BITTE WENDEN ETH-AUFNAHMEPRÜFUNG Mathematik II (Geometrie / Statistik)

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Sarah Wetzel
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1 ETH-AUFNAHMEPRÜFUNG 08 aufrunden). Mathematik II (Geometrie / Statistik) Die Note N berechnet sich für die Punktzahl P gemäss der Formel N = P /9 +, wobei auf halbe Noten zu runden ist (Viertelnote Aufgabe [9 Punkte] Gegeben seien die Punkte A(/8/0), B(6/6/5) und C(0//). a) Bestimmen Sie den Punkt EAC so, dass das Dreieck ABE gleichschenklig mit Punkte Basis AE wird. b) Berechnen Sie in der xy-ebene den Punkt F mit der Eigenschaft, dass der Schwerpunkt Punkte des Dreiecks ABF auf der Geraden AC zu liegen kommt. c) Bestimmen Sie den Punkt GAB so, dass das Dreieck ACG den Flächeninhalt 8 besitzt. Punkte Aufgabe [ Punkte] Gegeben seien die Kreise k: x + y = 05, k: (x5) + y = 6400 und k: (x7) + (y44) = a) Die drei Kreise berühren sich gegenseitig von aussen. Punkte Zeigen Sie dies im Falle von k und k. b) Bestimmen Sie sowohl den Berührungspunkt von k und k als auch eine Gleichung 4 Punkte der gemeinsamen Tangente. c) Berechnen Sie den Inhalt der endlichen Fläche, die durch die drei Kreise begrenzt wird. 6 Punkte BITTE WENDEN

2 Aufgabe [7 Punkte] Es werden gleichzeitig ein Würfel und drei Oktaeder, deren Flächen je mit den Zahlen bis 8 versehen sind, geworfen. Es bezeichne W die mit dem Würfel erzielte Augenzahl und S die Summe der mit den Oktaedern erzielten Augenzahlen. a) Berechnen Sie den Erwartungswert von S. Punkte b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass W und S beide den Wert 5 annehmen. Punkte c) Bestimmen Sie, wie oft mindestens geworfen werden muss, damit S den Maximalwert Punkte mit einer Sicherheit von 95% annimmt. d) Wissend, dass die Summe aller vier Augenzahlen 0 beträgt, bestimmen Sie die 4 Punkte Wahrscheinlichkeit, dass W = S. e) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass W ungerade und S durch W teilbar ist. 6 Punkte Aufgabe 4 [e] Gegeben seien die Ebene : 5x + y + 4z 59 = 0 und die Gerade m = M(/7/0)N(0/9/9). a) Bestimmen Sie die Koordinatengleichungen der Ebenen, welche parallel zu sind Punkte und den Abstand 5 von aufweisen. b) Zeigen Sie, dass die Gerade m parallel zur Ebene verläuft. Punkte c) Bestimmen Sie alle Ecken einer geraden quadratischen Pyramide ABCD E, welche 7 Punkte folgende Bedingungen erfüllt: M ist der Mittelpunkt des Quadrates ABCD. A und C liegen auf m. E liegt in. die Pyramide besitzt das Volumen V = VIEL ERFOLG

3 Aufgabe [9 Punkte] Gegeben seien die Punkte A(/8/0), B(6/6/5) und C(0//). a) Bestimmen Sie den Punkt EAC so, dass das Dreieck ABE gleichschenklig mit Punkte Basis AE wird. b) Berechnen Sie in der xy-ebene den Punkt F mit der Eigenschaft, dass der Schwerpunkt Punkte des Dreiecks ABF auf der Geraden AC zu liegen kommt. c) Bestimmen Sie den Punkt GAB so, dass das Dreieck ACG den Flächeninhalt 8 besitzt. Punkte a) AC : r 8 4 E(+/84/) 0 AB 5 ( ) 5 ( 5 ) ( 4) ( 5 ) 54 = = 8() = 0 = 0 (d.h. E = A), = E /0/ x 7 y 4 5 b) F(x/y/0) S / / /8 4 / = 5 x =, y = 0 F/ 0/0 c) 5 AB : r 8 G(+5/8/5) 0 5 A(ACG) = ACAG = = = 9 8 G / 4/0, 9// 0 G

