Ministerium für Schule und Berufsbildung Schleswig-Holstein Kernfach Mathematik. Schriftliche Abiturprüfung 2015

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Nikolas Siegel
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1 Bei der Bearbeitung der Aufgabe dürfen alle Funktionen des Taschenrechners genutzt werden. Aufgabe 3: Analytische Geometrie Das Modell einer Gartenlaterne kann als Stumpf einer regelmäßigen quadratischen Pyramide mit einem aufgesetzten Zylinder und einer darüber angebrachten, ebenfalls regelmäßigen quadratischen Pyramide aufgefasst werden. Die Eckpunkte der Grundfläche des Pyramidenstumpfes sind A(4 4 ), B( 4 4 ), C( 4 4 ) und D(4 4 ). Die Eckpunkte der Deckfläche des Pyramidenstumpfes sind E( ), F( ), G( ) und H( ). Materialstärken sind bei der Modellierung nicht zu berücksichtigen. -M-H3-Analytische Geometrie-L nur für Lehrkräfte Seite von 6

2 a) Berechnen Sie den Schnittpunkt S der Geraden g durch die Punkte A und E mit der Geraden h durch die Punkte B und F. Erstellen Sie eine Koordinatenform der Ebene E, in der die Punkte A, B und E liegen. [Zur Kontrolle: E : 4 x +x 3 = 6] Die Ebene E, in der die Punkte A, D und E liegen, ist gegeben durch E : 4 x +x 3 = 6. Ermitteln Sie die Größe des Schnittwinkels ϕ zwischen der Ebene E und der Ebene E. ( P) b) Der Materialbedarf an Glas soll abgeschätzt werden. Berechnen Sie die Mantelfläche des Pyramidenstumpfes. Die aufgesetzte regelmäßige quadratische Pyramide schützt das Innere der Laterne vor Regenwasser.DieGrundflächeE F G H dieserpyramideistgegebendurchdieumle senkrecht nach oben verschobenen Eckpunkte der Deckfläche des Pyramidenstumpfes. Die Spitze dieser Aufsatzpyramide ist der Punkt S ( 5). Berechnen Sie den Oberflächeninhalt dieser Aufsatzpyramide. ( P) c) Die Gerade k verläuft durch den Mittelpunkt M der Strecke CD und schneidet die Ebene E orthogonal. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes K von k mit E. [Zur Kontrolle: K( 6 3)] 7 7 Betrachtet werden nun alle Geraden, die durch den Mittelpunkt M der Strecke CD verlaufen und die Ebene E unter einem Winkel von 85 schneiden. Die Schnittpunkte dieser Geraden mit der Ebene E liegen auf einem Kreis. Bestimmen Sie den Radius dieses Kreises. (8 P) d) Eine kugelförmige Kerze soll so im Innenraum der Gartenlaterne positioniert werden, dass sie die Grundfläche des Pyramidenstumpfes berührt. Untersuchen Sie, ob eine Kerze mit dem Radius 3LE in den Innenraum passt. Bestimmen Sie, wie groß der Radius einer Kugelkerze höchstens sein darf, damit diese innerhalb des Pyramidenstumpfes positioniert werden kann. (9 P) -M-H3-Analytische Geometrie-L nur für Lehrkräfte Seite von 6

3 Teilaufgabe a) Es ist g : x = 4 +r 3 und h : x = 4 +s 3. Gleichsetzen führt zu 8 = 3r+3s = 3r 3s = r +s r = 4 3 s = 4 3. Einsetzen von r (bzw. s) ergibt S( 6). 3 Man erhält einen Normalenvektor der Ebene E, in der die Punkte A, B und E liegen, durch AB 8 3 AE = 3 = 96 = 4 4, also kann n = 4 4 als Normalenvektor genutzt werden. Eine Koordinatenform ergibt sich durch E : 4x +x 3 = 4 4 = 6. Mit Hilfe der Normalenvektoren der Ebenen ergibt sich 4 4 cos(ϕ) = n n n n = = Damit ist der Winkel ϕ 86,63. -M-H3-Analytische Geometrie-L nur für Lehrkräfte Seite 3 von 6

4 Teilaufgabe b) Die Seitenfläche ABF E ist offensichtlich ein achsensymmetrisches Trapez. Für den Mittelpunkt M der Strecke AB gilt OM = ( ) OA+ OB = = 4. Für den Mittelpunkt M der Strecke EF gilt OM = ( ) OE + OF = + =. Für die Höhe h des Seitentrapezes gilt damit h = M M = 3 = 53. Für die Mantelfläche ergibt sich A Mantel = 4 ( AB + EF ) h = 4 (8+) 53 47,39. Der Gesamtflächeninhalt der Seitenscheiben beträgt ca. 47,39 FE. Aus E F = EF = O = 4 und E S = E F + E S E F = = folgt = 4 +4,94. Der Oberflächeninhalt der Pyramide beträgt ca.,94 FE. -M-H3-Analytische Geometrie-L nur für Lehrkräfte Seite 4 von 6

5 Teilaufgabe c) Für den Mittelpunkt M der Strecke CD gilt OM = ( ) OD+ OC = = 4. Die Gerade k verläuft orthogonal zu E, daher ist n ein Richtungsvektor von k. Es ergibt sich k : x = 4 +t 4. Für den zum Schnittpunkt von k mit E gehörenden Parameter t gilt 4 ( 4+4t)+t = 6 6+6t+t = 6 t = 3. 7 Damit ergibt sich K( 6 3). 7 7 Der Mittelpunkt des Kreises ist K. E K r 85 5 M Die Skizze wird für die Dokumentation des Lösungsweges nicht verlangt. Aus tan(85 ) = MK r folgt r = MK tan(85 ) = 3 7 4,68. tan(85 ) Der Radius ist ca.,68le. 3 -M-H3-Analytische Geometrie-L nur für Lehrkräfte Seite 5 von 6

6 Teilaufgabe d) Aus Symmetriegründen wählt man als Berührpunkt der kugelförmigen Kerze mit der quadratischen Grundfläche der Laterne den Schnittpunkt der Diagonalen, also den Ursprung. Dann ist der Kugelmittelpunkt T( 3). Daher ist der Abstand von T zu jeder der vier Seitenflächenebenen gleich groß und beträgt d(t;e ) = n n AT = = 6+3 3,5. 7 Da der Abstand größer als 3LE ist, passt die Kerze in den Innenraum der Gartenlaterne. Sei r der Radius der größtmöglichen Kugel. Dann ist T ( r) mit r > ihr Mittelpunkt. Diese Kugel muss die Ebene E berühren, daher ist r der Abstand des Punktes T von der Ebene E. Zu bestimmen ist daher die Lösung der Gleichung r = n n 4 AT = r = r Diese lautet r = = 7 3,. 7+ Der maximale Radius ist ca. 3, LE. Punktsummen 6 4 -M-H3-Analytische Geometrie-L nur für Lehrkräfte Seite 6 von 6

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