Herbst mit den Parametern a und b

Transkript

1 Herbst 4. Gegeben ist eine Funktion f :f()=a+ b mit den Parametern a und b. a) Bestimmen Sie a und b so, dass der Graph von f durch den Punkt B(/) verläuft und die Tangente t in B parallel ist zur Geraden mit der Gleichung+y+=. Parallel sein bedeutet die gleiche Steigund zu haben, alsof ()= = 6 und den gleichen Funktionswert zu haben f()=: I.f () = 6 II.f() = b = 3 a = f()= + 3 y b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente t und Ihren Schnittpunkte A mit der -Achse. t geht durch B(/) und hat die Steigung m=-6 : t : y=m( )+y t : y= 6( )+ t : y= 6+8 = 6+8 = 4 3 c) Die Strecke AB, die -Achse und der Graph von f begrenzen zusammen ein Flächenstück. Berechnen Sie mit den in a) berechneten Werten von a und b dessen Inhalt. A f A ( + 3 ) d g h [ 3 ]4 3 ( ) 4 3

2 . Gegeben ist die Funktion f :f()=4 e und g :g()= ++3. Zeigen Sie, dass f und g in ihrem Schnittpunkt mit der y-achse eine gemeinsame Tangente besitzen. f() = 3 g() = 3 Also ein gemeinsamer Schnittpunkt mit der y-achse bei y=3. f () = g () = Also auch die gleiche Steigung m= und somit eine gemeinsame Tangente. a) Wir betrachten nun die aus f und g zusammengesetzte Funktion { 4 e h()= für ++3 für > 7. y Skizzieren Sie den Graphen von h und berechne Sie den Inhalt der Fläche, die h mit der -Achse einschliesst. Nullstelle von h : 4ln [ 8e 4ln 4 e = = 4ln ++3 = = = 3 ( ) 4 e d+ ] 4ln ( ++3 ) d [ ] 3

3 3. Gegeben ist ein Quadrat mit der Seitenlänge. An allen vier Ecken werden kongruente gleichschenklige Dreiecke mit der Schenkellänge (, ) abgeschnitten. Es entsteht ein 8-Eck. a) Berechnen Sie den Umfang und Flächeninhalt des 8-Ecks in Abhängigkeit von. Die Seiten des 8-Ecks, die auf dem Quadrat liegen haben die Länge -. Die schräg laufenden Seiten haben die Länge + = ( U 8 = 4 + ) A 8 = A 4 A A 8 = 4 = b) Für welches ist das 8-Eck regelmässig und wie gross ist dann sein Umkreisradius? = = R 8 = sin(. ) R 8 = 4 R 8 =,4 c) Betrachten Sie das Verhältnis aus Umfang zu Flächeninhalt. Wie muss man wählen, damit dieses Verhältnis möglichst klein ist? U 8 =4 ( + ) A 8 = V() = U 8 = 4 ( ) + A 8 V () = 4 ( 4 ) +4+ ( ) = ( ) = / = ± 4 =,333 = 3,69 3

4 U8/A Vorzeichenuntersuchung von V (). Der Nenner von V () ist ein Quadrat, also stets positiv. Der Zähler ist eine nach oben geöffnete Parabel,wechselt also an der linken Nullstellen von + nach - und an der rechten Nullstelle wieder von - nach +. Somit ist bei =,33 (einzige Lösung im Definitionsbereich) ein Vorzeichenwechsel der Ableitung von - nach + gegeben und damit handelt es sich um ein Minimum. Randwerte V()=4 und V(,)=,66. Also Randmaima. 4

5 4. Geben ist das Dreieck A(4/-/-3), B(/6/3) und C(6/-/7). a) Beweisen Sie, dass das Dreieck rechtwinklig ist und berechnen Sie alle Winkel. AB= 8 ; AC= ; BC= AC dürfte wohl die längste Seite (und somit die Hypotenuse) sein, also liegt der rechte Winkel bei B : AB BC = AB BC = = Der Punkt D Also ein rechter Winkel bei B. sinα = BC AC = α = 6,6 β = b) Der Punkt D ergänze das Dreieck ABC zu einem Rechteck ABCD. Bestimmen Sie die Koordinaten von D und die des Mittelpunktes M des Rechtecks. r D = r C AB= 8 9 r A + r C r M = = 3 7 c) S sei die Spitze einer geraden Pyramide mit Grundfläche ABCD. Die Höhe der Pyramide sei gleich lang wie die längere Seite der Grundfläche. Bestimmen Sie S und das Volumen der Pyramide (eine Lösung genügt). Die längere Seite istab=8 Die Grundfläche ist ein Rechteck mit der Fläche G = AB BC = 8 9 = 6. Das Volumen der Pyramide istv = 3 G h= 3G AB= 3 6 8=97. Die Höhe wird über das Vektorprodukt von AB undbc berechnet : n = AB BC= 44 7 = n=6 ist die Fläche des Parallelogramms (Rechtecks), das von AB undbc gebildet wird. Die Höhe ist kolinear zu n und soll die Länge 8 haben : h = ±8 n 6 }{{} r S = r M ± h r S = r S = Vektor der Länge =± n =± 8 4 9

6 .Ein gewöhnlicher Spielwürfel werde 4-mal geworfen. a)mit welcher WS hat das Produkt der Augenzahlen den Wert 8? 8 kann aus 3-mal und -mal, bzw. -mal 4, -mal und -mal entstehen. Die erste Variante kann in 4 Anordnungen erscheinen ( zuerst, als zweites, drittes oder viertes). Die zweite Variante kann in ( 4 4! ) =!! = Anordnungen erscheinen.( 4 ) =6Möglichkeiten die beiden auf 4 Plätze zu verteilen und dann noch Möglichkeiten die 4 und die auf ihren Plätzen zu tauschen. Alle 6 möglichen Anordungen für die beiden -er, bei denen die 4 links von der steht : {(,,4,); (,4,,); (,4,,); (4,,,); (4,,,); (4,,,)}. Nochmal 6 mit den gleichen Positionen für die -er nur mit 4 und vertauscht; macht. Alle Varianten haben die WS= ( ) 4= 6 96 WS(Produkt der Augenzahlen den Wert 8)=6 96 = 8 =.3% b)wie viele solcher 4-er Serien müssten Sie durchführen, damit der Produktwert 8 mit 9% Sicherheit mindestens einmal vorkommt? WS(Produkt 8 mindestens einmal) 9% -WS(Produkt 8 keinmal).9 WS(Produkt 8 keinmal). ( ) n 8. 8 n log. =8.36 n 86 log 8 8.Der Kreis k mir Radius r= schneidet aus der -Achse eine Sehne der Länge heraus. Sein Mittelpunkt liegt auf der Geraden g mit der Gleichung+y=. a)bestimmen Sie die Gleichung von k. y +6 = Es gibt zwei Kreise, die die Bedingungen erüllen : k :(+6) +(y 8) = k :( 6) +(y+8) = y = 64 y = ±8 = 6 y

7 b)vom Nullpunkt aus werden die Tangenten an k gelegt. Unter welchem Winkel schneiden sich die Tangenten? Der halbe Schnittwinkel ergibt sich aus dem Radius und dem Abstand OM : sin α r = OM α = 68 7