K2 ÜBUNGSBLATT 2 F. LEMMERMEYER

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1 K2 ÜBUNGSBLATT 2 F. LEMMERMEYER Aufgabe 1. Hier ein knappes Beispiel, wie man einen Punkt P an einer Geraden g spiegelt (Wer sich gerne was merkt: Lotfußpunkte auf Ebene mit Lotgerade, Lotfußpunkte auf Gerade mit Hilfsebene): (1) Bestimme die Hilfsebene E durch P mit dem Richtungsvektor von g als Normalenvektor. (2) Schneide E mit g; der Schnittpunkt ist der Lotfußpunkt L von P auf g. (3) Bestimme den Spiegelpunkt P von P durch OP = OP + 2 Behandle genauso: (1) Gegeben ist eine Ebene E und ein nicht in E liegender Punkt P. Der Spiegelpunkt von P an E ist P. Beschreiben Sie, wie man den Punkt P bestimmen kann. (a) Bestimme die Lotgerade g auf E durch P (Richtungsvektor von g ist Normalenvektor von E). (b) Der Schnittpunkt von g und E ist der Lotfußpunkt L. (c) Spiegle P an L: OP = OP + 2 (2) Gegeben ist eine Ebene E und eine nicht in E liegende Gerade g, die zu E parallel ist. Die an E gespiegelte Gerade sei g. Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung einer Gleichung von g. (a) Wähle einen beliebigen Punkt P auf g und bestimme die Lotgerade g auf E durch P (Richtungsvektor von g ist Normalenvektor von E). (b) Der Schnittpunkt von g und E ist der Lotfußpunkt L. (c) Spiegle P an L: OP = OP + 2 (d) Da die Bildgerade den gleichen Richtungsvektor u wie g hat, ist g x = OP + t u. Wahlweise kann man einen zweiten Punkt Q P auf g spiegeln und die (3) Gegeben ist eine Ebene E und eine nicht zu E parallele Gerade g. Die an E gespiegelte Gerade sei g. Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung einer Gleichung von g. 1

2 2 F. LEMMERMEYER (a) Berechne den Schnittpunkt S von g und E. (b) Wähle einen beliebigen Punkt P S auf g und bestimme die Lotgerade g auf E durch P (Richtungsvektor von g ist Normalenvektor von E). (c) Der Schnittpunkt von g und E ist der Lotfußpunkt L. (d) Spiegle P an L: OP = OP + 2 (e) Die Bildgerade ist g : x = OS + t SP. Wahlweise kann man einen zweiten Punkt Q P auf g spiegeln und die (4) Gegeben ist eine Ebene E und eine nicht zu E parallele Gerade g. Die Gerade g wird senkrecht auf E projiziert. Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung einer Gleichung der Bildgeraden. (a) Berechne den Schnittpunkt S von g und E. (b) Wähle einen beliebigen Punkt P S auf g und bestimme die Lotgerade g auf E durch P (Richtungsvektor von g ist Normalenvektor von E). (c) Der Schnittpunkt von g und E ist der Lotfußpunkt L. (d) Die Bildgerade ist g : x = OS + t SL. Wahlweise kann man einen zweiten Punkt Q P auf g projizieren und die (5) Gegeben sind zwei parallele Geraden g und h. Beschreiben Sie ein Verfahren, um die Gleichung der Geraden zu bestimmen, die genau zwischen g und h liegt. (a) Wähle einen beliebigen Punkt P auf g und bestimme die Hilfsebene durch P senkrecht zu g (Normalenvektor ist Richtungsvektor von g). (b) Der Schnittpunkt von h und E ist der Lotfußpunkt L von P auf h. (c) Sei M der Mittelpunkt der Strecke Die gesuchte Ebene hat die Normalenform ( x OM) P L = 0, d.h. der Normalenvektor ist P L (oder P M). (6) Gegeben sind zwei sich schneidende Ebenen E und F. Beschreiben Sie ein Verfahren, um die Gleichung einer der beiden Symmetrieebenen von E und F zu bestimmen. (a) Die Symmetrieebene enthält die Schnittgerade g der beiden Ebenen. Wir brauchen nun noch einen Punkt auf der gesuchten Ebene, der nicht auf g liegt.

