Das lineare Gleichungssystem

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1 26/27 Grundwissen Analytische Geometrie I m1 as lineare Gleichungssystem Man startet zuerst mit der Betrachtung eines linearen Gleichungssystem mit zwei Unbekannten.(Genaueres siehe Skript) Einführung der eterminante Ein solches Gleichungssystem hat zunächst die folgende Form a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 Für ein derartiges lineares Gleichungssystem wird die nachfolgenden Begriffe definiert: Unter der eterminante versteht man den folgenden Rechenausdruck: a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 21 a 12 Man bezeichnet diese eterminante als zweireihige eterminante. Mit der Einführung der zweireihigen eterminante kann man die Lösungen eines linearen Gleichungssystems angeben durch: = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 21 a 12 x = b 1 a 12 b 2 a 22 = b 1 a 22 b 2 a 12 y = a 11 b 1 a 21 b 2 = a 11 b 2 a 21 b 1 Für die Lösungen gilt dann x = x y = y Lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten ie hier untersuchten linearen Gleichungssysteme haben die folgende Form: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1 x = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2 x = b 2 a 1 x + a 2 x 2 + a x = b Wenn man ein solches lineare Gleichungssystem von Hand lösen soll, dann geht man am besten nach folgendem Lösungsschema vor: c by Markus Baur using L A TEX Seite: 1

2 26/27 Grundwissen Analytische Geometrie I m1 Löse die einfachste Gleichung nach einer Unbekannten auf. Setze den für diese Unbekannte erhaltenen Term anstelle dieser Unbekannten in die beiden anderen Gleichungen ein und vereinfache sie soweit wie möglich. adurch entsteht ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten. Wende nun das Additionsverfahren zur Lösung dieses entstandenen Gleichungsystems an. as eterminantenverfahren Man trifft die folgende efinition für die dreireihige eterminante Unter der dreireihigen eterminate eines Gleichungsystems versteht man den Ausdruck: a 11 a 12 a 1 = a 21 a 22 a 2 a 1 a 2 a = a 11 a 22 a 2 a 2 a a 12 a 21 a 2 a 1 a + a 1 a 21 a 22 a 2 a 2 ie in dem letzten Ausdruck vorkommenden zweireihigen eterminanten werden wie im ersten Abschnitt festgelegt berechnet. Analog zu den Fall für zweireihige eterminanten legen wir nun die x 1, x 2 und x eterminante fest: 1 = 2 = = b 1 a 12 a 1 b 2 a 22 a 2 b a 2 a a 11 b 1 a 1 a 21 b 2 a 2 a 1 b a a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 a 1 a 2 b Mit diesen Festlegungen kann man dann wie bei dem Fall mit zwei Variablen die Lösungen des Gleichungssystem berechnen: x 1 = 1 x 2 = 2 x = c by Markus Baur using L A TEX Seite: 2

3 26/27 Grundwissen Analytische Geometrie I m1 Geometrische Anwendungen des linearen Gleichungssystems abhängige und unabhängige Vektoren ie Vektoren a, b, c und d heißen linear abhängig, wenn gilt: d = λ a + µ b + σ c und die Forderung erfüllt wird, dass λ µ σ ist. Ist aber das Gleichungssystem nur erfüllt, wenn λ = µ = σ = ist, dann sind die Vektoren linear unabhängig. Wenn man die lineare Unabhängigkeit von drei Vektorenprüfen muss, geht man folgendermaßen vor: Setze mit der Vektorgleichung λ a + µ b + γ c = an. Liest man die Vektorgleichung zeilenweise, dann ergibt sich ein lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten und drei Gleichungen. Löse dieses Gleichungssystem mit einem dir bekannten Verfahren das lineare Gleichungssystem. ie Vektoren sind genau dann lineare Unabhängig, wenn gilt λ =, µ =, γ = Soll man nun einen Vektor durch drei andere Vektoren ausdrücken, dann startet man mit der folgenden Vektorgleichung: λ a + µ b + γ c = d Liest man diese Vektorgleichung zeilenweise, dann entsteht wieder ein lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten und drei Gleichungen. Löse dieses lineare Gleichungssystem mit einem ir bekannten Vefahren nach λ, µ und γ auf. c by Markus Baur using L A TEX Seite:

