d) Ermitteln Sie die Koordinaten des Vektors, der sowohl ein Normalenvektor von als auch der Ortsvektor eines Punktes der Ebene ist.

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1 Aufgabe M8B1 Gegeben sind die unkte 1 4, und 1. a) Weisen Sie nach, dass der unkt auf der Geraden durch die unkte und, nicht aber auf der Strecke liegt. b) Auf der Strecke gibt es einen unkt, der von dreimal so weit entfernt ist wie von. Bestimmen Sie die Koordinaten von. Gegeben ist die Ebene : 18. c) Der Schnittpunkt von mit der -Achse, der Schnittpunkt von mit der -Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks. d) Ermitteln Sie die Koordinaten des Vektors, der sowohl ein Normalenvektor von als auch der rtsvektor eines unktes der Ebene ist. In einem kartesischen Koordinatensystem sind die unkte 1, 6 1, und 6 5 gegeben. Sie liegen in einer Ebene und bilden ein Viereck, dessen Diagonalen sich im unkt schneiden. e) Begründen Sie, dass die Gerade parallel zur -Ebene verläuft. f) Weisen Sie nach, dass das Viereck ein Rechteck ist. Bestimmen Sie die Koordinaten von. (Teilergebnis: 4 3) g) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene in Koordinatenform. (Teilergebnis: : 3 5 5) Ein Solarmodul wird an einem Metallrohr befestigt, das auf einer horizontalen Fläche senkrecht steht. Das Solarmodul wird modellhaft durch das Rechteck dargestellt. Das Metallrohr lässt sich durch eine Strecke, der Befestigungspunkt am Solarmodul durch den unkt beschreiben (vgl. Abbildung). Die horizontale Fläche liegt im Modell in der -Ebene des Koordinatensystems; eine Längeneinheit entspricht,8 in der Realität. h) Um einen möglichst großen Energieertrag zu erzielen, sollte die Größe des Neigungswinkels des Solarmoduls gegenüber der Horizontalen zwischen 3 und 36 liegen. rüfen Sie, ob diese Bedingung erfüllt ist.

2 i) Auf das Solarmodul fällt Sonnenlicht, das im Modell durch parallele Geraden dargestellt wird, die senkrecht zur Ebene verlaufen. Das Solarmodul erzeugt auf der horizontalen Fläche einen rechteckigen Schatten. Zeigen Sie unter Verwendung einer geeignet beschrifteten Skizze, dass der Flächeninhalt des Schattens mithilfe des Terms "#,8 $%&' berechnet werden kann. j) Um die Sonneneinstrahlung im Laufe des Tages möglichst effektiv zur Energiegewinnung nutzen zu können, lässt sich das Metallrohr mit dem Solarmodul um die Längsachse des Rohrs drehen. Die Größe des Neigungswinkels φ gegenüber der Horizontalen bleibt dabei unverändert. Betrachtet wird der Eckpunkt des Solarmoduls, der im Modell durch den unkt dargestellt wird. Berechnen Sie den Radius des Kreises, auf dem sich dieser Eckpunkt des Solarmoduls bei der Drehung des Metallrohrs bewegt, auf Zentimeter genau.

3 Lösung M8B1 a) unkt auf Gerade durch unkte und, nicht aber auf. : Wenn auf der Strecke liegen soll, dann muss 1 sein Wegen für, und liegt unkt auf der Geraden. Wegen liegt der unkt nicht auf der Strecke. b) unkt auf, der von dreimal so weit entfernt ist wie von : Der unkt viertelt die Strecke Der unkt hat die Koordinaten!3 1 6#. c) Flächeninhalt eines Dreiecks: $: 18 Bestimmung der Spurpunkte % &' und % &( : % &'!9 #; % &(! 18 # Fläche des Dreiecks % &' % &( : +,-.-/ 1% % & ' &( Einfacher: Das Dreieck % &' % &( ist bei rechtwinklig. +,-.-/ Das Dreieck % &' % &( hat einen Flächeninhalt von 814$. d) Koordinaten eines rtsvektors entsprechen einem Normalenvektor: !8 8 8# 88!8# Die Koordinaten 7!4 4# entsprechen einem Normalenvektor von $.

4 e) Gerade parallel zur -Ebene: 9: : 6 1 Wegen der fehlenden -Koordinate des Richtungsvektors von verläuft die Gerade parallel zur -Ebene. f) Nachweis Viereck ein Rechteck: Es muss gelten 1 1 1= Das Viereck ist ein Rechteck. Koordinaten des A B C 8 D Der Mittelpunkt hat die 4 3#. g) Koordinatenform von $: E F F F 5 $: h) Neigungswinkel des Spiegels zur Horizontalen: Schnittwinkel Ebene $ mit der -Ebene. GHI!J# K K L M 'M( K K L M 'M( 3N 3 3N3 33 J QGGHIR ST3,3 Der Neigungswinkel des Spiegels mit der Horizontalen beträgt etwa 3. Die genannte Bedingung ist erfüllt.

5 i) Flächeninhalt eines Schattens: Die Fläche des Schattens errechnet sich aus X X Die Strecke verläuft parallel zur -Achse, damit ist X. Da die Sonnenstrahlen in Richtung des Normalenvektors von $ einfallen, liegt bei rechter Winkel vor. Betrachtet wird nun das rechtwinklige Dreieck $. Wegen $ gilt: :Y cos!]# :XYX :Y ^_` ab# Wegen Aufgabenstellung 1 Längeneinheit entspricht,8 c berechnet sich die Schattenfläche über d/efgg-k ^_`ab#,8 hc i :Y q.e.d. j) Radius des Kreises, auf dem sich bei der Drehung des Metallrohrs bewegt: Dies ist der Abstand des unktes von der Geraden c, in der das Metallrohr und der liegt. c: I 6I F!;c# 39j3 33 N ,4714,8 3,5777 Der Radius hat eine Länge von 3,6 c. T4,4714