3 K2 ÜBUNGSBLATT 2 3 (b) Sei P ein beliebiger Punkt der Schnittgeraden und H die Ebene durch P senkrecht auf g. Die beiden Schnittgeraden von H mit E und F seien h und i. (c) Die Richtungsvektoren von h und i werden als Einheitsvektoren u und v gewählt; die beiden Punkte P und Q, die durch OP = OP + u bzw. OQ = OP + v bestimmt sind, haben beide Abstand 1 von der Schnittgeraden und liegen in H. Ihr Mittelpunkt M ist ein Punkt der Symmetrieebene. Die zweite Ebene erhält man, wenn man u durch u ersetzt. Diese Aufgabe war für einen Nachtermin wohl etwas zu anspruchsvoll. (7) Gegeben ist ein Dreieck ABC im Raum. Beschreiben Sie ein Verfahren, um die Gleichung der Mittelsenkrechten von AB zu bestimmen. (a) Sei M der Mittelpunkt von AB. (b) Die Mittelsenkrechte ist die Schnittgerade der Ebene ABC mit der Ebene E durch M, die senkrecht auf AB steht (Normalenvektor von E ist der Vektor AB). (8) Sei A die Ecke eines Würfels, und seien B, C, D die zu A benachbarten Ecken. Der Würfel soll so mit einer zu BCD parallelen Ebene geschnitten werden, dass die abgeschnittene Pyramide mit Spitze A ein Volumen hat, das 1 8 des Volumens des Würfels besitzt. Beschreiben Sie ein Verfahren, um eine Gleichung dieser Ebene zu bestimmen. (a) Die Schnittpunkte der Ebene mit den Achsen AB, AC und AD seien B, C und D (b) Für das Volumen der Pyramide gilt V = 1 3Gh, wobei wir für G das rechtwinklige Dreieck AB C wählen; dessen Flächeninhalt ist dann G = 1 2 AB AC. (c) Die Höhe der Pyramide ist AD, das Volumen also gleich V = 1 6 AB AC AD. Da alle drei Kanten gleich lang sind, ist auch V = 1 6 AB 3. (d) Dieses Volumen soll gleich 1 8 AB 3 sein; gleichsetzen ergibt 1 6 AB 3 = 1 8 AB 3, d.h. AB = sqrt[3] 4 3 AB 3. (e) Aus der letzten Gleichung kann man B bestimmen, die Punkte C und D findet man genauso. Die gesuchte Ebene ist diejenige durch B, C und D.

4 4 F. LEMMERMEYER Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass die Funktion f(x) = ae kx (diese beschreibt exponentielles Wachstum) der Differentialgleichung f (x) = kf(x) genügt. Man sagt auch, der Zuwachs sei proportional zum Bestand mit dem Proportionalitätsfaktor k. Nachrechnen: f (x) = kae kx = k f(x). Aufgabe 3. Der Zuwachs des Bestands B(t) ist proportional zum Bestand mit dem Proportionalitätsfaktor 0,02. Stellen Sie eine Differentialgleichung für B(t) auf. Bestimmen Sie einen Funktionsterm für B(t), wenn der Anfangsbestand B(0) = 32 ist. Es ist B (t) = 0,02B(t). Die Formelsammlung liefert B(t) = B(0)e kt = 32e 0,02t. Aufgabe 4. In einem Behälter mit Zu- und Abfluss befinden sich zu Beginn 300 Liter Wasser. Pro Minute fließen 12 Liter dazu, andererseits 2 % des aktuellen Inhalts ab. (1) Stellen Sie eine Differentialgleichung für den Inhalt B(t) auf. (2) Zeigen Sie, dass B(t) = e 0,02t eine Lösung dieser Differentialgleichung ist. (3) Wieviel Wasser wird der Behälter langfristig enthalten? (4) Begründen Sie, warum mehr Wasser zu- als abfließt. (5) Wieviel Wasser ist in einer Stunde ausgelaufen? In einem zweiten Behälter befinden sich zu Anfang ebenfalls 300 Liter Wasser. Hier fließen pro Minute 10 Liter dazu und 4 % des aktuellen Inhalts ab. (1) Stellen Sie eine Differentialgleichung für den Inhalt B 2 (t) auf. (2) Bestimmen Sie einen Term für B 2 (t). Die Differentialgleichung ist B (t) = 12 0,02B(t). Diese ist die Differentialgleichung des beschränkten Wachstums die in der Formelsammlung als B(t) = S ae kt, B (t) = k(s B(t)) erscheint. Vergleich mit der Differentialgleichung zeigt k = 0,02 und S = 600, also B (t) = 12 0,02B(t) = 0,02(600 B(t)) B(t) = 600 B(0)e 0,02t = e 0,02t.

5 K2 ÜBUNGSBLATT 2 5 Langfristig werden im Behälter 600 Liter sein, da e 0,02t 0 für t gilt. Jetzt sieht man, dass mehr Wasser zu- als abfließt: es fließen 2 % des Inhalts ab, also weniger als 2 % von 600 Litern, das sind 12 Liter; soviel fließen aber zu. Nach einer Stunde sind B(24) = 509,6 Liter drin; hineingelaufen sind = 720 Liter, drin waren 300 Liter, ausgelaufen sind daher ,6 = 429,4 Liter. Aufgabe 5. Zeigen Sie, dass die Schaubilder von f(x) = e x + e x bzw g(x) = e x e x symmetrisch bezüglich der y-achse bzw. bezüglich des Ursprungs sind. Es ist f( x) = e x + e ( x) = e x + e x = e x + e x = f(x), g( x) = e x e ( x) = e x e x = (e x e x ) = g(x).