Zusammenfassung Vektorrechnung und Komplexe Zahlen

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Sophia Holst
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1 Zusammenfassung Vektorrechnung und Komplexe Zahlen Michael Goerz 8. April 006 Inhalt Vektoren, Geraden und Ebenen. Länge eines Vektors Skalarprodukt Darstellungen der Ebene Normalenform der Ebene Parameterform aus Koordinatenform Koordinatenform aus Normalenform Orthogonalität von Geraden und Ebenen Achsenschnittpunkte Lagebestimmung von Gerade und Ebene Abstände 6. Abstand eines Punktes von einer Ebenen Abstand eines Punktes P von einer Geraden g im R Abstand eines Punktes P von einer Geraden g im R Komplexe Zahlen. Darstellung Rechenarten Addition Subtraktion Multiplikation Division Berechnung von Quadratwurzeln Vektoren, Geraden und Ebenen. Länge eines Vektors Die Länge eines Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate seiner Koordinaten. a a a a a + a + a a a 4 a () + ( 4) + ()

............ 4. Achsenschnittpunkte..........................6 Lagebestimmung von Gerade und Ebene.............. Abstände 6. Abstand eines Punktes von einer Ebenen.............. 6. Abstand eines Punktes P von einer Geraden g im R.

2 Einheitsvektor: Ein Einheitsvektor ist ein Vektor der Länge. a 0 a a a Skalarprodukt a a a a, b b b b a a b a b + a b + a b, b Winkel zwischen zwei Vekoren a b ( )( ) + + ( ) 0 cos α a b a b a b + a b + a b a + a + a b + b + b cos α a b a b ( )( ) + + ( ) ( ) + () + ( ) () + () + () α 6.8. Darstellungen der Ebene.. Normalenform der Ebene Die Normalenform einer Ebene lautet: E : [ x p] n 0. Normalenform aus Parametergleichung Bestimmung des Normalenvektors n.. E : x p + r u + s v I) u n 0 II) v n 0

b + a b a + a + a b + b + b cos α a b a b ( )( ) + + ( ) ( ) + () + ( ) () + () + () α 6.8. Darstellungen der Ebene.

3 E : x 4 + r + s 4 I) n + n + n 0 II) n n + 4n 0... n n, n sei gleich n n n E : x 4 0 Normalenform aus Koordinatenform Normalenvektor kann abgelesen werden (E : n x + n x + n x + r 0) Punkt der Ebene bestimmen (x und x festlegen, x bestimmen) Normalenform aus Gerade und Punkte Differenzvektor QP bilden n aus u n 0 und P Q n 0 bestimmen Normalenform aus drei Punkten Zwei Differenzvektoren bilden n bestimmen Normalenform aus zwei parallelen Geraden Differenzvektor P Q der Stützvektoren bestimmen n bestimmen Normalenform aus zwei Geraden n aus den beiden Richtungsvektoren bestimmen

Ebene bestimmen (x und x festlegen, x bestimmen) Normalenform aus Gerade und Punkte Differenzvektor QP bilden n aus u n 0 und P Q n 0 bestimmen

4 .. Parameterform aus Koordinatenform Die Parameterform einer Ebene lautet E : x p + r u + s v. Drei Punkte suchen u und v sind Differenzvektoren verschiedener Punkte Aufstellung der Parameterform x x + x x ( x + x ) A( 0), B(4 ), C( 0 0) u AB E : x 0 0 0, v CB + r 0 + s.. Koordinatenform aus Normalenform Man erhält die Koordinatenform durch ausmultiplizieren der Normalenform. x p n E : x x p p n n 0 E : n x + n x + n x (p n + p n + p n ) E : x 0 E : x + x x ( + 6 ) x + x x 0.4 Orthogonalität von Geraden und Ebenen zwei Geraden Zwei Geraden sind orthogonal wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal sind. Dies gilt auch für windschiefe Geraden. Bsp: 4 g : + r 0 ; g : 6 + r 6 u u g und g sind orthogonal Zwei Ebenen sind orthogonal wenn ihre Normalenvektoren or- zwei Ebenen thogonal sind. eine Gerade und eine Ebene Eine Gerade und eine Ebene sind orthogonal, wenn der Normalenvektor und der Richtungsvektor der Geraden linear abhängig sind. 4

. Koordinatenform aus Normalenform Man erhält die Koordinatenform durch ausmultiplizieren der Normalenform.

