Ebenen.4.3 Koordinatengleichung Allgemeine Form: E : ax + by + cz = d Diese Form wird Koordinatengleichung genannt und ist für viele Berechnungen die günstigste Form. Die Achsenabschnittsform der Ebenengleichung: Man teilt die Koordinatengleichung der Ebene durch d und erhält die Achsenabschnittsform. A ist die Schnittstelle mit der x-achse (A 0 0), B die Schnittstelle mit der y-achse (0 B 0) und C die Schnittstelle mit der z-achse (0 0 C). Diese Punkte werden auch Spurpunkte genannt. z C B y x A Die Achsenabschnittsform der Ebenengleichung ist günstig, um Skizzen von Ebenen zu erstellen oder eine Gleichung der Ebene aus einer Skizze zu bilden. Aufgabe Bestimmen Sie die Achsenabschnittsgleichungen folgender Ebenen. z a) b) z C B y A B y x C x A 35

36 Analytische Geometrie.4 Ebenen c) z C A y x Lösung s. 2 Umwandlung Normalengleichung in Koordinatengleichung Dabei gilt: Beispiel E : 2x 3y + 7z = ( 3) E : 2x 3y + 7z = 25 Aufgabe Bestimmen Sie die Koordinatengleichungen folgender Ebenen. a) b) c) Lösung s. 2 36

37 Analytische Geometrie.4 Ebenen Umwandlung der Koordinatengleichung in die Normalengleichung Beispiel Benötigt man die allgemeine Form der Normalengleichung, bestimme man einen beliebigen Punkt der Ebene durch Einsetzen in die Koordinatengleichung. 3(0) + 2y 4(0) = 2 y = P(0 0) Die Normalengleichung lautet dann: Aufgabe Bestimmen Sie die allgemeine Form der Normalengleichung. a) b) c) Lösung s. 2 Umwandlung der Koordinatengleichung in die Parametergleichung Diese Umwandlung wird oft durch die Lösung eines LGS bestimmt. Leichter ist es jedoch, drei Punkte zu berechnen und auf dem üblichen Weg die Parametergleichung zu bestimmen. Beispiel P (3 0 0), Q ( 0), R (0 ) Anmerkung: Die beiden Richtungsvektoren dürfen nicht kollinear sein! 37

38 Analytische Geometrie.4 Ebenen Aufgabe Wie lauten die Parametergleichungen folgender Ebenen? a) E : x + y + z = 4 b) E : 2x y + 3z = 2 c) E : 2x y + 4z = 8 Lösung s. 2 Umwandlung Normalengleichung in Parametergleichung Beispiel Gegeben: Gesucht: Es gilt: und Die Vektoren und bestimmt man, indem man eine Koordinate null setzt. Die beiden anderen Koordinaten werden vertauscht, wobei eine Koordinate das Vorzeichen wechselt. und Aufgaben Wandeln Sie folgende Ebenengleichungen in die Parameterform um. a) b) c) 2 Bestimmen Sie die Gleichungen der Ebenen, die durch folgende Punkte gehen, in Parameter-, Normalen- und Koordinatenform. a) P ( ); Q (3 2 2); R (4 2) b) P ( 2 2 ); Q ( 0); R (4 5 2) c) P ( 0 ); Q (2 3 ); R ( 4 2) Lösung s. 2 38

39 Analytische Geometrie.4 Ebenen.4.4 Spurgeraden Spurgeraden sind die Geraden, die jeweils zwei Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen verbinden. Sie sind die Verbindungsgeraden zweier Spurpunkte (s. Abschnitt.3.4). Bsp.: z C g xz g yz B y g xy A x Aufgabe Bestimmen Sie die Spurgeraden folgender Ebenen. a) b) c) d) Die Ebene verläuft durch die Punkte P (2 2 0); Q (2 2); R ( 4 4) Lösung s Lagebeziehungen Punkt Ebene Das einfachste Lösungsverfahren: Der Punkt wird in die Koordinatengleichung der Ebene eingesetzt. Falls die Koordinatengleichung noch nicht vorliegt, wandeln Sie die vorliegende Ebenengleichung in die Koordinatenform um. Beispiel Prüfen Sie, ob der Punkt P ( 2 ) und der Punkt Q (2 ) auf der Ebene 3x 2y + 4z = 3 liegen. Der Punkt P wird in die Ebene eingesetzt: 3() 2(2) + 4() = 3 Man erhält eine wahre Aussage 3 = 3, das heißt, der Punkt liegt auf der Ebene. Setzt man den Punkt Q in die Ebene ein 3(2) 2( ) + 4() = 3, erhält man mit 2 = 3 eine falsche Aussage. Der Punkt Q liegt nicht auf der Ebene. 39

