Analytische Geometrie

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Günther Böhm
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1 Analytische Geometrie Wiederholung (Klasse 0) zur Vektorrechnung Hausaufgabe ( Vorbereitung als Vortrag): C:\Users\Hagen\Documents\Dr. H. Fritsch\Eigene Dateien\Gymnasium-Muecheln\ Mathematik\Klasse \Kl--Wdhlg-Vektor.docx analytische Geometrie beschreibt und berechnet Körper und Flächen mit Hilfe von Punkten, Geraden (oder Strecken) und Ebenen (oder geradlinig begrenzten, ebenen Flächen). Geraden in der Ebene ( ) Ausgangspunkt ist die Funktionsgleichung + einer Geraden als Bild einer linearen Funktion. Dabei ist die Gerade durch zwei Punkte und eindeutig bestimmt. Der Anstieg der Geraden lässt sich über das Anstiegsdreieck berechnen durch. Der Achsenabschnitt lässt sich alternativ mit einem der beiden Punkte berechnen:. Durch das Einsetzen der beiden Punkte und in die Funktionsgleichung + ergibt sich ein lineares x-gleichungssystem für und. Beispiel: Gegeben sind die Punkte 4 und 5 4. Einsetzen in + liefert das lineare Gleichungssystem: mit der Lösung 4 4 Funktionsgleichung: und! 6. 4 Koordinatengleichung: #: % + & ' mit dem Normalenvektor ((() * % & +, d.h. ((() ^ #

2 Beispiel: Funktionsgleichung Koordinatengleichung: + 6 Normalenvektor: () * + Dividiert man die Koordinatengleichung durch ', so erhält man die Achsenabschnittsgleichung:, + - mit den Achsenschnittpunkten. / 0 und. 0 Beispiel: Koordinatengleichung: mit den Achsenschnittpunkten. 0 und. 0 6 Übung: LB KL., S. 88, Nr..(a) Vektorielle Parametergleichung: 6% ((((() + 8 (() : Punktrichtungsgleichung () 6% ((((() + F6& ((((() 6% ((((()G : Zweipunktegleichung mit dem Stützvektor 6% ((((() und dem Richtungsvektor 8 (() bzw. %& ((((() und mit dem reellen Parameter y g A OM L MN B P X x Beispiel: Gegeben sind die Punkte % 4 und & 5 4. vektorielle Parametergleichung: () * * * * Umformung der vektoriellen Gleichung in die Koordinaten- bzw. Funktionsgleichung:

3 Unter Beachtung von () * + erhält man ein lineares Gleichungssystem, dessen I. Gleichung nach dem Parameter aufgelöst wird und der so erhaltene Term in die II. Gleichung eingesetzt wird Funktionsgleichung: + 6 Koordinatengleichung: % ((((() + 8 (() Spezialfälle: Mittels der Geradengleichung () 6% ((((() + F6& ((((() 6% ((((()G lassen sich auch spezielle Teilmengen einer Geraden beschreiben: Gerade: < S < + Strahl: T S < + Strecke: T S V y g 6 5 A 4 B x HA: LB Kl., S. 88, Nr..(c), S. 89, Nr., S. 90, Nr..(c)

4 . Geraden im Raum ( ) Wie in der Ebene so kann auch im dreidimensionalen Raum eine Gerade durch die Angabe eines Geradenpunkts % ( Stützvektor) und der Richtung der Geraden ( Richtungsvektor) 8 (() eindeutig beschrieben werden. vektorielle Parametergleichung: 6% ((((() + 8 (() : Punktrichtungsgleichung () 6% ((((() + %& ((((() : Zweipunktegleichung mit dem Stützvektor ((((() OA und dem Richtungsvektor (() v bzw. ((((() AB und mit dem reellen Geradenparameter t Beispiel: Gegeben sind zwei Punkte % ) und &( ). vektorielle Parametergleichung: markante Punkte der Gerade: 0 : Punkt %( ) : Punkt &( ) 0,5 : 0,5 : () [ \ + [ ( )\ [ \ + [ \ 4 Mittelpunkt ^(,5 0,5 ) der Strecke %& Teilungspunkt `(,5,5 ) der Strecke %& im Verhältnis : Punktprobe (d.h. Test, ob ein gegebener Punkt auf der Gerade # liegt): 0 (0 5 ) : [ 5\ [ \ + [ \ 4 4 g(4 5) : [ \ [ \ + [ \ 5 4 j( 8 9) : [ 8\ [ \ + [ \ 9 4 c # c " " g # Übung: S. 9, Nr.,.(a-b), S. 9, Nr. 9.(a-c), S. 94, Nr..(a-b) c " " j # 4

. Lagebeziehungen von Geraden im Raum ( ) Die möglichen vier Fälle der Lagebeziehungen von zwei Geraden im Raum lassen sich zeichnerisch im Schrägbild nur sehr schwer nachprüfen.

