Vektorgeometrie. Hinweis: Die Aufgaben sind in 3 Gruppen gegliedert. (G): Grundlagen, Basiswissen einfache Aufgaben

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1 Hinweis: Die Aufgaben sind in 3 Gruppen gegliedert (G): Grundlagen, Basiswissen einfache Aufgaben (F): Fortgeschritten mittelschwere Aufgaben (E): Experten schwere Aufgaben Vorzeigeaufgaben: Block Stunde Aufgabe (G) Kantonschule Aarau, Maturaprüfung 2008, siehe Seite 3 2 (G) Gymnasium St. Antonius, Appenzell, Maturaprüfung 20, siehe Seite 4 3 (G/F/E) Kantonschule Zofingen, Aargau, Maturaprüfung 20, siehe Seite 5 4 (G/F/E) Kantonschule Zofingen, Aargau, Maturaprüfung 20, siehe Seite 5 2 (E) Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 20, siehe Seite 6 2 (G/F/E) Kantonsschule am Burggraben, St. Gallen, Maturaprüfung 2009, siehe Seite 7 3 (F) Kantonschule Reussbühl, Luzern, Maturaprüfung 20, siehe Seite 8 4 (E) Kantonschule Aarau, Maturaprüfung 2008, siehe Seite 9

2 Empfohlene Bearbeitungsreihenfolge für eigenständiges Lösen: Block Stunde Aufgabe (G) Kantonschule Reussbühl, Luzern, Maturaprüfung 203, siehe Seite 0 2 (F) Kantonsschule Romanshorn, Thurgau, Maturaprüfung 20, siehe Seite 3 (F) Gymnasium Muttenz, Baselland, Maturaprüfung 20, siehe Seite 2 4 (G/F/E) Gymnasium Muttenz, Basel, Maturaprüfung 20, siehe Seite 3 2 (E) Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 202, siehe Seite 4 2 (E) Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 202, siehe Seite gebrauchte Formeln: a b = a a 2 b b 2 a 3 b 3 Vektorprodukt: a b = = a b + a 2 b 2 + a 3 b 3 = a b cos ϕ a a 2 b b 2 a 2 b 3 a 3 b 2 = a b 3 + a 3 b a 3 b 3 a b 2 a 2 b Abstand Punktes P mit r P von der Geraden g: r = r A + t r g : d = r g ( r P r A ) r g Abstand Punktes P mit r P von der Ebene E: n r k = 0: d = n r P k n Abstand zweier windschiefer Geraden g: r = r A + t r g und h: r = r B + t r h : d = ( r g r h ) ( r B r A ) r g r h 2

3 Kantonschule Aarau, Maturaprüfung 2008 Parallelogramm [(G)] Es sind die Punkte A(/9/ ), B(5/8/0) und D(2/ 2/0) gegeben. a) Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C so, dass ABCD ein Parallelogramm ist. b) Ermitteln Sie den Flächeninhalt des Parallelogramms. c) Durch A wird eine Parallele zur Diagonalen DB gelegt. Wo durchstösst diese Parallele die xy-ebene? Lösung: a) C(6/ 3/), b) F 27.7 c) S(, 3/0/0) 3

4 Gymnasium St. Antonius, Appenzell, Maturaprüfung 20 Ebene, Gerade und Winkel [(G)] 2 3 Gegeben sei die Gerade g: r =, der Punkt P (2/3/ 4) sowie die Ebenen E: x + 2y 2z = 3 und F : x y + z = 3. a) Bestimmen Sie die Abstände der Ebene E vom Ursprung und vom Punkt P. b) Legen Sie eine parallele Ebene zu E durch P. c) Wie heisst die Koordinatengleichung der Ebene H: r = 3 + u 0 + v 0? 2 0 Beschreiben Sie die Lage von H. d) Berechnen Sie die Schnittgerade s und den Schnittwinkel α von E und F. e) Bestimmen Sie die Durchstosspunkte A und B der Geraden g mit den Ebenen E und F und berechnen Sie die Länge der Strecke AB. f) Wie gross ist der Einfallswinkel ϕ von g zur Ebene E? Lösung: a) d P =, d O = 3 3 b) E P : x + 2y 2z = 6 c) y = 3, y-achse d) s: r = 0 3 α 54.7o e) A(5/2/ 2), B(/4/ 4), d = 2 f) ϕ 44.7 o 0 4

5 Kantonschule Zofingen, Aargau, Maturaprüfung 20 Gerade und Ebene [(G): a) bis d) / (F): e) und f) / (E): g)] Gegeben sind die Punkte P (6/4/3), Q(8/9/ ), A(6/ 5/3) und die Gerade g durch die Punkte P und Q. a) Zeigen Sie, dass der Punkt A nicht auf der Geraden g liegt. b) Die Ebene E enthält den Punkt A und ist senkrecht zur Geraden g. Geben Sie die Koordinatengleichung von E an. c) Eine zweite Ebene F ist gegeben als F : x+3y 2z 7 = 0. Bestimmen Sie die Schnittgerade der beiden Ebenen. d) Bestimmen Sie den Winkel ϕ zwischen der Ebene F und der Geraden g. e) Die Gerade g und die z-achse sind windschief. Wie gross ist der kürzeste Abstand zwischen g und der z-achse? f) Gesucht sind die Koordinaten jenes Punktes C, der auf g liegt und von A den kürzesten Abstand hat. Wie gross ist dieser Abstand? g) Die Spitze S einer Pyramide mit der Grundfläche OAP (wobei O der Nullpunkt ist) liegt auf der Geraden g. Bestimmen Sie die Koordinaten von S so, dass das Volumen der Pyramide 90 beträgt. 0 2 Lösung: a) A / g b) E: 2x + 5y 4z + 25 = 0 c) r = d) ϕ 84.89o e) d == f) C(4/ /7), d = 6 g) S ( 2/4/ 5), S 2 ( 0/ 6/) 5

6 Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 20 Ebenen und Kugel [(E)] G H E F D C A B Von einem Quader ABCDEFGH kennt man die Eckpunkte A(3/2/) und C(/4/5). Geraden g: r = Der Punkt B liege auf der a) Berechnen Sie die Koordinaten von B. Verwenden Sie für die folgende Teilaufgabe nur den Punkt B mit der kleineren z-koordinate. Falls Sie bei a) den Punkt B nicht gefunden haben, verwenden Sie den falschen Punkt B ( 2//). b) Der Eckpunkt F liegt in der Ebene E: 4x + 8y + 5z 38 = 0. Berechnen Sie seine Koordinaten. Lösung: a) B ( 3 / 4 3 / 8 3 ) und B2(3/4/5) b) F (3/ / 86 ) [mit B2 gerechnet] 6

7 Kantonsschule am Burggraben, St. Gallen, Maturaprüfung 2009 Gerade und Ebene [(G( (F) (E)] Die Punkte A bis H sind die Ecken eines Quaders. a) Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene ɛ durch B, D und E. b) Berechne den Neigungswinkel der Körperdiagonalen AG gegenüber ɛ. c) Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene φ durch E, die senkrecht auf ED steht. Welche spezielle Lage hat φ? d) Ein von B ausgehender Laserstrahl trifft nach einer ersten Reflexion an der Deckfläche EF GH und nach einer zweiten an ɛ im Punkt H auf. Wie lang ist der Weg des Lichtes von B bis H? Lösung: a) ɛ : x y 2z = 0 b) 35, 26 o c) 2x + z 5 = 0, parallel zur y-achse d)

8 Kantonschule Reussbühl, Luzern, Maturaprüfung 20 Gerade und Ebene [(F)] Gegeben sind die drei Punkte A(9/5/ 8), B(/9/0) und C(6/2/4). a) Berechnen Sie den Dreieckswinkel α = BAC. b) Zeigen Sie, dass der Punkt H(3/8/ 2) Höhenfusspunkt der Höhe h c des Dreiecks ABC ist. c) Geben Sie eine Parametergleichung sowie eine Koordinatengleichung der Ebene E = (ABC) an. d) Spiegeln Sie den Punkt T (8//0) an der Ebene E. e) Bestimmen Sie zwei Punkte P und Q in der Ebene E so, dass das Viereck ABP Q ein Quadrat ist. Es muss für P und Q nur je eine Lösung angegeben werden. d)t Lösung: a) α = 45 o 9 2 b) AH CH = 0 c) r = 5 + u + v, 2x + 2y + z 20 = P (5//8) [zweite Lösung P(-3/7/-8) und Q(5/3/-6)] (0/3/ 4) e) Q(3/ 3/0) und 8

9 Kantonschule Aarau, Maturaprüfung 2008 Kugel, Gerade und Tangente [(E)] Gegeben sind die Kugel K: x 2 + y 2 + z 2 + 0x 0y + 2z + 5 = 0, die Geraden g a : r = 8 0 mit a R, a 0 sowie die Punkte A(/8/8), B(3/6/4), C(7/5/5), D(7/6/4) und E(9/7/3). a) Bestimmen Sie a so, dass die Geraden g a und BC einander schneiden. Geben Sie den Schnittpunkt S und den Schnittwinkel α an. b) Geben Sie eine Gleichung der Geraden s an, die sowohl CD als auch g 8 senkrecht schneidet. c) Eine Kugel K mit dem Mittelpunkt M auf g 5 soll CD und g 8 als Tangenten haben. Geben Sie Mittelpunkt und Radius dieser Kugel an. d) Die Kugel K wird von der Ebene F : 2x y 2z + 4 = 0 in einem Kreis k geschnitten. Berechnen Sie dessen Mittelpunkt und Radius. Lösung: a) a = 2, S( 5/8/2), α 9.47 o b) r = r k = c) M( /8/5 oder M( /8/5. r = 3 d) Mk ( 3/4/ 3), 8 9