4 26/27 Grundwissen Analytische Geometrie I m1 Ebene und Gerade im Raum ie Geradengleichung ie Gleichung einer Gerade im dreidimensionalen Raum R ist gegeben durch g : X = 7 + λ abei ist 7 der Aufpunktsvektor und der Richtungsvektor der Geraden. Lagebeziehungen von Geraden Im R können zwei Geraden in folgenden Lagebeziehungen zueinander stehen: ie beiden Geraden sind echt parallel oder identisch. ie beiden Geraden schneiden sich. ie beiden Geraden sind zueinander windschief. ie rechnerische Überprüfung der Lagebeziehung von zwei Geraden läuft in folgenden Schritten ab: Prüfe ob die beiden Richtungsvektoren linear abhängig sind. Prüfe dazu, ob der Richtungsvektor ein Vielfaches vom Richtungsvektor der zweiten Gerade ist. Ist dies der Fall, dann sind die beiden Geraden identisch oder echt parallel. Prüfe ob der Aufpunkt der ersten Gerade ein Punkt auf der zweiten Gerade ist. Ist dies der Fall, dann sind sie identisch, andernfalls echt parallel. ie Richtungsvektoren sind lineare unabhängig. Setze die Terme der beiden Geraden gleich. adurch entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten und drei Gleichungen. (Überbestimmtes Gleichungssystem). Lasse eine Gleichung zunächst weg und löse das Gleichungssystem nach den beiden Unbekannten auf. Setze beide Lösungen in die weggelassene Gleichung ein. Ergibt sich eine wahre Aussage, dann schneiden sich die beiden Geraden, andernfalls sind sie windschief. c by Markus Baur using L A TEX Seite: 4

5 26/27 Grundwissen Analytische Geometrie I m1 ie Ebene ie Ebene kann entweder in der Parameterform angegeben werden: E : X = 7 + λ + µ angegeben werden. abei ist 7 der Aufpunktsvektor, und die Richtungsvektoren der Ebene. ie beiden Richtungsvektoren müssen linear unabhängig sein. Eine andere Möglichkeit die Ebene anzugeben ist die Angabe in der Koordinatenform : E : a 1 x 1 + a 2 x 2 + a x + d = Um die Parameterform in die Koordinatenform zu bringen, geht man folgendermaßen vor: x 1 x 2 = 7 + λ + µ x Liest man diese Vektorgleichung zeilenweise und versteht x 1, x 2 und x als Zahlen, dann erhält man ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und den beiden Unbekannten λ und µ. Lasse eine Gleichung weg und löse dann das Gleichungssystem in Abhängigkeit von x 1, x 2 und x nach λ und µ auf. Setze die Lösungen für λ und µ in die weggelassene Gleichung ein und bringe sie durch Vereinfachen in die Form E : a 1 x 1 + a 2 x 2 + a x + d =. amit ist das Ziel erreicht. Schnittgerade von zwei Ebenen Um die Schnittgerade von zwei Ebenen zu ermitteln, geht man am besten so vor: Bringe mit dem eben genannten Verfahren eine Ebenengleichung in die Koordinatenform. Setze für x 1, x 2 und x jeweils die x 1 - Zeile, x 2 - Zeile, bzw x - Zeile der Parameterform der anderen Ebene ein. adurch ergibt sich eine Gleichung mit zwei Unbekannten. Löse diese nach einer Unbekannten auf. Setze in die Parameterform der zweiten Ebene den eben berechneten Term anstelle der Unbekannten ein, nach der du die Gleichung im vorigen Schritt aufgelöst hast. adurch erhältst du die Gleichung der Schnittgerade. c by Markus Baur using L A TEX Seite: