Anwengungen geometrischer Abbildungen Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildung

Transkript

1 Anwengungen geometrischer Abbildungen Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildung Amina Duganhodzic Proseminar: Mathematisches Problemlösen Unter der Leitung von Privat Dozentin Dr. Natalia Grinberg 26. Juni 2015 Karlsruher Institut für Technologie Fachbereich Mathematik

2 Inhaltsverzeichnis 1 Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildungen Definitionen Kongruenzabbildung Ähnlichkeitsabbildung Beispiel 1: Rotkäppchen Beispiel 2: Bühnenscheinwerfer Beispiel 3: Punkte auf einem Dreieck Beispiel 4: Torte und Schokolade Klassifizierung der Kongruenzabbildungen und deren Verkettung Definitionen Positive und negative Orientierung Gleich- und Gegensinnigkeit Beispiel 5: Ähnlichkeitsabbildung Beispiel 6: Kongruenzabbildung mit zwei Fixpunkten Beispiel 7: Kongruenzabbildung mit einem Fixpunkt Beispiel 8: Translation oder Gleitspiegelung Beispiel 9: Geraden mit Schnittpunkt Beispiel 10: Satz von Napoleon Beispiel 11: Kollineare Mittelpunkte Schließungssätze Beispiel 12: Ente schwimmt im Teich Beispiel 13: Thomsenstreckenzug Literaturverzeichnis 18 1

3 Kapitel 1 Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildungen 1.1 Definitionen Kongruenzabbildung Eine bijektive Abbildung T : R 2 R 2 heißt Kongruenzabbildung, wenn für je zwei Punkte A und B gilt: A B = AB mit A = T (A) und B = T (B) [1] Ähnlichkeitsabbildung Eine bijektive Abbildung T : R 2 R 2 heißt Ähnlichkeitsabbildung, wenn es ein λ > 0 gibt mit der Eigenschaften, dass für je zwei Punkte A und B gilt: A B = λ AB mit A = T (A) und B = T (B) [1] Aus der Definition der Ähnlichkeitsabbildung wird ersichtlich, dass es sich bei jeder Ähnlichkeitsabbildung mit λ = 1 um eine Kongruenzabbildung handelt. Dadurch ergeben sich die folgenden Folgerungen: 1. Wenn T eine Kongruenz- bzw. Ähnlichkeitsabbildung ist, so ist die zu T inverse Abbildung T 1 ebenfalls eine Kongruenz- bzw. Ähnlichkeitsabbildung. 2. Wenn T 1 und T 2 Kongruenz- bzw. Ähnlichkeitsabbildung sind, so ist auch deren Verkettung (auch Hintereinanderausführung oder Komposition genannt) T 2 T 1 ebenfalls eine Kongruenz- bzw. Ähnlichkeitsabbildung. 2

4 1.2 Beispiel 1: Rotkäppchen Rotkäppchen wohnt in Punkt A und ihre Oma in Punkt B. Sie soll zum Fluss laufen, dort Wasser schöpfen und dieses zu ihrer Oma bringen. Der Gesamtlaufweg soll minimal sein. Wie muss Rotkäppchen laufen? Lösung Das Flussufer sei durch eine Gerade g gegeben. Weiter wird der Punkt B an der Geraden g gespiegelt, wodurch der Punkt B erzeugt wird. Sei Y g, der Punkt zu dem Rotkäppchen hinläuft, und die Gesamtstrecke l, die sie zurücklegen muss, gegeben. So gilt für l: l = AY + Y B = AY + Y B AY + Y B ist genau dann minimal, wenn die Punkte A, Y und B eine Gerade bilden. Somit sollte Rotkäppchen zum Schnittpunkt X = (AB ) g laufen. Abbildung 1.1: Rotkäppchens Weg (der gestrichelte Weg ist der kürzeste) 3

5 1.3 Beispiel 2: Bühnenscheinwerfer Ein Bühnenscheinwerfer strahlt senkrecht auf den Boden. a) Der Schatten eines Quaders soll maximal sein. Wie muss man ihn hierfür halten? b) Der Schatten eines regelmäßigen Tetraeders mit Kantenlänge 1 soll maximal sein. Wie groß ist dieser Schatten? Lösung a) Zuerst stellt sich die Frage, auf welche Ebene der Quader projiziert werden soll, damit dessen Schatten maximal wird. Die sichtbare Seite stellt drei Parallelogramme dar, dies gilt ebenfalls für den Schatten. Die Gesamtfläche ist somit die doppelte Fläche ABC des Dreiecks ABC. Daraus folgt: Die Projektionsfläche wird dann maximal, wenn die Projektionsebene parallel zur Ebene des Dreiecks ABC ist, d.h. strahlt der Bühnenscheinwerfer senkrecht nach unten, muss der Quader so gehalten werden, dass die Ebene ABC horizontal ist. Abbildung 1.2: Quader Abbildung 1.3: Tetraeder b) Hierbei stellt sich eine ähnliche Frage wie bei dem Quader, auf welche Ebene soll der Tetraeder projiziert werden, damit dessen Fläche maximal wird. Man bezeichne die Projektion des Vierecks mit ADBC. Des Weiteren benenne man die Mittelpunkte der Strecken (AD), (DB), (BC) und (CA) mit X, Y, Z und W. Mit Hilfe der Ähnlichkeit erhält man: DXY = 1 4 DAB, CW Z = 1 4 CAB, AXW = 1 4 ADC, BY Z = 1 4 BDC Hiermit erhält man, dass die Gesamtfläche des Tetraeders ADBC das Doppelte der Fläche XY ZW des Parallelogramms XY ZW ist, da 4

6 XY ZW = ABDC DXY CW Z AXW BY Z = DBC 1( DAB CAB ) 1 ( ABC BDC ) 4 4 = ADBC 1 ADBC 1 ADBC = 1 ADBC Mit dem Satz der Mittelparallelen gilt weiter: XY = W Z = 1 2 AB 1 2 und ebenso Y Z = XW = 1 2 DC 1 2 (Anmerkung: AB 1 und DC 1, da die Projektion einer Strecke nicht länger als die Strecke selbst ist) ADBC = 2 XY ZW 2 XY Y Z sin (XY Z) = 1 2 Gleichheit ist genau dann möglich, wenn die Projektionsebene parallel zu einem Paar gegenüberliegender Kanten des Tetraeders bzw. parallel zum Quadrat XY ZW ist. 1.4 Beispiel 3: Punkte auf einem Dreieck Gegeben seien ein spitzwinkliges Dreieck ABC und ein Punkt X, der auf der Strecke AB liegt. Zu finden ist ein Punkt Y (BC) und Z (CA), so dass l X = XY + Y Z + ZX minimal ist. Abbildung 1.4: l X soll minimiert werden Lösung Zu aller erst wird der Punkt X an (BC) und an (AC) gespiegelt, so dass man die Punkte X und X erhält. Hierbei ist trivial, dass XY = X Y und XZ = X Z. Daraus resultiert: l X = X Y + Y Z + ZX X X Daraus folgt, dass die Gesamtlänge genau dann minimal ist, wenn die Punkte X, Y, Z und X kollinear sind. Die Lösung lautet somit: Y = (X X ) (BC) und Z = (X X ) (AC) 5

7 1.5 Beispiel 4: Torte und Schokolade Man nehme eine rechteckige Tafel Schokolade und lege sie auf eine ebenfalls rechteckige Torte. Das Ziel ist die Torte und die Schokolade so mit einem geraden Messerschnitt zu teilen, dass beide Rechtecke halbiert werden. Wie muss man hierfür vorgehen? Lösung Aufgrund dessen, dass Rechtecke punktsymmetrisch sind, kann man sie durch einen Schnitt durch ihr Zentrum in zwei kongruente Teile teilen. Daher ergibt sich die Strategie, dass man eine Gerade finden muss, die das Zentrum beider Rechtecke (Torte und Schokolade) enthält. Liegen die Zentren übereinander, so kann man eine beliebige Gerade wählen. Abbildung 1.5: Torte und Schokolade (mit Zentren) 6

8 Kapitel 2 Klassifizierung der Kongruenzabbildungen und deren Verkettung 2.1 Definitionen Positive und negative Orientierung Ein Dreieck ABC die Reihenfolge ist hierbei entscheidend heißt positiv orientiert, wenn beim Durchlaufen des Umkreises gegen den Uhrzeigersinn auf die Ecke A zuerst die Ecke B und dann die Ecke C folgt. Folgt auf A dagegen zuerst C und dann B, so heißt ABC negativ orientiert. [1] Gleich- und Gegensinnigkeit Eine Kongruenzabbildung heißt gleichsinnig, wenn das Bild jedes positiv orientierten Dreiecks positiv orientiert ist. Die Abbildung heißt gegensinnig, wenn das Bild jedes positiv orientierten Dreiecks negativ orientiert ist. [1] 7

9 2.2 Beispiel 5: Ähnlichkeitsabbildung Es sei T eine beliebige Ähnlichkeitsabbildung und mit wird das Bild bei der Abbildung T bezeichnet. Die Winkel sind hierbei nicht orientiert. Man beweise folgende Aussagen. 1) Wenn A, B und C drei nichtkollineare Punkte sind, dann gilt ABC = A B C. 2) Das Bild einer Geraden ist wiederum eine Gerade. 3) Sind zwei Geraden l 1 und l 2 parallel, so sind ihre Bilder T (l 1 ) und T (l 2 ) ebenfalls zueinander parallel. 4) Das Bild eines Kreises mit Radius R ist wiederum ein Kreis, wobei der Radius λr ist. Beweis 1) Mithilfe der Anwendung der Definition der Ähnlichkeitsabbildung erhält man: B C : BC = C A : CA = A B : AB = λ Die entsprechenden Winkel sind gleich. 2) Für drei kollineare Punkte A, B und C gilt ohne Einschränkungen der Allgemeinheit AC = AB + BC. Wendet man auch hier die Definition der Ähnlichkeitsabbildung an, erhält man wiederum A C = A B + B C. Die Punkte A, B und C sind ebenfalls kollinear 3) Man nehme an, dass die Geraden T (l 1 ) und T (l 2 ) parallel sind und sich im Punkt X schneiden. Aufgrund dessen dass die Gerade T bijektiv ist, besitzt der Punkt X ein Urbild X 0 mit X = T (X 0 ) und da X der Schnittpunkt beider Geraden ist, liegt dessen Urbild X 0 auf den Geraden l 1 und l 2. Widerspruch: Die Geraden l 1 und l 2 haben keinen Schnittpunkt, da sie parallel zueinander sind. Die Bilder T (l 1 ) und T (l 2 ) müssen ebenfalls parallel sein. 4) Um einen Punkt O spanne man einen Kreis K = {X R 2 : OX = R} mit Radius R. Dann gilt aber auch K = T (K) = {X R 2 : O X = λr}, dies bildet hingegen einen Kreis um den Punkt O = T (O) mit Radius λr ab. 8

10 2.3 Beispiel 6: Kongruenzabbildung mit zwei Fixpunkten Gegeben sei eine Kongruenzabbildung T mit zwei verschiedenen Fixpunkten A und B, wobei A B, A = A und B = B gelten. Zu zeigen: T ist entweder die Spiegelung S (AB) an der Geraden (AB) oder die Identitätsabbildung id. Beweis Zu Beginn werden mithilfe der Abstände AX und BX alle Punkte X (AB) eindeutig bestimmt. Schnell erhält man, dass X = X, da AX = A X = AX und BX = B X = BX (2.1) Daraus folgt, dass jeder Punkt X auf der Geraden (AB) einen Fixpunkt der Abbildung T repräsentiert. Aufgrund dessen werden folgende beide Fälle untersucht: 1. Fixpunkt C / (AB) 2. weiteren Fixpunkte / (AB) Ad 1: T ist Identitätsabbildung. T kann durch die Bilder dreier nichtkollinearer Punkte eindeutig bestimmt werden, es gilt also: id(a) = T (A), id(b) = T (B) und id(c) = T (C). Identisch dazu ist somit id = T. Ad 2: Hierbei wird ein beliebiger Punkt X / (AB) betrachtet und sein Bild X gefunden. Da (2.1) gilt, existieren nur zwei Optionen für die Lage des Punktes X : Zum einen ist X = X oder zum anderen ist X das Spiegelbild S (AB) (X) von X bezüglich (AB). Der Fall X = X wird ausgeschlossen, da keine weiteren Fixpunkte abseits von (AB) existieren. Daher muss die zweite Möglichkeit gelten, d.h. X = S (AB) (X) für jeden Punkt X. 2.4 Beispiel 7: Kongruenzabbildung mit einem Fixpunkt Gegeben sei eine Kongruenzabbildung T mit genau einem Fixpunkt O. Zu zeigen: T ist eine Drehung um O. Beweis Zuerst wird ein Punkt A O betrachtet, so dass A = T (A) A gilt. Weiter ist OA = O A = OA. Mit ϕ wird der (orientierte) Winkel AOA 0 bezeichnet, der als 9

11 Drehwinkel bei der Drehung D ϕ um den Drehpunkt O dient. Per Definition gilt: D ϕ (A) = A = T (A). Daraus folgt also, dass die inverse Drehung Dϕ 1 = D ϕ die Bedingung D ϕ (A ) = A erfüllt. Aufgrund dessen wird die die Verkettung T 1 = Dϕ 1 T untersucht. T kann man dann auch als Gleichung schreiben. T = D ϕ Dϕ 1 T } {{ } = D ϕ T 1 (2.2) T 1 Weiter gilt: T 1 (O) = O und T 1 (A) = D ϕ (T (A)) = D ϕ (A ) = A. Die Kongruenzabbildung T 1 besitzt also wenigstens zwei unterschiedliche Fixpunkte O und A. Nun sind die gleichen beiden Fälle wie in Beispiel 5 möglich, d.h. entweder ist T 1 = S (OA) oder T 1 = id. Für Fall 1 folgt aus (2.2) T = D ϕ S (OA), diese Abbildung hat jedoch noch weitere Fixpunkt (denn sie ist sogar eine Achsenspiegelung Vgl. Affine Abbildungen) und kann somit ausgeschlossen werden. Für den zweiten Fall T 1 = id folgert man T = D ϕ id = D ϕ, was zeigt, dass die Abbildung T eine Drehung um den Fixpunkt O ist. Abbildung 2.1: D ϕ S (OA) ist eine Achsenspiegelung 2.5 Beispiel 8: Translation oder Gleitspiegelung Begriffserklärung: Translation = Parallelverschiebung; Gleitspiegelung = Kombination aus Translation und Achsenspiegelung; Sei T eine Kongruenzabbildung ohne Fixpunkt. Man bezeichne X als einen beliebigen Punkt in R 2 mit dem Vektor OX, wobei O der Ursprung ist. Man beweise folgende Aussage: T ist entweder eine Translation dann gilt: Vektor d : T (X) = X + d für jeden Punkt X, oder 10

12 eine Gleitspiegelung dann gilt: T (X) = S g (X) + p für jeden Punkt X, wobei der Translationsvektor p parallel zur Achse g ist. Beweis O sei das Bild von O unter T und d = OO. Man betrachte die Parallelverschiebung P d, wobei P d (O) = O = T (O) gilt. Die Verkettung T 2 = P d T hat daher wenigstens einen Fixpunkt, zumal T 2 (O) = P d (T (O)) = P d (O ) = O ist. Daraus ergeben sich drei Ansätze, die untersucht werden müssen: 1. Wenn T 2 genau einen Fixpunkt hat, so handelt es sich bei T 2 von einer Drehung um O, also T 2 = D ϕ. 2. Wenn T 2 wenigstens zwei Fixpunkte O und A hat, aber nicht alle Punkte Fixpunkte sind, so handelt es sich bei T 2 von einer Geradenspiegelung S (OA) (Vgl. Beispiel 6). 3. Die letzte Möglichkeit ist, dass T 2 = id. T wird auch durch T = P d (Pd 1 T ) = P d T 2 gegeben. Nun untersuche man die drei } {{ } T 2 Fälle. 1. Sei T = P d D ϕ mit ϕ 0, dann besitzt T einen Fixpunkt, wie man der Abbildung entnehmen kann, hier ist es der Punkt D ϕ (X). Abbildung 2.2: P d D ϕ hat einen Fixpunkt 2. Sei nun T = P d S (OA) und d senkrecht auf (OA), dann hat T Fixpunkte. Hierbei sind nämlich alle Punkte der Geraden g 1 = (OA) d Fixpunkte von T. Ist jedoch 2 d nicht orthogonal zu (OA), d.h. es tritt d = d 1 + d 2, wobei d 1 = α (OA) und d 2 (OA) gilt, in Kraft, so hat die Verknüpfung P d S (OA) keinen Fixpunkt (Vgl. Abbildung 2.3). Es findet hierbei eine Parallelverschiebung (Translation) der Punkte X zu (OA) statt. 11

13 Abbildung 2.3: P d S (OA) hat keinen Fixpunkt T wird in diesem Fall als Gleitspiegelung S g (X) + p mit p = d 1 bezeichnet. g ist das Bild der Geraden (OA) bei der Parallelverschiebung um den Vektor d 2 (Vgl. Abbildung 2.4). Abbildung 2.4: P d S (OA) als Gleitspiegelung 3. Sei T 2 gleich der Identitätsabbildung, so erhält man, dass die Kongruenzabbildung T gleich der Translation P d ist, da T 2 = P d id = P d. Der folgenden Tabelle kann man eine Klassifizierung der Kongruenzabbildungen im R 2 entnehmen: Fixpunkte gleichsinnig gegensinnig Keine Translation Gleitspiegelung Genau einer Drehung Genau eine Gerade Achsenspiegelung R 2 Identitätsabbildung 12

14 2.6 Beispiel 9: Geraden mit Schnittpunkt 1. Gegeben seien zwei Geraden g 1 und g 2, die sich im Punkt O schneiden, und ein gerichteter Winkel ϕ, der zwischen den beiden Geraden aufgespannt wird. Zu zeigen ist, dass die Verkettung T = S g2 S g1 die Drehung um O mit dem Drehwinkel 2ϕ darstellt, also T = S g2 S g1 = D ϕ (O). 2. Nun seien drei Geraden g 1, g 2 und g 3 gegeben. Die Geraden nennt man konkurrent, da sie sich in einem gemeinsamen Punkt O schneiden. Mit S j = S gj mit j = 1, 2, 3 wird die Achsenspiegelung an g j bezeichnet. Zu zeigen ist die Relation (S 3 S 2 S 1 ) (S 3 S 2 S 1 ) = id. Beweis 1. Die Komposition T = S g2 S g1 bildet eine gleichsinnige Kongruenzabbildung mit dem Fixpunkt O ab, d.h. T ist eine Drehung um O. Zur Bestimmung des Drehwinkels, muss ein Punkt A g 1 betrachtet werden. Da A = S g1 = A und A = T (A) = S g2 (A ) = S g2 (A), wird der Drehwinkel durch AOA = 2 (g 1, g 2 ) = 2ϕ festgelegt. 2. Man fasse die Verkettung S 3 S 2 S 1 als T zusammen, wobei T eine gegensinnige Kongruenzabbildung mit dem Fixpunkt O ist (Vgl. Abbildung 2.5), damit folgt auch das T eine Achsenspiegelung ist. T 2 = T T = id Abbildung 2.5: Verkettung dreier Achsenspiegelungen an konkurrenten Geraden 13

15 2.7 Beispiel 10: Satz von Napoleon Es sei ein Dreieck ABC gegeben. Durch Spiegelung an BC, CA und AB konstruiere man von ABC aus nach außen gerichtete, gleichseitige Dreiecke BCA, CAB bzw. ABC. Man bezeichne die Mittelpunkte dieser Dreiecke mit X, Y bzw. Z. Zu zeigen ist, dass das Dreieck XY Z gleichseitig ist. Abbildung 2.6: Grundkonstruktion Abbildung 2.7: Mit Hilfsstrecken Beweis Zuerst werden die Drehungen um X, Y und Z, jeweils mit dem Drehwinkel 120, betrachtet. Hierbei wird der Punkt Z, der die Eigenschaft besitzt, dass Z XY = 60 = XY Z (was impliziert, dass das Dreieck XY Z gleichseitig ist), bezeichnet. Die Aufgabe lautet nun zu zeigen, dass Z = Z gilt. Weiter wird eine Verkettung T := D Y D X definiert, die eine Drehung um Z mit dem Drehwinkel = 240 (oder 120 ) darstellt. Man nehme an, dass Z Z ist. Für die Komposition gilt dann: T 1 = D Z D Y D X = D Z,120 D Z,240 Somit ist die Verkettung eine Translation, da für die Winkel die erforderliche Relation = 360 erfüllt ist. Es gilt jedoch auch T 1 (B) = B, was bedeutet, dass T 1 einen Fixpunkt hat. Hieraus folgt ein Widerspruch zur gestellten Annahme Z Z. Also muss Z = Z und damit ist auch das Dreieck XY Z gleichseitig. 14

16 2.8 Beispiel 11: Kollineare Mittelpunkte Durch ABC und A B C seien zwei kongruente Dreiecke geben. Hierbei ist das Dreieck ABC negativ und das Dreieck A B C positiv orientiert. Zu zeigen: Die Mittelpunkte A, B und C der Strecken (AA ), (BB ) und (CC ) bilden eine Gerade (sind also kollinear). Beweis Die Dreiecke ABC und A B C sind zwar kongruent, jedoch gegensinnig orientiert, somit existiert eine gegensinnige Kongruenzabbildung T mit T (ABC) = A B C. Daraus resultieren zwei mögliche Optionen, entweder ist T = S g eine Geradenspiegelung oder T = S g,d eine Gleitspiegelung mit einer Achse g. Für beide Möglichkeiten gilt für jeden Punkt X, dass der Mittelpunkt X der Strecke XX (wobei X = T (X) ist) auf der Achse g liegt. Damit gilt auch A, B, C g. Abbildung 2.8: Gegensinnig kongruente Dreiecke 15

17 Kapitel 3 Schließungssätze Schließungssätze behandeln Streckenzüge, die nach bestimmten Regeln und Vorgaben konstruiert werden. Sie haben die besondere Eigenschaft, dass sie nach einer bestimmten Anzahl von Strecken schließen. 3.1 Beispiel 12: Ente schwimmt im Teich Um einen runden Teich sind drei gerade Wege l 1, l 2 und l 3 angelegt. Eine Ente, die einen Hang zur mathematischen Fortbewegung hat, startet am Ufer an einem beliebigen Punkt A 0 und schwimmt parallel zu l 1 bis sie wieder am Ufer ankommt, dieser Punkt wird mit A 1 bezeichnet. Von diesem Punkt setzt sie ihren Weg fort, in dem sie neben l 2 wieder in Richtung Ufer (Punkt A 2 ) schwimmt. So schwimmt sie weiter parallel zu l 3 ans Ufer, dann wieder zu l 1, dann zu l 2 und schließlich wieder zu l 3 bis sie den Endpunkt A 6 erreicht. Zu zeigen ist nun, dass A 6 dem Anfangspunkt A 0 entspricht. Abbildung 3.1: Der Weg der Ente Beweis Man konstruiere zuerst die Senkrechten g j, j = 1, 2, 3, zu l j durch den Mittelpunkt des 16

18 Teichs, der auch der Schnittpunkt der Geraden g 1, g 2 und g 3 ist, somit sind sie auch konkurrent. Die Mittelsenkrechten jeder Kreissehne durchlaufen den Kreismittelpunkt, deshalb enthalten die Sehnen A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3, A 3 A 4, A 4 A 5 und A 5 A 6 jeweils die Mittelsenkrechten g 1, g 2, g 3, g 1, g 2 und g 3. A 1 = S 1 (A 0 ), A 2 = S 2 (A 1 ), A 3 = S 3 (A 2 ), A 4 = S 1 (A 3 ), A 5 = S 2 (A 4 ), A 6 = S 3 (A 5 ) mit S j = S gj, j = 1, 2, 3. S j ist hierbei die Achsenspiegelung bezüglich g j. Damit kann man A 6 auch anders auffassen: A 6 = S 3 S 2 S 1 S 3 S 2 S 1 (A 0 ) = id(a 0 ) = A 0 Teil (b) des Beispiels 9 impliziert, dass die Verknüpfung gleich der Identität von A 0 ist. 3.2 Beispiel 13: Thomsenstreckenzug Gegeben seien ein Dreieck ABC und die Punkte C i (AB), A i (BC), B i (CA) für i = 1, 2. Wobei folgende Eigenschaften gelten: (A 1 B 1 ) (AB), (B 1 C 1 ) (BC), (C 1 A 2 ) (CA), (A 2 B 2 ) (AB), (B 2 C 2 ) (BC) Zu zeigen ist, dass auch (C 2 A 1 ) parallel zu (CA) ist. Beweis Abbildung 3.2: Thomsenstreckenzug Mithilfe der Voraussetzung erhält man vier Parallelogramme: A 1 B 1 C 1 B, B 2 AC 1 A 2, B 1 C 1 A 2 C, B 2 C 2 BA 2 (A 1 B) = (B 1 C) und (C 2 B) = (B 2 A 2 ) = (AC 1 ) B 1 AC 1 = T (A 1 B 1 ) A 1C 2 B impliziert, dass man auch das Dreieck B 1 AC 1 aus dem Dreieck A 1 C 2 B durch Translation von A 1 B 1 erhält. (B 1 A) = T (A 1 C 2 ) und damit gilt: (C 2 A 1 ) (CA) (A 1 B 1 ) 17

19 Kapitel 4 Literaturverzeichnis [1] Lösungsstrategien Mathematik für Nachdenker, Natalia Grinberg, 2011, S [2] grinberg/dreigeom/schleg.pdf (Stand: ) 18