5 . Lagebeziehungen von Geraden im Raum ( ) Die möglichen vier Fälle der Lagebeziehungen von zwei Geraden im Raum lassen sich zeichnerisch im Schrägbild nur sehr schwer nachprüfen. Deshalb ist eine rechnerische Überprüfung an Hand der Geradengleichungen notwendig. Geradengleichungen: Untersuchungsschema: #: () 6% ((((() 8 (() und l: () 6& ((((() m n (((() ja Sind g und h parallel? (8 o n ) nein ja Gilt g h? (Punktprobe: A h B g) nein ja Schneiden sich g und h? (Lösung des LGS: g h) nein g und h sind identisch (g h). g und h sind echt parallel (g h, g i h). g und h schneiden sich (g h {S}). g und h sind windschief. Beispiel : (identische Geraden) Geradengleichungen: # l? [ 0\ o [ 0\ 5 Punktprobe (% l?): [ \ [ \ m [ 0\ Fazit: # und l sind identische Geraden. Beispiel : (echt parallele Geraden) Geradengleichungen: 5 #: () [ \ [ 0\ und l: () [ \ m [ 0\ o 0,5 o beliebig c " " o 0,5 m n. %. m # l c " " % l 5 #: () [ \ [ 0\ und l: () [ \ m [ 0\ 5

6 # h? [ 0\ o [ 0\ 5 Punktprobe (% h?): [ \ [ \ + [ 0\ Fazit: # und h sind echt parallele Geraden. Beispiel : (sich schneidende Geraden) o 0,5 o beliebig c " " o 0,5 # h m s. %. c " " % h m 5 Geradengleichungen: #: () [ \ + [ \ und h: () [ 9\ + m [ 0\ o 0,5 # h? [ \ o [ 0\ kein o c " " # G h o 0,5 Gleichungssystem (# h): 5 [ \ + [ \ [ 9\ + m [ 0\ m m Probe mit : + + n. %. 9 Schnittpunktberechnung: 6. ((((() [ \ + [ \ [ 9\ Fazit: # und h sind sich schneidende Geraden. mit dem Schnittpunkt. 9 9 ). Beispiel 4: (windschiefe Geraden) 5 m 9 + m 5 Geradengleichungen: #: () [ \ + [ \ und h: () [ \ + m [ 0\ o 0,5 # h? [ \ o [ 0\ kein o c " " # G h o 0,5 Gleichungssystem (# h): 5 [ \ + [ \ [ \ + m [ 0\ m + m + + * + 5 m m 4 Probe mit : + * + + * Fazit: # und h sind windschiefe Geraden. s. %. d.h. # h HA: LB KL., S. 9, Nr..(a-d) (für bis zu 4 Vorträge in der nächsten Stunde) 6

7 Schnittwinkel von zwei Geraden: Schneiden sich zwei Geraden # und l mit den Richtungsvektoren 8 (() und n (((() in der Ebene bzw. im Raum, dann gilt für ihren Schnittwinkel (u, v) (L(((), w (((()) xyzz{ * L BEACHTE: (((() ((((() w L (((() w ((((() +. Der Betrag des Skalarprodukts im Zähler sichert, dass als Schnittwinkel zweier Geraden immer ein Winkel zwischen 0 und 90 genommen wird. zu Beispiel : (Winkel zwischen sich schneidenden Geraden) 5 Geradengleichungen: #: () [ \ + [ \ und h: () [ 9\ + m [ 0\ Richtungsvektoren: 8 (() [ \ und n (((() [ 0\ #, h 8 ((), n (((() /~ m * (((() ((((() (((() /~ m * + 90, d.h. # ^ h. ((((() + /~ m ƒ () () ˆ Übung: LB Kl., S. 6, Nr.,

8 4. Spurpunkte von Geraden Spurpunkte: Schnittpunkte.,.,. einer Geraden # mit den Koordinatenebenen Š, Š, Š Beispiel 5: (Spurpunkte einer Geraden) gegebene Gerade #: () [ \ + [ \, 5 Spurpunkt mit der x-y-ebene Š : 0 und ((((((((((() [ \ + 5 [ \ [ 6\. ( Spurpunkt mit der x-z-ebene Š : 0 und + (((((((((() 6. [ \ [ \ [ 0\ Spurpunkt mit der y-z-ebene Š : 0 und 0 (((((((((() 6. [ \ + [ \ [ \. 0 5 Beispiel 6: (Spurpunkte einer Geraden) gegebene Gerade #: 5 () [ 9\ + [ 0\, Spurpunkt mit der x-y-ebene Š : 0 und +, ((((((((((() [ 9\,5 [ 0\ [ 9\ Spurpunkt mit der x-z-ebene Š : 0 und 9 Widerspruch, d.h. kein Schnittpunkt mit der x-z-ebene (Gerade # ist echt parallel zur x-z-ebene) Spurpunkt mit der y-z-ebene Š : 0 und 5,5 5 0 (((((((((() 6. [ 9\ +,5 [ 0\ [ 9\. 0 9 HA: LB Kl., S. 0, Nr. allgemeine Übungen zu Geraden: LB KL., S. 08-0, Nr., 5, 8

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