Lineare Algebra / Analytische Geometrie

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Nelly Schubert
vor 8 Jahren
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1 Landesabitur 04 (Nachtermin) Lineare Algebra / Analytische Geometrie Aufgaben Die Kletterwand einer Schulsporthalle soll durch einen Überhang zum Hangeln erweitert werden. Die Halle ist 9 Meter hoch.. Zur Konstruktion des Überhangs wird zunächst in einer oberen Hallenecke die dreieckige Platte ABC montiert, deren Ränder an der Decke und an den Wänden komplett anliegen (Material ). Alle Eckpunkte der Platte sind 3 Meter vom Eckpunkt des Raumes entfernt.. Zeichnen Sie diese Situation in ein geeignetes Koordinatensystem ein. Der Ursprung soll in der Hallenecke am Boden unter dem Überhang sein und die Achsen sollen den Hallenkanten entsprechen. Geben Sie dann die Koordinaten der Eckpunkte an, wie sie sich aus der Beschreibung der Konstruktion ergeben.. Bestimmen Sie eine Parametergleichung und eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Platte liegt. [zur Kontrolle: Eine mögliche Ebenengleichung ist E: x + y z = 6.]. Eine weitere, weniger stark geneigte Platte soll den Übergang zum oberen Teil des Überhangs fließender gestalten (Material ). Diese zweite Platte ist ebenfalls dreieckig und beginnt in der vertikalen Hallenkante mit einem Eckpunkt 3 Meter über dem Boden. Die zweite Platte stößt an die erste Platte in 7 Meter Höhe über dem Boden waagerecht an. Die beiden anderen Kanten dieser Platte liegen auf ihrer gesamten Länge an den Hallenwänden an. Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden durch E und F, auf der die Stoßkante der beiden Platten liegt. [zur Kontrolle: x 0 r, r IR] 7 0 Seite von 4

2 Landesabitur 04 (Nachtermin) 3. Der von der Halle aus sichtbare obere viereckige Teil des Überhangs soll mit Spezialfarbe gestrichen werden. Diese Farbe gibt es in 500 ml-dosen für,50 und in 000 ml-dosen für 3,50. Der Verbrauch pro Quadratmeter ist auf den Dosen mit 370 ml angegeben. 3. Zeigen Sie, dass die Strecken BC und EF parallel zueinander sind. Bestätigen Sie, dass die Verbindungsstrecke der Mittelpunkte von BC und EF orthogonal zu beiden Strecken ist. 33 zur Kontrolle : M 9 und M 7 BC EF 3. Ermitteln Sie den günstigsten Preis für die benötigte Farbe. 4. Damit der Übergang von der unteren Platte zur oberen Platte beim Klettern als fließend erfahren wird, sollte der Winkel zwischen den Platten größer als 50 sein. Überprüfen Sie, ob diese Bedingung erfüllt ist. Seite 3 von 4

3 Landesabitur 04 (Nachtermin) Material Material Seite 4 von 4

4 I. Erläuterungen Landesabitur 04 (Nachtermin) Lösungs- und Bewertungshinweise Voraussetzungen gemäß Lehrplan und Erlass Hinweise zur Vorbereitung auf die schriftlichen Abiturprüfungen im Landesabitur 04 vom 0. Juni 0 Q Lineare Algebra / Analytische Geometrie Ebenengleichungen, Lagebeziehungen von Ebenen, Orthogonalität, Winkel zwischen Vektoren Nicht für den Prüfling bestimmt II. Lösungshinweise und Bewertungsraster In den nachfolgenden Lösungshinweisen sind alle wesentlichen Gesichtspunkte, die bei der Bearbeitung der einzelnen Aufgaben zu berücksichtigen sind, konkret genannt und diejenigen Lösungswege aufgezeigt, welche die Prüflinge erfahrungsgemäß einschlagen werden. Selbstverständlich sind jedoch Lösungswege, die von den vorgegebenen abweichen, aber als gleichwertig betrachtet werden können, ebenso zu akzeptieren. Aufg. erwartete Leistungen. Zeichnung: BE I II III Σ A(0 0 6), B(0 3 9), C(3 0 9) 3 4. Die Dreiecksebene durch die 3 Punkte hat die Vektorgleichung x 0 r 0 s Daraus gewinnt man die Koordinatengleichung wie folgt: Es gilt x = 3r und y = 3s und z = 6 + 3r + 3s = 6 + x + y. Also lautet die Ebenengleichung in der Koordinatenform E:x y z 6. 6 Seite von 3

5 Aufg. erwartete Leistungen Landesabitur 04 (Nachtermin) Lösungs- und Bewertungshinweise Die Stoßkante liegt in der Höhe 7 m über dem Hallenboden, also in der Ebene z = 7. Die Endpunkte der Strecke liegen auf den Hallenwänden, also den Ebenen x = 0 und y = 0. Für E ergibt sich so mit z = 7 und x = 0 aus der Koordinatengleichung die y-koordinate. Also ist E(0 7) und analog F( 0 7). Die Gleichung der Geraden durch E und F lautet g:x 0 r, r IR Die Gerade durch B und C hat den Richtungsvektor Daher sind die Strecken BC und EF parallel. 3 BC BE I II III Σ 4 6 Nicht für den Prüfling bestimmt 0 Der Mittelpunkt M von EF ergibt sich aus m zu 7 0 M 7 und der Mittelpunkt N von BC analog zu 33 N 9. Der Richtungsvektor der Mittelpunktsverbindungsstrecke ist MN. Da für die Skalarprodukte MN BC 0 und ebenso MN EF 0 gilt, ist die Orthogonalität nachgewiesen Das obere Viereck (FEBC) ist nach den Ergebnissen aus 3. ein Trapez mit der Höhe MN und den parallelen Seiten BC und EF. Also ist A (EF CB) MN ( 8) 6 6,93. Der Flächeninhalt von 6,93 m erfordert rund 564 ml Farbe. Daher sind 3 Dosen à 000 ml erforderlich, für die 70,50 bezahlt werden müssen. 4 4 Die Vektoren DM und MN liegen in einer Ebene, die senkrecht zu beiden Plattenebenen steht. Deshalb ist der Winkel zwischen DM und MN der kleinere der beiden Schnittwinkel zwischen den Plattenebenen. DM MN 9 arccos arccos 5, 4 und DM MN 6 6,5 8054,76 ist der gesuchte Winkel. Die Bedingung ist somit erfüllt. 4 Summe Seite von 3

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