40 Analytische Geometrie.4 Ebenen Es ist natürlich auch möglich, den Punkt in die Normalen- oder Parametergleichung der Ebene einzusetzen, diese Lösungsverfahren sind aber schwieriger. Im Regelfall müssen Sie mehrere Teilaufgaben mit ein und derselben Ebene rechnen. Dann ist es sowieso sinnvoll die Ebenengleichung in alle drei Formen umzuwandeln, um jeweils den leichtesten Rechenweg nutzen zu können. Das spart Zeit und vermeidet Fehler. Punkt Fläche Will man prüfen, ob ein Punkt P innerhalb der Fläche eines vorgegeben Parallelogramms liegt, stellt man die Punktrichtungsgleichung für das Parallelogramm auf. Dann setzt man den Punkt in die Punktrichtungsgleichung ein. Erhält man sowohl 0 λ als auch 0 μ, liegt der Punkt innerhalb des Parallelogramms. Will man prüfen, ob der Punkt P innerhalb der Fläche eines gegebenen Dreiecks ABC liegt, stellt man die Punktrichtungsgleichung für das Dreieck auf. Dann setzt man den Punkt in die Punktrichtungsgleichung ein. Sind folgende Bedingungen erfüllt, liegt der Punkt innerhalb des Dreiecks: Es muss gelten: Beispiel Liegt der Punkt P ( 2 ) im Dreieck ABC mit A ( 0 0), B ( 2), C ( 6 3)? Einsetzen des Punktes P in die Punktrichtungsgleichung: Aus I. folgt. Aus II. folgt. III. ist damit eine wahre Aussage, d. h. der Punkt P liegt auf der Dreiecksfläche. Aufgaben Prüfen Sie, ob der Punkt P ( 2) auf folgenden Ebenen liegt. a) E : 3x + 2y z = b) c) 2 Liegt der Punkt P im Dreieck ABC mit a) A (2 3 ), B ( 2 ), C (4 3) und P (2 2) b) A (3 4 ), B (3 2 2), C ( 0 ) und P (4 0 ) c) A (2 ), B ( 2 3 3), C (0 ) und P ( 2)? Lösung s. 3 40

41 Analytische Geometrie.4 Ebenen Gerade Ebene Die Gerade wird komponenetenweise in die Koordinatengleichung der Ebene eingesetzt. Beispiel E : 2x + 3y z = 6 2( λ ) + 3 ( 2 + 3λ) (2 + λ) = 6 2 2λ 6 + 9λ 2 λ = λ = 6 λ = 2 einsetzen in die Gerade g Der Schnittpunkt lautet S ( 4 4). Entfällt beim Einsetzen der Parameter λ und entsteht eine falsche Aussage, ist die Gerade parallel zur Ebene; entsteht eine wahre Aussage, liegt die Gerade in der Ebene. Aufgaben Bestimmen Sie den Schnittpunkt S der Gerade mit der Ebene für: a) E : 2x + y z = 3 b) E : x + y 3z = 4 2 Welche Lage hat die Gerade zu der Ebene? Bestimmen Sie, wenn möglich, den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene. a) Die Ebene verläuft durch die Punkte A ( ), B (0 ), C (2 ). Die Geradengleichung lautet: b) E : x y + z = 4

