Analytische Geometrie

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Katharina Acker
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1 Analytische Geometrie Allg. Gymnasien: ab J1 / Q1 Berufl. Gymnasien: ab Klasse 1 Alexander Schwarz August 018 1

2 Aufgabe 1: a) Der Punkt P(4//-5) wird am Punkt Z(3/-1/-8) gespiegelt. Berechne die Koordinaten des Bildpunktes P*. b) Der Punkt P(-1/-/-3) wird am Punkt Z gespiegelt. Man erhält den Bildpunkt P*(8/-8/6). Berechne die Koordinaten des Punktes Z. Aufgabe : Der Punkt A(-1/-3/5) wird an einer Ebene E gespiegelt. Sein Bildpunkt ist A'(6/0/5). Bestimme eine Gleichung der Symmetrieebene E. Aufgabe 3: a) Der Punkt P(7/5/3) wird an der Ebene E: 3x1x 4x3 30 gespiegelt. 3 b) Der Punkt P(-8/13/-1) wird an der Ebene E: x gespiegelt. Aufgabe 4: 5 Der Punkt P(3/3/3) wird an der Geraden g: x 10 t 3 3 gespiegelt. Aufgabe 5: Die Gerade g: x 1 t 0 soll an der Ebene E: x14x x3 1 gespiegelt werden. 3 1 Bestimme eine Gleichung der Bildgeraden g*. Aufgabe 6: Die Gerade g, die die Ebene E im Punkt S schneidet, soll an E gespiegelt werden. Beschreibt die Vorgehensweise zur Bestimmung einer Gleichung der Bildgeraden g*.

3 Lösungen Aufgabe 1: a) Es gilt OP* OPPZ Koordinaten von P*(/-4/-11). b) Z ist der Mittelpunkt von P und P*: ,5 3,5 1 1 OZOP PP* ,5 1,5 Koordinaten von Z(3,5/-5/1,5). Aufgabe : 7 Der Normalenvektor der Symmetrieebene lautet naa' 3. 0 Außerdem liegt der Mittelpunkt Z der Strecke AA' auf der Ebene: ,5,5 1 1 OZ OA AA' ,5 1, Gleichung der Symmetrieebene: E:,5 7 x 1, Aufgabe 3: a) Aufstellen einer Hilfsgerade h, die durch P und orthogonal zu E verläuft: 7 3 h: x 5 r 3 4 Schnittpunkt von h mit E: 3(73r) (5r) 4(34r) 30 19r 104r116r 309r130r 1 Einsetzen von r = 1 in die Gerade ergibt den Schnittpunkt S(4/7/7) OP* OPPS Koordinaten von P*(1/9/11). 3

4 b) Ansatz für Koordinatengleichung von E: 3x14x x3 d Einsetzen des Punktes A(-/5/3): d d 0 Koordinatengleichung E: 3x14x x3 0 Aufstellen einer Hilfsgerade h, die durch P und orthogonal zu E verläuft: 8 3 h: x 13 r 4 1 Schnittpunkt von h mit E: 3( 83r) 4(13 4r) ( 1r) 0 49r516r 4r 09r 58r Einsetzen von r = in die Gerade ergibt den Schnittpunkt S(-/5/3) OP* OPPS Koordinaten von P*(4/-3/7). Aufgabe 4: Im ersten Schritt muss der Lotfußpunkt F auf der Geraden g bestimmt werden. Ein allgemeiner Punkt auf g hat die Koordinaten F(+5t/10-3t/-3+t). 15t Es ist PF 73t 6t 5 Der Lotfußpunkt ergibt sich mit der Bedingung PF t 5 73t 3 55t19t14t03838t0t1 6t Der Lotfußpunkt hat die Koordinaten F(7/7/-1) OP* OPPF Koordinaten von P*(11/11/-5). 4

5 Aufgabe 5: Zunächst wird der Schnittpunkt der Gerade g mit der Ebene E berechnet: t4(1 0t) (3 t) 1 t46t10 1 falsche Aussage Dies bedeutet, dass die Gerade parallel zu E verläuft. Die Bildgerade g* ist parallel zur Geraden g. Der Richtungsvektor von g* entspricht folglich dem Richtungsvektor von g. Um einen Punkt von g* zu erhalten, muss ein beliebiger Punkt von g an der Ebene E gespiegelt werden. Der Punkt A(/1/3) wird an der Ebene E gespiegelt: Aufstellen einer Hilfsgerade h, die durch A und orthogonal zu E verläuft: h: 1 x 1 r 4 3 Schnittpunkt von h mit E: r4(1 4r) (3r) 1 r416r64r 11r 1r 1 Einsetzen von r = 1 in die Gerade ergibt den Schnittpunkt S(3/5/1). 1 4 OA* OAAS Koordinaten von A*(4/9/-1). Gleichung der Bildgeraden g*: 4 x 9 s Aufgabe 6: 1.Schritt: Berechnung des Schnittpunktes S der Geraden g mit der Ebene E..Schritt: Spiegle einen beliebigen Punkt A von g an der Ebene E: - Aufstellen einer Hilfsgeraden h durch A senkrecht zu E - Berechnung des Schnittpunktes L von h mit E ergibt - Berechnung des Spiegelpunktes A*: OA* OAAL 3.Schritt: Aufstellen der Gleichung der Bildgeraden g*, die durch die Punkte S und A* verläuft: g*: xostsa* 5

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