5 . Achsenschnittpunkte Man berechnet den Schnittpunkt mit der x -Achse, indem man x x 0 setzt. x -Achse, indem man x x 0 setzt. x -Achse, indem man x x 0 setzt. E : x 4x + x 9 S (9/ 0 0) S (0 9/4 0) S (0 0 9).6 Lagebestimmung von Gerade und Ebene Zwei Geraden: Man ermittelt die Lagebeziehung zweier Geraden, indem man ihre Gleichungen gleich setzt. Zwei Geraden schneiden sich bei einer Lösung des LGS. sind gleich bei unendlich vielen Lösungen des LGS sind parallel bei keiner Lösung des LGS und wenn die Richtungsvektoren linear abh. sind. sind windschief bei keiner Lösung des LGS und wenn die Richtungsvektoren linear unabh. sind. Zwei Ebenen sind gleich, wenn ihre Koordinatengleichungen gleich sind. sind parallel, wenn ihre Normalenvektoren linear abhängig sind. schneiden sich, wenn ihre Normalenvektoren linear unabhängig sind. Für den Schnittwinkel gilt cos(α) n n n n Eine Gerade und eine Ebene: Man ermittelt die Lagebeziehung einer Gerade und einer Ebene, indem die Geradengleichung koordinatenweise in die Koordinatengleichung der Ebene einsetzt. Die Gerade liegt auf der Ebene, wenn sich eine allgemeingültige Aussage ergibt. ist parallel zur Ebene, wenn sich eine falsche Aussage ergibt. schneidet die Ebene in dem Punkt mit dem Parameter r, wenn sich für r ein konkreter Wert ergibt. Für den Winkel zwischen Gerade und Ebene gilt n u sin(α) n u g : x + r 6 E : x + x x ( r)( + 6r) ( + r) r + r S(4 6 ) α 4, 9

sind gleich bei unendlich vielen Lösungen des LGS sind parallel bei keiner Lösung des LGS und wenn die Richtungsvektoren linear abh. sind. sind windschief bei keiner Lösung des LGS und wenn die Richtungsvektoren linear unabh.

6 Abstände. Abstand eines Punktes von einer Ebenen Den Abstand eines Punktes von einer Geraden ermittelt man mit Hilfe der Hesseschen Normalenform d ( x p) d ax + bx + cx r a + b + c Für x werden die Koordinaten des Punktes eingesetzt, z. E : x x + x 9; R : (8 4 ) d ( ) +.. Abstand eines Punktes P von einer Geraden g im R Bestimme eine Gerade h, die senkrecht auf g steht und durch den Punkt P geht. Bestimme den Schnittpunkt S von g und h. Bestimme die Länge des Vektors SP. g : x ( H : x ) ( + r ( 4 9 ) + s ) ; P : (4 9) ( g h s.4 r 0. S(.6.8 ) d (4.6) + (9.8).9 ). Abstand eines Punktes P von einer Geraden g im R Bestimme eine Ebene E, die senkrecht zu g ist und durch den Punkt P geht. Bestimme den Schnittpunkt S von g und E durch koordinatenweises Einsetzen von g in die Koordinatengleichung von E. Bestimme den Betrag des Vektors SP. E : g : x x 0 + r ; P : ( ) 0 x x + x 0 ( + r) ( r) + r 0 r. S ( ) d (.6) + (( ) 0.6) + (.).8 6

des Punktes eingesetzt, z. E : x x + x 9; R : (8 4 ) d 8 4 + 9 + ( ) +.. Abstand eines Punktes P von einer Geraden g im R Bestimme eine Gerade h, die senkrecht auf g steht und durch den Punkt P geht.

7 Komplexe Zahlen. Darstellung Summenform Polarform z a + i b z r (cos α + i sin α) r cis α. Rechenarten z a + b i z c + d i z r cis α z s cis β.. Addition z + z (a + c) + (b + d) i.. Subtraktion z z (a c) + (b d) i.. Multiplikation z z (a + b i) (c + c i) (a c b d) +(a d + b c) i z z r s cis (α + β)..4 Division z a + b i z c + d i a + b i c + d i c d i c d i (a c + b d) + (b c d a) i c + d z z ( r s) cis (α β). Berechnung von Quadratwurzeln z r cis (α)

8 hat die beiden Lösungen z r cis z r cis ( α ) ( α + 80 ) 8

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