42 Analytische Geometrie.4 Ebenen c) Die Ebene verläuft durch die Punkte A (0 ), B (3 ), C ( 3). Die Geradengleichung geht durch die Punkte P ( 5 7), Q (0 4 5). Lösung s. 3 Schnittwinkelberechnung Gerade Ebene Um den Schnittwinkel zweier Ebenen zu berechnen, nutzt man den Normalenvektor der Ebene und den Richtungsvektor der Geraden. Da der Normalenvektor senkrecht auf der Ebene steht, ist der Schnittwinkel um 90 verschoben. Um dies auszugleichen, wird als trigonometrische Beziehung der Sinus genutzt, da dieser um 90 zum Kosinus verschoben ist. (Berechnung mit cos α vergleiche Kapitel.3.4) Ebene Ebene Hat man zwei Ebenengleichungen in Normalen- oder Koordinatenform gegeben, bietet sich folgendes Lösungsverfahren an. Die Normalengleichungen werden in die Koordinatenform umgewandelt. Dann werden die Koordinatengleichungen der Ebenen über das Additionsverfahren nach zwei Variablen aufgelöst. Für eine der beiden Variablen wird λ eingesetzt und dann die Gleichung der Schnittgeraden aufgestellt. Beispiel E : x + 2y 2z = 3 E 2 : x + 3y + z = 5 I. x + 2y 2z = 3 II. x + 3y + z = 5 ( ) I.+II.=III. III. y + 3z = 2 y = 2 3z einsetzen in I. I. x + 2(2 3z) 2z = 3 x = 8z Mit z = λ erhält man x = 8λ y = 2 3λ z = 0 + λ und damit die Schnittgerade Entfallen die Variablen und entsteht eine falsche Aussage, sind die Ebenen parallel; entsteht eine wahre Aussage, sind die Ebenen identisch. 42

43 Analytische Geometrie.4 Ebenen Aufgabe Welche Lage nehmen die beiden Ebenen zueinander ein? a) b) c) Lösung s. 3 Das zweite mögliche Verfahren, das etwas komplizierter ist als das vorher vorgestellte, kann man nutzen, wenn die Ebenengleichungen in Parameterform gegeben sind. Man wandelt eine der Ebenengleichungen in die Koordinatenform um. Dann setzt man die Parametergleichung in die Koordinatengleichung ein und löst nach einem Parameter auf. Die Lösung setzt man in die Parametergleichung ein und vereinfacht, bis man die Schnittgleichung erhält. Beispiel in E einsetzen: 43

44 Analytische Geometrie.4 Ebenen Aufgabe Bestimmen Sie die Schnittgeraden folgender Ebenen: a) und b) und c) und Lösung s. 3 Wenn man versiert im Umgang mit linearen Gleichungssystemen ist, kann man auch beide Parametergleichungen gleichsetzen. Im Allgemeinen ist aber von diesem Verfahren abzuraten, da es wesentlich komplizierter und eine Umformung in die Koordinatengleichung so einfach ist. Schnittwinkelberechnung Ebene Ebene Um den Schnittwinkel zweier Ebenen zu berechnen, nutzt man die Normalenvektoren der Ebenen. (Berechnung vergleiche Kapitel.3.4).4.6 Abstandsberechnung Punkt Punkt Der Abstand d zweier Punkte A und B ist durch die Länge des Vektors festgelegt (vergleiche Kapitel.2.2 Länge eines Vektors). Ebene Punkt In diesem Abschnitt wird die Abstandberechnung mit zwei Verfahren vorgestellt. Diese beiden Lösungsmethoden werden auch bei allen anderen Abstandsberechnungen genutzt. Sie sollten beide Lösungsverfahren sicher beherrschen, da immer wieder auf diesen Abschnitt hingewiesen wird. Die beiden möglichen Rechenwege, um den Abstand einer Ebene von einem Punkt zu bestimmen sind: Berechnung über die Hesse sche Normalengleichung oder über das Lotfußpunktverfahren. 44

45 Analytische Geometrie.4 Ebenen a) Hesse sche Normalengleichung Um den Abstand des Punktes P von einer Ebene E zu bestimmen, setzt man den Punkt P in die Hesse sche Normalengleichung der Ebene E ein und bildet den Betrag. Es gilt: Beispiel Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P ( 2 5) von der Ebene. Es wird die vereinfachte Normalenform genutzt und in die Hesse sche Normalengleichung umgewandelt, danach wird der Punkt P eingesetzt und der Abstand bestimmt. z g Punkt n 0 S y Ebene x b) Lotfußpunktverfahren Um den Abstand eines Punktes P von der Ebene E zu bestimmen, bildet man eine Geradengleichung mit dem Punkt P als Stützvektor und dem Normalenvektor der Ebene E als Richtungsvektor:. 45