10 Kantonschule Reussbühl, Luzern, Maturaprüfung 203 Gerade und Ebene [(G)] 3 2 Gegeben sind die vier Punkte: A(3 6 5), B(2 2 4), C( 2 5), P (3 2 7) und die Gerade h: r = 2 2. a) Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Ebene E, welche die Punkte A, B und C enthält. Falls Sie die Gleichung von E unter Teilaufgabe a) nicht bestimmen konnten, lösen Sie die Teilaufgaben b) und c) mit der Ebenengleichung F : 2x y + 2z 4 = 0 anstelle von E. b) Gesucht ist die Gleichung der zu E parallelen Ebene H, welche durch den Punkt P geht. c) Bestimmen Sie die Koordinaten des Durchstosspunktes D der Geraden h mit der Ebene E. d) Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P von der Geraden h. e) Die Gerade g verläuft durch die Punkte A und C. Zeigen Sie, dass die Geraden g und h windschief sind. Lösung: a) E: 2x y + 2z 0 = 0 b) H: 2x y + 2z 22 = 0 c) D(3/4/4) d) d = 6 e) g h = {} 0

11 Kantonsschule Romanshorn, Thurgau, Maturaprüfung 20) Kugel, Ebene und Gerade [(F)] Auf der Ebene E: 4x 3z + 5 = 0 liegt eine Kugel K mit dem Mittelpunkt M(5 4 5). a) Zeigen Sie, dass der Radius der Kugel r = 0 beträgt. b) Berechnen Sie irgend einen Punkt auf der Kugeloberfläche. c) Die Kugel wird an der Ebene E gespiegelt. Berechnen Sie den Mittelpunkt M der gespiegelten Kugel. 0 d) Beurteilen Sie rechnerisch, ob die Gerade g: r = 2 2 die Kugel schneidet oder berührt. 7 2 e) Geben Sie die Gleichung K der gespiegelten Kugel. f) Bestimmen Sie die fehlende y Koordinate des Punkts P (3 y 5), welcher auf der Kugeloberfläche K liegt. g) Berechnen Sie eine Koordinatengleichung der Tangentialebene T im Punkt Q( 4 3) der Kugeloberfläche K. Lösung: a) b) c) d) e) f) g)

12 Gymnasium Muttenz, Baselland, Maturaprüfung 20 Gerade und Ebene [(F)] 3 0 Gegeben sind die Gerade g: r = 7 und die Ebene E durch die Punkte K(// ), L(2/0/3) und 8 M(2//). a) Bestimmen sie k so, dass E: 2x + 2y + z + k = 0 eine Koordinatengleichung der Ebene E ist. b) Berechnen Sie die Koordinaten des Durchstosspunktes F der Geraden g mit der Ebene E. c) Der Punkt P (3/ 7/ 8) wird an der Ebene E gespiegelt. Berechnen Sie die Koordinaten des Spiegelpunktes P. d) Zeigen Sie rechnerisch, dass das gleichschenklige Dreieck P F P beim Punkt F einen rechten Winkel hat. e) Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes R so, dass das Viereck P F P R ein Quadrat ist. f) Das Quadrat P F P R ist die Grundfläche einer geraden Pyramide mit der Spitze S(0/5/ ). Berechen sie das Volumen dieser Pyramide. Lösung: a) b) c) d) e) f) 2

13 Gymnasium Muttenz, Basel, Maturaprüfung 20 Gerade und Ebene [(G): a) / (F): b) / (E): c)] Gegeben ist der Würfel ABCDEF GH mit den Eckpunkten A(6/0/0), B(6/6/0), C(0/6/0), D(0/0/0) und H(0/0/6). Der Punkt P liegt auf der Raumdiagonalen BH. a) Berechnen Sie eine Parametergleichung der Raumdiagonalen BH. b) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P so, dass das Dreieck ACP bei P rechtwinklig ist. c) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P so, dass das Dreieck ACP den Flächeninhalt F = 9 2 hat. Lösung: a) b) c) 3

14 Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 202) Gerade und Ebene [(E)] 9 2 Gegeben sind die Punkte A(3/ 4/7), B( 5 8 3) und die Gerade g: r = a) Zeige, dass die Gerade durch A und B und die Gerade g parallel, aber nicht identisch sind. b) Bestimme auf g die Punkte C und D, sodass ABCD ein gleichschenkliges Trapez ist mit AB = 2 CD. Die Pyramide ABCD hat das Volumen V = 250. Die Grundfläche ABC ist ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck mit der Ecke A(37/20/6) und der Ecke C(0/0/0), wo sich der rechte Winkel befindet. Die Ecke B liegt in der Ebene z = 3. a) Berechne die Koordinaten von B (es ist nur die Lösung mit ganzzahligen Koordinaten anzugeben). Wer Aufgabe a) nicht lösen konnte, löse die Aufgabe b) mit B(32/80/26). b) Das Lot von der Spitze D auf die Ebene ABC geht durch den Schwerpunkt S des Dreiecks ABC. Berechne die Koordinaten von D (die Angabe einer Lösung genügt). Lösung: a) b) a) b) 4