4 Aufgabe [ Punkte] Gegeben seien die Kreise k: x + y = 05, k: (x5) + y = 6400 und k: (x7) + (y44) = a) Die drei Kreise berühren sich gegenseitig von aussen. Punkte Zeigen Sie dies im Falle von k und k. b) Bestimmen Sie sowohl den Berührungspunkt von k und k als auch eine Gleichung 4 Punkte der gemeinsamen Tangente. c) Berechnen Sie den Inhalt der endlichen Fläche, die durch die drei Kreise begrenzt wird. 6 Punkte a) M(5/0), M(7/44), r = 80, r = 00 M M (7 5) (44 0) = 80 = = r + r 4 b) k k: (x 5) (x 7) y (y 44) II I: 6x 88y = t : y 4 x 5 4 t k: (x5) + 5 x = x 4000x x + 50x + 65 = x 850x = 0 x 54x = (x77) = 0 x = 77 B(77 / 64) c) c = M M = r + r = 5, a = M M = r + r = 80, b = M M = r + r = 45 b c a = arccos a c b = 8.7, = arccos bc = 5., = 80 = 4.60 ac A = c y 5 44 = 9000 A = r = 47.45, A = r = 967.4, A = r = A = A A A A = A Alle drei Seiten des Dreiecks korrekt: Alle drei Winkel des Dreiecks korrekt: Dreiecksfläche korrekt: Alle drei Sektorflächen korrekt:

5 Aufgabe [7 Punkte] Es werden gleichzeitig ein Würfel und drei Oktaeder, deren Flächen je mit den Zahlen bis 8 versehen sind, geworfen. Es bezeichne W die mit dem Würfel erzielte Augenzahl und S die Summe der mit den Oktaedern erzielten Augenzahlen. a) Berechnen Sie den Erwartungswert von S. Punkte b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass W und S beide den Wert 5 annehmen. Punkte c) Bestimmen Sie, wie oft mindestens geworfen werden muss, damit S den Maximalwert Punkte mit einer Sicherheit von 95% annimmt. d) Wissend, dass die Summe aller vier Augenzahlen 0 beträgt, bestimmen Sie die 4 Punkte Wahrscheinlichkeit, dass W = S. e) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass W ungerade und S durch W teilbar ist. 6 Punkte a) E(O) = E(O) = E(O) = 9 E(S) 7 = 6 8 b) P(W=S=5) = P(5 (,,)) + P(5 (,,) = 8 = c) P(S=4) = n 5 n 5 ; P(mindestens einmal S=4) = P(nie S=4) = ln(0.05) 5 n ln n 5 ln 0.05 ln5 5 = 5. n 5 d) 0 = +++7 = +++6 = +++5 = = +++5 = +++4 = +++ = +++6 = +++5 = +++4 = +++4 = +++ = +++5 = +++4 = +++ = +++ = = 4+++ = 4+++ = 5+++ = 5+++ = P(W=S / W+S =0) = = e) W = : S ist immer durch W teilbar W = : S{,6,9,,5,8,,4} W = 5: S{5,0,5,0} S= S=4 S=5 S=6 S=7 S=8 S=9 S=0 S= S= S= S=4 S= S= S= S=0 S=9 S=8 S=7 S=6 S=5 S=4 5 = ++ = ++ 6 = ++4 = ++ = ++ 7 = ++5 = ++4 = ++ = ++ 8 = ++6 = ++5 = ++4 = ++4 = ++ 9 = ++7 = ++6 = ++5 = +4+4 = ++5 = ++4 = ++ 0 = ++8 = ++7 = ++6 = +4+5 = ++6 = ++5 = +4+4 = ++4 = ++8 = ++7 = +4+6 = +5+5 = ++7 = ++6 = +4+5 = ++5 = +4+4 = ++8 = +4+7 = +5+6 = ++8 = ++7 = +4+6 = +5+5 = ++6 = +4+5 = = +4+8 = +5+7 = +6+6 = ++8 = +4+7 = +5+6 = ++7 = +4+6 = +5+5 = P(S ist durch W teilbar und W ungerade) = =

6 Aufgabe 4 [e] Gegeben seien die Ebene : 5x + y + 4z 59 = 0 und die Gerade m = M(/7/0)N(0/9/9). a) Bestimmen Sie die Koordinatengleichungen der Ebenen, welche parallel zu sind und den Abstand 5 von aufweisen. b) Zeigen Sie, dass die Gerade m parallel zur Ebene verläuft. c) Bestimmen Sie alle Ecken einer geraden quadratischen Pyramide ABCDE, welche folgende Bedingungen erfüllt: M ist der Mittelpunkt des Quadrates ABCD. A und C liegen auf m. E liegt in. die Pyramide besitzt das Volumen V = 50. Punkte Punkte 7 Punkte 59 5 d 59 a) d(o,) = d(o,,) = 5 d = d = 04, d = 754 : 5x y 4z 04 0, :5x y 4z b) m: r 7 0 m : 5(+) + (7+) + 4(0) 59 = 0 5 = 0 m c) 5 5 OE OM 7 9 E(/9/ 4) V = s h V 6750 = = h = 5 s AM 5 8 OA OM A(8/ 7 /5) OC OM C( / 7 / 5) OB OM B(8/ 6/8) 0 0 OD OM D( / 8/ )

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