46 Analytische Geometrie.4 Ebenen Dann bestimmt man den Schnittpunkt S (auch Lotfußpunkt genannt) der Geraden g mit der Ebene E. Der Abstand des Punktes S zum Punkt P ist der Abstand der Ebene E zum Punkt P. Dieses Verfahren ist sinnvoll, wenn man für die weiteren Berechnungen den Lotfußpunkt benötigt. Beispiel Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P ( 2 5) von der Ebene. Der Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene lässt sich am einfachsten mit der Koordinatengleichung der Ebene bestimmen. Aufgaben Bestimmen Sie den Abstand von Punkt und Ebene mit Hilfe der Hesse schen Normalengleichung. a), P( 2 2) b) Die Ebene verläuft durch die Punkte A(2 3 4), B (4 4 3), C (6 2 ). Der Punkt P lautet P ( 2 3 3). c), P (4 ) 2 Bestimmen Sie den Abstand von Punkt und Ebene mit dem Lotfußpunktverfahren. a), P (4 2 4) b), P (2 3 ) Lösung s. 4 46

47 Analytische Geometrie.4 Ebenen Ebene parallele Gerade Jeder Punkt der Geraden h hat den gleichen Abstand zur Ebene E. Man wählt einen beliebigen Punkt P der Geraden h und kann wie im Abschnitt Ebene Punkt verfahren. z g Punkt h n 0 S y Ebene x Aufgabe Bestimmen Sie den Abstand von der Ebene zur parallelen Geraden mit Hilfe der Hesse schen Normalengleichung. und Lösung s. 4 Ebene parallele Ebene Jeder Punkt der Ebene E hat den gleichen Abstand zur Ebene E 2. Man wählt einen beliebigen Punkt P der Ebene E und kann wie im Abschnitt Ebene Punkt verfahren. z g Ebene E 2 Punkt n 0 S y x Ebene E 47

48 Analytische Geometrie.4 Ebenen Aufgabe Bestimmen Sie den Abstand von der Ebene E zur parallelen Ebene E 2 mit Hilfe der Hesse schen Normalengleichung. und E 2 mit den Punkten A (3 2 ), B (2 0 ), C ( 2 ) Lösung s. 4 Gerade Punkt Um den Abstand eines Punktes P von der Geraden g mit zu bestimmen, muss die Gleichung der Hilfsebene H aufgestellt werden, die den Punkt P als Ortsvektor enthält und den Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor. Die Gleichung der Hilfsebene H lautet:. Dann bestimmt man den Schnittpunkt S von Gerade g und Hilfsebene H. Der Abstand des Schnittpunktes S vom Punkt P ist der Abstand des Punktes von der Geraden. Hilfsebene H g n S d P Beispiel Schnittpunktverfahren Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P (8 4 2) von der Geraden g mit g. in Koordinatenform: Die Geradengleichung in die Koordinatenform von H einsetzen und λ bestimmen. 3( + 3λ) 3( 3λ) = λ λ = 8 8λ = 8 λ = Um den Schnittpunkt S zu bestimmen, setzt man λ in die Geradengleichung ein. Der Schnittpunkt lautet S (2 3 4). 48

49 Analytische Geometrie.4 Ebenen Parallele Geraden Um den Abstand d zweier paralleler Geraden g mit und h mit zu bestimmen, muss die Gleichung der Hilfsebene H aufgestellt werden, die den Ortsvektor der Geraden h als Ortsvektor enthält und den Richtungsvektor der Geraden g als Normalenvektor. Die Gleichung der Hilfsebene H lautet:. Dann bestimmt man den Schnittpunkt S von Gerade g und Hilfsebene H. Der Abstand des Schnittpunktes S vom Punkt B ist dann der Abstand der parallelen Geraden g und h. Hilfsebene H h B d n S g Das Verfahren zur Berechnung des Abstandes zweier paralleler Geraden ist der Berechnung des Abstandes Gerade Punkt sehr ähnlich. Beispiel Bestimmen Sie den Abstand der beiden parallelen Geraden. und Der Schnittpunkt S lautet S (5 3 ) = 3 49

