Hauptprüfung Abiturprüfung 2014 (ohne CAS) Baden-Württemberg

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Michaela Grosse
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1 Baden-Württemberg: Abitur 14 Wahlteil B Hauptprüfung Abiturprüfung 14 (ohne CAS) Baden-Württemberg Wahlteil Analytische Geometrie / Stochastik Hilfsmittel: GTR und Formelsammlung allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz März 14 1

2 Baden-Württemberg: Abitur 14 Wahlteil B Aufgabe B.1: An einer rechteckigen Platte mit den Eckpunkten A(1/6/), B(/6/), C(//) und D(1//) ist im Punkt F(5/6/) ein m langer Stab befestigt, der in positive x-richtung zeigt. Eine punktförmige Lichtquelle befindet sich zunächst im Punkt L(8/1/). (Koordinatenangaben in m). a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E, in der die Platte liegt. Stellen Sie die Platte, den Stab und die Lichtquelle in einem Koordinatensystem dar. Berechnen Sie den Winkel zwischen dem Stab und der Platte. (Teilergebnis E: x + x = 6) b) Der Stab wirft einen Schatten auf die Platte. Bestimmen Sie den Schattenpunkt des oberen Endes des Stabes. Begründen Sie, dass der Schatten vollständig auf der Platte liegt. c) Die Lichtquelle bewegt sich von L aus auf einer zur xx 1 -Ebene parallelen Kreisbahn, deren Mittelpunkt das obere Ende des Stabes ist. Dabei kollidiert die Lichtquelle mit der Platte. Berechnen Sie die Koordinaten der beiden möglichen Kollisionspunkte. Aufgabe B. Bei der Produktion von Bleistiften beträgt der Anteil fehlerhafter Stifte erfahrungsgemäß 5%. a) Ein Qualitätsprüfer entnimmt der Produktion zufällig 8 Bleistifte. Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Stifte in dieser Stichprobe. Berechnen Sie P(X ). Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht der Wert von X um weniger als 1 vom Erwartungswert von X ab? b) Der Betrieb erwirbt eine neue Maschine, von der behauptet wird, dass höchstens % der von ihr produzierten Bleistifte fehlerhaft sind. Diese Hypothese H soll mithilfe eines Tests an 8 zufällig ausgewählten Stiften überprüft werden. Bei welchen Anzahlen fehlerhafter Stifte entscheidet man sich gegen die Hypothese, wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit maximal 5% betragen soll?

3 Baden-Württemberg: Abitur 14 Wahlteil B Aufgabe B.1: a) Koordinatengleichung von E: Lösungen Die Parametergleichung der Ebene, in der die Punkte A, B und C liegen, ist E: x= 6 + r + s 6 Nun wird der Normalenvektor von E berechnet. 1 1 Mit dem Kreuzprodukt der Richtungsvektoren ergibt sich n= 6 = 6 Als Normalenvektor kann n* = 1 gewählt werden. Ansatz für die Koordinatengleichung: x + x = d Einsetzen von A(1/6/) in die Koordinatengleichung: 6+ = 6= d Koordinatengleichung von E: x + x = 6 Anschauliche Darstellung von Platte, Stab und Lichtquelle: Der Stab FT besitzt den Richtungsvektor. 1

4 Baden-Württemberg: Abitur 14 Wahlteil B Winkel zwischen Stab und Platte: 1 1 sinα= = α= 6,4 b) Das obere Ende des Stabes ist der Punkt T(5/6/). Zur Berechnung des Schattenpunktes von T wird eine Gerade durch L(8/1/) und T aufgestellt. 8 g: x= 1 + s 4 Schnittpunkt der Ebene E mit g liefert den Schattenpunkt T*: 1 4s+ = 6 s= Einsetzen von s = in g: T*(//) Der Punkt T* liegt als Schnittpunkt von g und E in der Ebene E. Zu begründen ist, dass T* innerhalb des Rechtecks ABCD liegt. Die x1-koordinate von T* liegt zwischen den x1-koordinaten von A und B. Die x-koordinate von T* liegt zwischen den x-koordinaten von B und C. Damit liegt T* innerhalb des Rechtecks ABCD (also auf der Platte). Der Schattenpunkt von F ist F*. Da F auf der Platte liegt, stimmen F und F* überein. Da sich die Schattenpunkte T* und F* auf der Platte befinden, befindet sich folglich die Schattenstrecke T*F* auch auf der Platte. c) Die zur x1x-ebene parallele Kreisbahn liegt in der Ebene H: x =, da die Lichtquelle L die x-koordinate besitzt. Die Kollisionspunkte liegen auf der Schnittgeraden k der Ebenen H und E: Berechnung der Schnittgeraden k: x + x = 6 x = Aus dem Gleichungssystem folgt x =, x =, x1= t, t Gleichung der Schnittgeraden: k: 1 x= + s Da die Kollisionspunkte auf der Gerade k liegen, haben diese die allgemeinen Koordinaten P(s//). s Der Radius der Kreisbahn beträgt LT = 4 = = 5m. 4

5 Baden-Württemberg: Abitur 14 Wahlteil B Nun muss der Parameter s so gewählt werden, dass der Geradenpunkt P s vom Mittelpunkt T der Kreisbahn den Abstand 5 besitzt: TPs = 5 s 5 TPs = 4 = (s 5) + 16 Bedingung: (s 5) + 16 = 5 (s 5) + 16= 5 s 5=± (s 5) = 9 Daraus folgt s = 8 oder s =. (Hinweis: Alternativ kann die Quadratklammer auch aufgelöst und die Lösungsformel für quadratische Gleichungen angewandt werden) Die beiden Kollisionspunkte haben die Koordinaten P(//) und P(8//) 8 Aufgabe B.: a) Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 8 und p =,5. P(X ) =,57 (GTR) Der Erwartungswert von X ist E(X) = n p= 8,5 = 4. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P(1 X 49) : P(1 X 49) = P(X 49) P(X ) =,947,57 =,878 (GTR) b) Die Zufallsvariable Y beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Stifte. Y ist im Extremfall binomialverteilt mit n = 8 und p =,. Nullhypothese: p, Gegenhypothese: p>, Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test. Der Ablehnungsbereich ist A = {k+ 1,...,8} Gesucht ist der kleinste Wert von k, so dass gilt: P(Y k+ 1),5 umgeformt: 1 P(Y k),5 GTR: 1 P(Y ) =,564 und 1 P(Y ),51 Damit ist k =. Der Ablehnungsbereich ist A = {4,...,8} Bei mindestens 4 fehlerhaften Stiften entscheidet man sich gegen die Nullhypothese. 5

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