50 Analytische Geometrie.4 Ebenen Aufgabe Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden mit der Hilfsebene und den Abstand von: a) und B ( 3 2) b) und c) und d) und B (2 3) Lösung s. 4 Windschiefe Geraden Um den Abstand zweier windschiefer Geraden g mit und h mit zu bestimmen, muss die Gleichung der Hilfsebene H aufgestellt werden. Die Hilfsebene H erhält als Stützvektor den Ortsvektor der Geraden g und als Normalenvektor den Vektor, der auf beiden Geraden senkrecht steht. So erhält man die Gleichung einer Hilfsebene H, die parallel zu h verläuft. Dann bestimmt man den Abstand des Punktes B der Geraden h zur Hilfsebene H wie in Abschnitt Ebene Punkt beschrieben. z B d h n 0 A g y x 50

51 Analytische Geometrie.4 Ebenen Beispiel Gesucht ist der Abstand der windschiefen Geraden. und Aufgabe Bestimmen Sie den Abstand folgender windschiefer Geraden: a) und b) und c) und Lösung s. 4 5

52 Analytische Geometrie.4 Ebenen.4.7 Gemischte Aufgaben Aufgaben Gegeben sind die Ebene E durch die Punkte A ( 3 2 5), B (3 4 2), C ( 3 7), die Ebene und die Gerade. a) Bestimmen Sie die Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung der Ebene E. b) Untersuchen Sie, ob der Punkt B auf der Geraden g liegt. c) Bestimmen Sie den Punkt D, der das Parallelogramm A,B, C, D festlegt. d) Wie groß ist der Flächeninhalt des Parallelogramms? e) Wie groß ist der Schnittwinkel der beiden Diagonalen des Parallelogramms? f) Bestimmen Sie den Schnittpunkt von g mit E. Schneidet die Gerade g auch die Fläche des Parallelogramms? g) Unter welchem Winkel schneidet die Gerade g die Ebene E? h) Weisen Sie nach, dass die Ebenen E und E 2 parallel sind. i) Bestimmen Sie den Abstand der beiden Ebenen. 2 Gegeben sind eine Pyramide mit den Punkten A (4 4 0), B (4 4 0), C ( 4 4 0), D ( 4 4 0), E (0 0 6) und die Gerade g mit. a) Zeichnen Sie ein Schrägbild der Pyramide. b) Weisen Sie nach, dass die Seitenfläche ABE ein gleichschenkliges Dreieck ist. c) Wie muss der Punkt E auf der z-achse verschoben werden, dass das Dreieck ABE gleichseitig ist? d) Bestimmen Sie die Parameter-, Normalen- und Koordinatengleichung der Ebene E, die durch die Punkte A, B, E festgelegt ist. e) Wie groß ist der Neigungswinkel der Pyramide? (Tipp: Schnittwinkel der Ebene E mit der Grundfläche der Pyramide) f) Weisen Sie nach, dass die Gerade g die Ebene E schneidet. Liegt der Punkt auch auf der Fläche ABE? g) Wie groß ist die Oberfläche der Pyramide? 52

53 Analytische Geometrie.4 Ebenen 3 Gegeben sind die Ebene E (siehe Grafik) und die Ebene E 2, die parallel zur xy-ebene verläuft und die y-achse bei y = 2 schneidet. z y x a) Geben Sie die Koordinaten- und Normalengleichung der Ebenen E und E 2 an. b) Wie lautet die Gleichung der Schnittgeraden g der Ebenen E und E 2? c) Bestimmen Sie die Spurpunkte der Geraden g. d) Unter welchem Winkel schneiden sich die beiden Ebenen? e) Wie lautet die Gleichung der Spurgeraden g xy der Ebene E? f) Die Gerade h geht durch den Koordinatenursprung und steht senkrecht auf der Ebene E. In welchem Punkt schneiden sich die Gerade und die Ebene E? Lösung s. 4 Wissen Ebenengleichungen Parametergleichung: Punktrichtungsgleichung: Dreipunktegleichung: Normalengleichung: vereinfachte Normalengleichung: normierter Normalenvektor: Hesse sche Normalengleichung: Koordinatengleichung: Achsenabschnittsgleichung: 53

54 Analytische Geometrie.4 Ebenen Wissen Spurgeraden Spurgeraden verbinden jeweils zwei Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen. Wissen Lagebeziehungen Punkt Ebene: Der Punkt wird in die Koordinatengleichung der Ebene eingesetzt. Erhält man eine wahre Aussage, liegt der Punkt auf der Ebene. Erhält man eine falsche Aussage, liegt der Punkt nicht auf der Ebene. Punkt Parallelogramm: Punkt in die Punktrichtungsgleichung des Parallelogramms einsetzen. Gilt sowohl als auch, liegt der Punkt innerhalb des Parallelogramms. Punkt Dreieck: Punkt in die Punktrichtungsgleichung des Dreiecks einsetzen. Punkt liegt innerhalb des Dreiecks, wenn gilt:. Gerade Ebene: Die Gerade wird komponentenweise in die Koordinatengleichung der Ebene eingesetzt. Erhält man einen Wert für den Parameter (z. B. λ), schneidet die Gerade die Ebene. Erhält man eine wahre Aussage (der Parameter entfällt), liegt die Gerade in der Ebene. Erhält man eine falsche Aussage, liegt die Gerade parallel zur Ebene. Ebene Ebene: Man setzt eine Ebene (in Parameterform) in die Koordinatengleichung der anderen Ebene ein. Oder man eliminiert mit dem Additionsverfahren eine der drei Variablen der Koordinatengleichung und setzt für eine der Variablen λ ein. Danach das Gleichungssystem lösen. Gibt es eine Lösung für den Parameter, schneiden sich die Ebenen. Erhält man eine wahre Aussage (der Parameter entfällt), sind die Ebenen identisch. Erhält man eine falsche Aussage (der Parameter entfällt), sind die Ebenen parallel zueinander. Wissen Schnittwinkel Gerade Ebene: Ebene Ebene: 54

55 Analytische Geometrie.4 Ebenen Wissen Abstandsberechnungen Punkt Ebene, parallele Gerade Ebene, parallele Ebene Ebene: oder Lotfußpunktverfahren Punkt Gerade: Hilfsebene erstellen und Berechnung über das Schnittpunktverfahren Parallele Geraden: Hilfsebene erstellen und Berechnung über das Schnittpunktver fahren Windschiefe Geraden: Normalenvektor bestimmen oder Hilfsebene aufstellen und Lotfußpunktverfahren, dann 55

56 Analytische Geometrie.5 Kugeln.5 Kugeln.5.. Vektorielle Gleichung Die beiden möglichen Formen der vektoriellen Gleichung einer Kugel lauten:.5.2 Koordinatengleichung Die Koordinatengleichung einer Kugel in Mittelpunktform lautet: Beispiel Gegeben sind der Mittelpunkt M (2 3 4) und der Radius r = 5 einer Kugel. Wie lautet die Gleichung der Kugel in Koordinaten- und vektorieller Form? in vektorieller Form: in Koordinatenform: Aufgabe Wie lauten die Gleichungen der Kugeln in Koordinaten- und Parameterform, wenn der Radius und Mittelpunkt mit a) M (2 3), r = 4 b) M (2 4 3), r = 3 c) M ( 2 2 3), r = gegeben sind? Lösung s. 6 Bestimmung des Mittelpunktes und des Radius der Kugel, wenn die Klammern in der Koordinatenform aufgelöst wurden. Man ermittelt den Mittelpunkt und Radius mit Hilfe der quadratischen Ergänzung. Dabei wird die quadratische Ergänzung einzeln für den x-, y- und z-anteil gebildet. 56

57 Analytische Geometrie.5 Kugeln Beispiel Die folgende Gleichung soll eine Kugel darstellen: Wie lauten Mittelpunkt und Radius der Kugel? M( 4 3 6), r = 8 Aufgabe Bestimmen Sie den Radius und den Mittelpunkt der Kugel für folgende Kugelgleichungen. a) b) c) Lösung s Lagebeziehung Punkt Kugel Um die Lage eines Punktes zu einer Kugel zu bestimmen, setzt man den Punkt in die Koordinatenform der Kugel ein. Erhält man einen Wert, der größer als r 2 ist, liegt der Punkt außerhalb der Kugel. Erhält man einen Wert, der gleich r 2 ist, liegt der Punkt auf der Kugel. Ist der Wert kleiner als r 2, liegt der Punkt innerhalb der Kugel. Beispiel Prüfen Sie die Lagebeziehung des Punktes zur Kugel. Gegeben sind die Kugel und der Punkt P (2 2). falsche Aussage Der Punkt P liegt innerhalb der Kugel K. Aufgabe Liegt der Punkt P innerhalb der Kugel K, außerhalb der Kugel K oder auf der Kugel K? a), P (3 3 2) b), P ( 3 5 2) Lösung s. 6 57